Bài giảng Sức bền vật liệu 2 - Chương 9: Xoắn thuần túy thanh thẳng

Nội dung text: Bài giảng Sức bền vật liệu 2 - Chương 9: Xoắn thuần túy thanh thẳng

1. Bài Giảng Sức Bền Vật Liệu2 Chương 9 XOẮN THUẦN TÚY THANH THẲNG. . KHÁI NIỆM 1-Định nghĩa: Thanh chịu xoắn thuần túy khi trên các mặt cắt ngang chỉ có một thành phần nội lực là mômen xoắn Mz (H.9.1). y Dấu của nội lực Mz: Mz 0 khi từ ngoài nhìn vào mặt cắt thấy Mz quay cùng kim đồng hồ và ngược lại. Mz z Ngoại lực: Gồm các ngẫu lực mômen xoắn Mo, nằm trong mặt O phẳng vuông góc trục thanh. x Thực tế thường gặp: trục truyền động,thanh chịu lực không H. 9.1 gian, dầm đỡ ôvăng 2- Biểu đồ nội lực mômen xoắn Mz Biểu đồ mômen xoắn được vẽ bằng phương pháp mặt cắt.Điều kiện cân bằng tĩnh học: M/OZ = 0 cho ta nội lực Mz Thí dụ 1: Vẽ biểu đồ Mz M A =20N-m M =30N-m M =10N-m Mc=20N-m A M =40N-m C m=20Nm/m B m D A B C A B C 0,5m 0,5m 0,5m L L 20N-m 30N-m 10N-m + + _ _ 10N-m 10N-m Thực hiện mặt cắt ngang trong từng đoạn, xét cân bằng phần bên trái ( hay phải của mặt cắt), ngoại lực là ngẫu lực xoắn M0,trên tiết diện đang xét phải có nội lực là mômen xoắn Mz ta vẽ theo chiều dương qui uớc.(tại mặt cắt có Mo tập trung trên biểu đồ sẽ có bước nhảy) Lập phương trình cân bằng tỉnh học: M / z = 0 Mz Thí dụ3:Cho trục có tiết diện thay đổi chịu lực như hình vẽ: Vẽ biểu đồ nội lực d2=10cm d =6cm 40Nm 1 m=20Nm/m K B C D a a a a=50cm Chương 9: Xoắn thuần tuý
2. Bài Giảng Sức Bền Vật Liệu 2 a) Mặt cắt ngang vẫn phẳng, thẳng góc với trục thanh và khoảng cách không đổi b) Các bán kính vẫn thẳng và không đổi c) các thớ dọc không ép và đẩy lẩn nhau Mz 3- Công thức ứng suất tiếp z z O Ta tính ứng suất tại một điểm bất kỳ trên mặt cắt ngang có bán kính đến tâm 0 (H.9.3).Theo thí nghiệm H. 9.3 trên ta nhận thấy, biến dạng của thanh chịu xoắn thuần túy chỉ là sự xoay tương đối giữa các mặt cắt ngang quanh trục z. Để xét biến dạng xoắn của một phân tố tại một điểm bất kỳ có bán kính ta tách phân tố như sau : Mz d  z A  O 0 B A/ z H. 9.4  z dz H. 9.3 Phân tố trượt thuần túy Từ (H.9.3), ta có: AA d tan  = (a) AB dz Theo giả thiết a) không có biến dạng dài theo phương dọc trục, theo giả thiết c) các thớ dọc không tác dụng với nhau nên không có ứng suất pháp tác dụng lên các mặt của phân tố. Do giả thiết b),mọi bán kính vẫn thẳng nên không có ứng suất tiếp hướng tâm Như vậy, trên mặt cắt ngang của thanh chịu xoắn thuần túy chỉ tồn tại ứng suất tiếp theo phương vuông góc bán kính và cùng chiều với Mz gọi là  và phân tố đang xét ở trạng thái trượt ứng suất thuần túy (H.9.4). Áp dụng định luật Hooke về trượt cho phân tố này, ta có:  = G  (b) d (a) vào (b)  p G (c) dz Gọi dA là một diện tích vô cùng bé bao quanh điểm đang xét, thì  .dA là lực tiếp tuyến tác dụng trên diện tích đo,ù và  .dA. là mômen của lực  dA đối với tâm O. Tổng các mômen này phải bằng Mz, nên ta có thể viết: M  dA z p (d) A d M G dA (c) vào (d) z (e) A dz Vì : d /dz là hằng số đối với mọi điểm thuộc mặt cắt A, nên ta có thể Chương 9:Xoắn thuần tuý
3. Bài Giảng Sức Bền Vật Liệu 2 M z L * Khi đoạn thanh có Mz/GIp là hằng số GI p Mz L * Khi thanh gồm nhiều đoạn, mỗi đoạn có Mz/GIp là hằng số: ( )i i GI Góc xoắn được quy ước dương theo chiều dương của Mz . 5- Tính toán thanh tròn chịu xoắn thuần tuý: M z  0 ° Điều kiện bền:  max   W p n với: o - là ứng suất tiếp nguy hiểm của vật liệu, xác định từ thí nghiệm n : là hệ số an toàn. [ ] + Theo thuyết bền ứng suất tiếp(TB3):  max 2 [ ] + Theo thuyết bền thế năng biến đổi hình dạng(TB4):  max 3 ° Điều kiện cứng:  max [ ] [ ]: Góc xoắn tỷ đối cho phép, được cho từ các sổ tay kỹ thuật, đơn vị của [ ] là (radian/ đơn vị chiều dài ). Ba bài toán cơ bản: - Kiểm tra bền, cứng. - Xác định tải trọng cho phép. - Xác định đường kính. Thí du 3: Cho thanh có tiết diện tròn đường kính thay đổi. Đoạn BC có d1=8cm, đoạn CD có d2 = 6 cm. (hình vẽ) a) Vẽ biêûu đồ momen xoắn Mz b) Tính góc xoắn đầu D c) Kiểm tra điều kiện bền và điều kiêïn cứng 2 0 2 Cho G = 8000kN/cm , M0 =1kNm, [ ] = 0,56 /m, [ ] =3,5kN/cm d1=8cm d2=6cm 3M0 M 0 z B C D 60cm 40cm M0 - + 2M0 Chương 9:Xoắn thuần tuý
4. Bài Giảng Sức Bền Vật Liệu 2 Mz M z d dz dz Mz GI p 1 L M 2 U A z dz 2 GI GI=hangso o p l 7- Dạng phá hỏng của các vật liệu   3  1  3 1   max   3 1 3 1  P a) b H. 9.8 Trạng thái ứng suất tại một điểm trên mặt ngoài của thanh chịu xoắn Nghiên cứu trạng thái ứng suất của trục tròn chịu xoắn, ta thấy tại một điểm trên mặt ngoài, phân tố ở trạng thái trượt thuần túy chịu ứng suất tiếp cực đại max (H.9.a), ở trạng thái này, theo hai o phương nghiêng 45 so với trục có ứng suất kéo chính và ứng suất nén chính 1 = –3 =  (H.9.8.b). Mặt khác, qua thí nghiệm, ta cũng biết rằng vật liệu dẻo(như thép)chịu kéo, chịu nén tốt như nhau, còn chịu cắt thì kém hơn, H. 9.10 Dạng nứt gãy của vật liệu dòn do đó, khi một trục thép bị xoắn sẽ bị gãy theo mặt cắt ngang, do ứng suất tiếp max trên mặt cắt ngang (H.9.9). Với vật liệu dòn như gang, chịu H. 9.9 Dạng nứt gãy của vật liệu dẻo chịu xoắn nén và chịu cắt rất tốt, còn chịu kéo rất kém nên khi xoắn sẽ bị gãy theo mặt nghiêng 45o so với trục do ứng suất kéo chính 1 (H.9.10). Với vật liệu có cấu tạo thớ như gỗ, chịu cắt dọc thớ rất kém nên khi xoắn sẽ bị nứt dọc theo đường sinh do ứng suất ứng suất tiếp đối ứng với ứng suất tiếp trên mặt cắt ngang (H.9.11). M z Mz H. 9.11 Dạng nứt gãy của gỗ chịu xoắn Thí dụ 4. Một động cơ có công suất 50kW, truyền một mômen xoắn lên một trục tròn hình vành khăn có d=0,85D tại tiết diện K, vận tốc trục n =3000 vg/phút. Giả sử hiệu suất truyền là100%.Khi đó tại tiết diện B,C nhận được công suất truyền 30kW và 20kW (H.9.12.a). Định đường kính D, sau đó tính góc xoắn BK . Biết: [ ]=16 kN/cm2; [ ] = 0,250/m; a = 50cm; G = 8.103 kN/cm2. Chương 9:Xoắn thuần tuý
5. Bài Giảng Sức Bền Vật Liệu 2 Giải: Ngoại lực là mômen xoắn trong mặt phẳng thẳng góc với trục thanh thì phản lực phát sinh tại các liên kết ngàm K và D là các mômen xoắn MK, MD trong các mặt phẳng thẳng góc với trục thanh. Giả sử MK, MD có chiều như trên hình vẽ. Để xác định mômen phản lực, viết phương trình cân bằng M/z = 0, ta có: MK - 3Mo - Mo + MD =0 (a) Phương trình (a) không đủ để định được phản lực MK,MD : Bàøi toán siêu tĩnh. Cần bổ sung một (hay nhiều) phương trình thiết lập từ điều kiện biến dạng của bài toán (phương trình điều kiện biến dạng). Thường cách giải như sau: +Tưởng tượng bỏ ngàm D, thay bằng phản lực tương ứng MD +Viết phương trình điều kiện biến dạng: (Tại D liên kết ngàm do đó góc xoay KD = 0 ) +Tính AD : Áp dụng nguyên lý cộng tác dụng. M z L M D 2l M D 2l M l M 2l 3Ml KD ( ) 0 i GI p G.I CD GI KB GICD GI KB GI KB + Cho D = 0, MD = 0,83M = 8,3kNm 830 2830  CD 4,23kN / cm 2  KB 2,85kN / cm 2 max 196,25 max 993,52 Kết quả dương,MD đúng đã chiều chọn. . XOẮN THANH THẲNG TIẾT DIỆN CHỮ NHẬT Thí nghiệm xoắn thanh tiết diện chữ nhật,biến dạng của thanh như (H.9.16). Lý thuyết đàn hồi cho các kết quả như sau: a b H. 9.16) Sự vênh của) tiết Ứng suất: Trên mặt cắt ngang chỉ có ứng suất tiếp. diện chữ nhật khi xoắn + Tại tâm và các góc, ứng suất tiếp bằng không. + Tại điểm giữa cạnh dài, ứng suất tiếp đạt giá trị lớn nhất 1 M z  1 max hb2 max + Tại điểm giữa cạnh ngắn, ứng suất 1 bé hơn: Mz max 1  max z +Phân bố ứng suất tiếp tại các điểm trên các trục đối xứng, các h cạnh tiết diện và các đường chéo được biểu diễn ở H.9.17. 1 1 b M  Góc xoắn tương đối :  z hb3 H. 9. Phân bố ứng suất tiếp trong đó: , ,  là các hệ số phụ thuộc tỷ số (cạnh dài h /cạnh trên tiết diện chữ nhật ngắn b) được cho trong bảng 1. Chương 9:Xoắn thuần tuý
6. Bài Giảng Sức Bền Vật Liệu 2 Trên mặt cắt đang xét (xem như mặt cắt ngang của dây lò xo) có lực cắt Qy và mômen xoắn Mz, chúng đều gây ứng suất tiếp:  = M + Q Tại một điểm bất kỳ trên mặt cắt ngang, cácthành phần ứng suất được biểu diễn như (H.9.19).Bỏ qua độ nghiêng của dây lò xo, coi tiết diện đang xét là tròn, có thể thấy rằng, tại mép trong của mặt cắt dây lò xo, điểm A trên H.9.19, ứng suất tiếp đạt giá trị cực đại, dù lực P là tác dụng kéo hay nén lò xo. Một cách gần đúng, ứng suất tiếp tại điểm nguy hiểm có thể tính như sau: D Q P y M z P 2  max  Q  M 2 3 F Wp d d 4 16 8PD d 8PD  max 1 d 3 2D d 3 Thực chất Q không phân bố đều, còn công thức tính M như trên không chính xác vì tiết diện không tròn do độ nghiêng của dây lò xo cũng như sợi dây lò xo không là thanh thẳng, cho nên trong tính toán thực hành, kể đến kết quả do thực nghiệm, ta có thể lấy: D D P 8PD 0,25  k 2 k với k d max 3 3 D .d .d 1 16 d 2- Biến dạng của lò xo: Tính độ co, dãn  của lò xo khi chịu lực dọc trục. Dùng nguyên lý bảo toàn năng lượng, bỏ qua các mất mát năng lượng,công ngoại lực T hoàn toàn biến thành thế năng biến dạng đàn hồi U. Ta có: 1 + Công của ngoại lực P trên độ co, dãn  của lò xo là: T P (a) 2 + Thế năng biến dạng đàn hồi tích lũy trong lò xo (bỏ qua thế năng do Qy): 1 M 2 L U  z 2 GI p 1 P2 D2 Dn 1 8P2 D3n U (b) 2 4 G d 4 / 32 2 Gd 4 8PD3n P Gd4 về giá trị, T = U,  với: C Gd 4 C 8D3n lưc trong đó:C - là độ cứng của lò xo, có thứ nguyên chiềudài Thí dụ 6 : Hai lò xo có độ cứng C 1 = 8 kN/cm và C2 = 5 kN/cm cùng chiều cao H, được ghép đồng trục(song song) , cùng chịu lực P = 50 kN (H.9.20.a). Tính lực tác dụng trên từng lò xo, tính chuyển vị của điểm đặt lực. Chương 9:Xoắn thuần tuý
7. Bài Giảng Sức Bền Vật Liệu 2 Tìm giá trị mômen xoắn M0  để trục thoả điều kiện bền. b) Tính góc xoắn tại đầu N với M0 vừa tìm. d M 2M 3M Giải 0 0 0 N B C K D L 2L 3L 2M0 M 0 + + _ 4 a 4 (D) 4 (D) 4 4 I CK 981,25cm , I NB 1   0,5904J CK 579,33cm 32 a M0 32 M0 3 NB M 0 WNB 0,5904WCK 115,866cm ,  max   M 0 521,4kNcm 5,214kNm WNB 2M  CK 0   M 441,56kNcm 4,42kNm max 0a WCK a M0  4,42kNm M 0l M 0 2l 2M 0 3l 442 20 6 442 20 3 NK 4,8 10 Radian GI NB GI BC GI CK 8000 579,33 8000 981,25 Bài 2: Cho trục chịu lực như hìnhvẽ .Tính Mc để trục làm việc hợp lý theo điều kiện bền. Với M0 =5kNm d M 2M Mc 0 0 M N B C K 0 L 2L 3L Dd M0-Mc M 0 + + _ M a 0 M0 NB CK M 0 M 0 M C 500 500 M C  max  max 4,316 M C 3,47kNm WNB WCK 115,866a 196,25 Bài 3.Cho trục như hình vẽ, M =a 4kNm Vẽ biểu đồ mômen xoắn Mz M 0 3M d MN 2M a N B C K M0 L 2L 3L D Chương 9:Xoắn thuần tuý a a
8. Bài Giảng Sức Bền Vật Liệu 2 Bài tập làm thêm: 1. Vẽ biểu đồ mômen xoắn, tính 5M 2M ứng suất tiếp lớn nhất. Cho B H K C 2d M = 2kNm; D = 2d=8cm 3 2 G = 8.10 kN/cm , d 50cm 50cm 50cm 2. Bây giờ cũng bài toán trên với []=4kN/cm2. Hãy chọn D,và d. 3.Định M0 theo TB3.Cho M 3M0 2M0 [ ]=16kN/cm2 0 d=8cm B x y 60cm 40cm D=10cm 3. Cho trục có hai đoạn mặt cắt ngang khác nhau a)Vẽ Mz và tính ứng suất tiếp cho mỗi đoạn b) Tính góc xoắn toàn phần tại đầu H c) Ngàm đầu H lại. Tính ứng suất tiếp trong mỗi đoạn . L = 50cm,D=10cm,d = 8cm,M =5kNm,G =8000kN/cm2, M D 3M K B C D H d L L L L 5. Tìm MD để góc xoắn tại K bằng không.(cho hai trườmg hợp). Tính theo Mo G, 2Ip G, I MD p G, 2I 3M p G, Ip 0 4M M 0 MD 0 M0 K B C D D K a a a B C L L L Chương 9:Xoắn thuần tuý