Bài giảng Sức bền vật liệu - Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp - Lê Đức Thanh

Nội dung text: Bài giảng Sức bền vật liệu - Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp - Lê Đức Thanh

1. Bài Giảng Sức Bền Vật Liệu Chương 10 THANH CHỊU LỰC PHỨC TẠP I. KHÁI NIỆM  Định nghĩa: Thanh chịu lực phức tạp khi trên các mặt cắt ngang có nhiều thành phần nội lực tác dụng như lực dọc Mx Mz Nz, mômen uốn Mx, My, mômen xoắn Mz (H.10.1). Khi một thanh chịu lực phức tạp, ảnh hưởng của lực cắt 0 Nz z đến sự chịu lực của thanh rất nhỏ so với các thành phần nội x lực khác nên trong tính toán không xét đến lực cắt. My  Cách tính toán thanh chịu lực phức tạp Áp dụng Nguyên lý cộng tác dụng: y “Một đại lượng do nhiều nguyên nhân đồng thời gây ra H.10.1 sẽ bằng tổng các đại lượng của từng nguyên nhân riêng lẽ gây ra“(Chương 1) Thí dụ các dạng sơ đồ chịu lực như sau: A q x q A B z l P=ql L P=qL y q B l C P=ql B P A L L x C L A B D z P=qL 2P C l 2l l y Nhắc lại: Mx là momen xoay quanh trục x,lực tác dụng tác dụng trong mp(yoz) My là momen xoay quanh trục y lực tác dụng tác dụng trong mp(xoz) Mz là momen xoay quanh trục z lực tác dụng tác dụng trong mp(xoy) Chú ý khi vẽ các biểu đố nội lực: Momen uốn luôn vẽ về phía chịu kéo của thanh. II. THANH CHỊU UỐN XIÊN 1) Định nghĩa – Nội lực Thanh chịu uốn xiên khi trên mọi mặt cắt ngang có hai thành Mx phần nội lực là mômen uốn Mx và mômen uốn My tác dụng trong các mặt phẳng yoz và xoz (Hình 10.2) 0 z x Dấu của Mx , My (hệ trục được mặc định như hình vẽ) My Mx 0 khi căng (kéo) phía dương của trục y My 0 khi căng (kéo) phía dương của trục x. y H.10.2 Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp 1 GV: Lê đức Thanh
2. Bài Giảng Sức Bền Vật Liệu Lấy dấu (+) khi điểm tính ứng suất nằm ở miền chịu kéo . Lấy dấu (–) khi điểm tính ứng suất nằm ở miền chịu nén. H.10.5 biểu diển các miền kéo, nén trên mặt cắt do các mômen _ + _ _ uốn Mx (+) ,(- ) và My + _ x Thí dụ1. + + 2 Tiết diện chữ nhật bxh =20 40cm chịu uốn xiên (H.10.6), Tính _ + ứng suất tại B. Cho y Mx = 8kNm và My = 5kNm. Chiều hệ trục chọn như vẽ. H.10.5 Ứng suất pháp tại B (xB =+10 cm; yB = - 20 cm) + Tính theo (10.2) như sau: 800 500 2  B ( 20) (10) 0,0375kN/ cm 20(40)3 40(20)3 B 12 12 M + Tính theo (10.3) công thức kỹ thuật như sau: x Mx gây kéo những điểm nằm dưới 0y và gây nén những điểm 0 z trên oy; x My My gây kéo những điểm bên phải 0x và gây nén những điểm . bên trái 0x. C(x,y) Biểu diễn vùng kéo bằng dấu (+) và vùng nén bằng dấu y (–) trên tiết diện (H.10.4a) ta có thể thấy, tại điểm B; M gây H.10.6 x 800 500 nén; M gây kéo.  20 10 0,0375kN / cm 2 y B 20(40)3 40(20)3 12 12 3- Đường trung hòa và biểu đồ ứng suất Công thức(10.3) là một hàm hai biến, đồ thị là một mặt phẳng trong hệ trục Oxyz. Nếu biểu diễn giá trị ứng suất pháp  z Đường trung hòa cho ở (10.3) bằng các đoạn thẳng đại số theo trục z định hướng x dương ra ngoài mặt cắt và ngược  min x lại.(H.10.7)Ta được một mặt phẳng My 0 - 0 chứa đầu mút các véctơ ứng suất pháp tại mọi điểm trên tiết diện, gọi là mặt ứng suất y Gọi giao tuyến của mặt ứng suất và y + mặt cắt ngang là đường trung hòa, H.10.7  vì vậy: max Mặt phẳng ứng suất Biểu đồ ứngM suấty phẳng Cho biểu thức z = 0, ta được phương trình đường trung hòa: đường trung hòa là một đường thẳng và là quỹ tích của những điểm trên mặt cắt ngang có trị số ứng suất pháp bằng không. Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp 3 GV: Lê đức Thanh
3. Bài Giảng Sức Bền Vật Liệu M M M M W k x ,W k y W n x ,W n y x k y k x n y n ymax xmax ymax xmax Trường hợp thường dùng: †Đối với thanh có tiết diện chữ nhật bxh (hay nội tiếp trong hình chữ nhật) điểm xa đường trung hòa nhất luôn luôn là các điểm góc của tiết diện, khi đó: / b h k n b k n h xB= xB  = ; yC = yB = Wx Wx Wx ,Wy Wy Wy 2 2 2 2 C/ Mx My Mx My C max ; min (10,5) Wx Wy Wx Wy / I bh2 I hb2 B B với: W x ; W x x h/ 2 6 y b/ 2 6 † Đối với thanh có tiết diện tròn, khi tiết diện chịu tác dụng của hai mômen uốn Mx, My trong hai mặt phẳng vuông góc yOz, xOz, mômen tổng là Mu tác dụng trong mặt phẳng vOz cũng là mặt phẳng quán tính chính trung tâm , Như vậy tiết diện tròn: chỉ chịu uốn phẳng, do đó: 3 Mu 2 2 .D 3  max,min ; Mu M x M y ; Wu Wx 0,1D (10.6) Wu 32 Điều kiện bền: trên mặt cắt ngang của thanh chịu uốn xiên chỉ có ứng suất pháp, không có ứng suất tiếp, đó là trạng thái ứng suất đơn, hai điểm nguy hiểm là hai điểm chịu max, min, tiết diện bền khi hai điểm nguy hiểm thỏa điều kiện bền: Đối với vật liệu dòn: [ ]k # [ ]n max []k; min []n Đối với vật liệu dẻo: [ ]k = [ ]n = [ ], điều kiện bền được thỏa khi: max max, min [] Thí dụ2. Một dầm tiết diện chữ nhật (12x20) cm chịu lực như trên H.10.8.a. a) Vẽ biểu đồ nội lực, b) Vẽ hình chỉ rõ nội lực tại mặt cắt ngàm. c) Xác định đường trung hòa và tính ứng suất max, min tại tiết diện ngàm. Cho: P =5,0kN(tác dụng trong mp(xoy) , L= 2m , =300 . Giải. Phân tích lực P thành 2 thành phần trên hai trục x :mp(xoz) và y:mp(yoz), (chọn như hình vẽ)và tính mômen đối với ngàm ta được: 0 Py = P.cos30 Mx = Py.L = 8,66kNm 0 Px = P.sin30 My = Px.L = 5kNm Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp 5 GV: Lê đức Thanh
4. Bài Giảng Sức Bền Vật Liệu 866 500 kN   0,342 A max 12x202 20x122 cm 2 6 6 kN   0,342 B min cm 2 Nếu thay tiết diện chữ nhật bằng hình tròn d=10cm. Tính lại  max , min M u 1 2 2 32 2 2 2  max,min 3 M x M y 3 (866) (500) 2,56kN/ cm Wu d 10 32 Thí dụ3. Cho dầm có gối tựa đơn bằng gỗ, tiết diện tròn đường kính D =16cm, chịu lưc như hình vẽ. Xác định trị số [P] theo điều kiện bền . Cho L = 50cm, [ ] =1,2kN/cm2. Giải 4PL 2PL 2 2 Tại mặt cắt B: Mx = và My = M M M 1,49PL 3 3 u x y PL 5PL 2 2 Tại mặt cắt C: Mx = và My = M M M 1,7PL 3 3 u x y M 1,7PL Vậy mặt cắt nguy hiểm tại C có :  u 1,2 P 5,67KN max min W D3 32 P P x A C D z B x D x 2 y 2P x 2L 3L L P y 2PL 5PL 3 3 Hinh 10.10 PL 4PL 3 3 Thí dụ 4. (Tự đọc) Một dầm tiết diện tròn chịu lực như 300 hình vẽ. P 2P P 2P a) Vẽ biểu đồ nội lực, K 300 b)Tính  ,  . tại mặt cắt nguy hiểm A B x max min C theo P, L. (với L=1m).Từ đó có thể: 1m 2m 1m y - Kiểm tra bền D Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp 7 GV: Lê đức Thanh
5. Bài Giảng Sức Bền Vật Liệu 2 Vẽ Mx, My ,Tìm b. Cho q=2kN/m, L=1m, [ ]=10kN/cm q q q x 1,5b y 30o 2L L 2L b III. THANH CHỊU UỐN CỘNG KÉO ( HAY NÉN ) 1- Định nghĩa Thanh chịu uốn cộng kéo (hay nén) đồng thời khi trên các mặt cắt ngang có các thành phần nội lực là mômen Mx uốn Mu và lực dọc Nz. 0 Mu là mômen uốn tác dụng trong mặt phẳng chứa trục z, Nz z x luôn luôn có thể phân thành hai mômen uốn Mx và My trong M . y  z mặt phẳng đối xứng yOz và xOz (H.10.13). C(x,y) Dấu Mx và My qui ước giống uốn xiên. y Nz > 0 gây kéo (hướng ra ngoài mặt cắt). H.10.13 Nz 0 (+) khi kéo, Nz< 0 (-) khi nén Thí dụ 7: Cho cột chịu lực như hình vẽ P1=120kN, P2=20kN Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp 9 GV: Lê đức Thanh
6. Bài Giảng Sức Bền Vật Liệu suất, giao tuyến của nó với mặt cắt ngang là đường trung hòa. Dễ thấy rằng, đường trung hòa là một đường thẳng chứa tất cả những điểm trên mặt cắt ngang có ứng suất pháp bằng không. Từ đó, cho z = 0, ta có phương trình đường trung hòa: M I N I y y x x z x (10.9) M x I y A M x Phương trình (10.13) có dạng y = ax + b, đó là một đường thẳng không qua gốc N .I tọa độ, cắt trục y tại tung độ b z x . A.M x Mặt khác, do tính chất mặt phẳng ứng suất, những điểm nằm trên những đường song song đường trung hòa có cùng giá trị ứng suất, những điểm xa đường trung hòa nhất có giá trị ứng suất lớn nhất, ứng suất trên một đường vuông góc với đường trung hòa thay đổi theo quy luật bậc nhất. - Đường trung hòa chia Đường trung hồ tiết diện thành hai miền, miền chịu ứng suất kéo và miền chịu ứng suất  min x nén.Nhờ các tính chất x My - nầy, có thể biểu diễn sự 0 phân bố của ứng suất 0 z N/A pháp trên mặt cắt ngang y bằng biểu đồ ứng suất phẳng như sau. + -Kéo dài đường trung hòa y H.10.14  max ra ngòai tiết diện, vẽ đường chuẩn vuông góc Mặt phẳng ứng suất Biểu đồ ứng suất phẳng với đường kéo dài tại điểm O, đó cũng là điểm biểu diễn giá trị ứng suất pháp tại mọi điểm trên đường trung hòa. Sử dụng phép chiếu thẳng góc, chiếu mọi điểm trên những đường song song đường trung hòa lên đường chuẩn, điểm có chân hình chiếu xa O nhất chịu ứng suất pháp lớn nhất. -Điểm xa nhất về miền kéo chịu ứng suất kéo lớn nhất, gọi là max, -Điểm xa nhất về miền nén chịu ứng suất nén lớn nhất, gọi là min. Biểu diễn giá trị max, min bằng các tung độ về hai phía đường chuẩn rồi nối chúng lại bằng đường thẳng, ta được biểu đồ ứng suất phẳng (H.10.14) 4. Ứng suất pháp cực trị và điều kiện bền K K Gọi xmax ,và ymax là điểm chịu kéo xa đường trung hòa nhất. N N Và xmax và ymax là điểm chịu nén xa đường trung hòa nhất. Theo (10.14), ta nhận xét, khi ứng suất có lực dọc trái dấu với ứng suất do Mx, My Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp 11 GV: Lê đức Thanh
7. Bài Giảng Sức Bền Vật Liệu Cho q=2kN/m, a=2m D=10cm 2qa2 x x A y y A P1=2qa a - 2P B B qa 2 qa a a 2 2 2 2 Nz M u qa (2qL ) (qL ) 2  max 2 3 18,18kN/ cm A Wu 10 10 4 32 2 2 2 2 Nz M u qa (2qL ) (qL ) 2  min ( 2 3 18,28kN/ cm A Wu 10 10 4 32 5- Thanh chịu kéo hay nén lệch tâm Thanh chịu kéo hay nén lệch tâm khi trên mặt cắt ngang chỉ có một lực P song song trục thanh và không trùng với trục thanh. (H.10.14.a). xk x Mx x 0 0 z Nz z K yk P My K(xk,yk) y y H.10.14a H.10.14b b Trong thực tế, b à i t oán nén lệch tâm rất thường gặp trong tính toán cột, móng nhà công nghiệp hay dân dụng, trong tính toán trụ, móng cẩu tháp Áp dụng nguyên lý dời lực, đưa lực kéo hay nén lệch tâm về tâm tiết diện, ta có thể chứng minh trường hợp nầy thực chất là bài toán uốn cộng kéo hay nén đồng thời. Trên H.10.14.a, gọi K(xK, yK) là tọa độ điểm đặt lực lệch tâm P, dời về tâm O, ta có: Nz P ,lấy (+) khi P là lực kéo, ngược lại, lấy (–). Mx = P.yK ,v My = P.xK Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp 13 GV: Lê đức Thanh
8. Bài Giảng Sức Bền Vật Liệu Lỏi tiết diện( Ngành XD tự đọc) Gọi lõi tiết diện là một miền kín bao quanh tâm của tiết diện và thoả mãn tính chất: -Nếu lực lệch tâm đặt trong miền kín đó thì đường trung hòa hoàn toàn nằm ngoài tiết diện. -Nếu lực lệch tâm đặt trên chu vi của miền kín thì đường trung hòa tiếp tuyến với chu vi của tiết diện. Trong thực tế có nhiều loại vật liệu chỉ chịu nén tốt như gạch, đá, gang, bêtông không thép , nếu chúng chịu nén lệch tâm mà lực nén đặt ngoài lỏi tiết diện, ứng suất kéo phát sinh có thể lớn hơn khả năng chịu kéo của chúng, khi đó vật liệu sẽ bị phá hoại, để tận dụng tốt khả năng chịu lực của vật liệu cần thiết kế đặt lực nén trong lỏi tiết diện. Có thể xác định lỏi tiết diện theo cách sau: - Xác định hệ trục quán tính chính trung tâm của tiết diện. - Cho đường trung hòa tiếp xúc một cạnh tiết diện, từ đó ta viết được phương trình đường trung hòa,( biết ai,bi )rồi suy ra tọa độ điểm đặt lực Ki tương ứng với vị trí đường trung hòa. Áp dụng cách tương tự đối với tất cả các cạnh còn lại, nối vị trí các điểm đặt lực, ta được lỏi tiết diện. Để ý rằng, dù tiết diện là đa giác lõm thì lỏi tiết diện luôn là một đa giác lồi. Ví dụ: tiết diện chữ nhật (H.10.15). Khi đường trung hòa trùng cạnh AB: y Đường trung hịa x y 1 h / 2 A B 2 iy O x xK 0 h xK i2 h h2 h x y y K h C K 2 12. 6 D 2 b Đường trung hịa Khi đường trung hòa trùng cạnh BC: x y 1 Li tiết diện chữ nhật b / 2 2 2 iy b b b xK Hình 10.15 xK 2 12.b / 2 6 2 ix yK 0 yK Do tính đối xứng của tiết diện, khi đường trung hòa trùng cạnh CD, AD, ta xác định hai điểm K tương ứng có tọa độ lần lượt là: y h b Đường trung hịa xK = 0; yK = và xK = ; yK = 0 6 6 Nối các điểm K, ta được lỏi tiết diện của tiết diện chữ O x nhật là một hình thoi có đỉnh trên trục x,y (H.10.15). - Tiết diện tròn (H.10.16) D/8 Khi đường trung hòa là một tiếp tuyến với đường tròn D 8 Hình 10.16L ỏi tiết diện trịn Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp 15 GV: Lê đức Thanh
9. Bài Giảng Sức Bền Vật Liệu Áp dụng công thức (10.12): 100 750 7000  0,125 1,0 7,0 6,125kN/ cm 2 K 15.20 20.152 15.202 6 6 100 750 7000  max,min 15.20 20.152 15.202 6 6 7,875kN/cm 2 (taïiB) 0.125 1,0 7,0 8,125 kN/cm 2 (taïiD ) Phương trình đường trung hịa: M I N I y y x .x z . x (a) M x I y A M x Chọn hệ trục x,y như hình vẽ .(Mx,v My dương) 20 153 20 153 7000 100. y ( 12 )x . 12 5,25x 2,5  = 790 750 15 203 15 .20 750 12 Thí du 9: Kiểm tra bền tại mặt cắt chân móng có mặt cắt ngang hình chữ nhật bxh, 2 2 []k =60N/cm ,[]n =700N/cm , P=6kN đặt lệch tâm 20cm so với trọng tâm mặt cắt chân móng. Cho b =18cm, h = 20cm, Q=12kN. M N Đường trung hòa y x z . 0 x 5cm I y A e=20cm 50 1800 120000 P  max,min 2 N / cm2 18.20 18.120 150 6 z z X M = 10x200kNcm X N=P y N=P+Q My= 6x20kNcm X X X x Q X x 0X X 0X X X/ X X/ K X X* X x y X* X XX X b X XX y X X X / h X XX / / * X / Hình 1 * * X X * X X X / X X X * X XChương 10: Thanh chịu lực phức tạp 17 GV: Lê đức Thanh X
10. Bài Giảng Sức Bền Vật Liệu Xét một thanh tiết diện tròn chịu tác dụng của mômen uốn Mu (chỉ là uốn đơn) và mômen xoắn Mz(H.10.21.a).(Nếu có nhiều ngoại lực gây uốn tác dụng trong những mặt phẳng khác nhau, ta luôn luôn có thể phân tích chíng thành các thành phần tác dụng 2 2 trong hai mặt phẳng vuơng góc, và mômen tổng Mu = Mx My )  max Mz  min A A o o B  max Mu B Nz  max H.21. a.b Biểu đồ ứng suất (h.21-b) Dưới tác dụng của mômen uốn Mu, hai điểm A,B chịu ứng suất pháp lớn nhất max, min, ngòai ra, do tác dụng của mômen xoắn Mz tại hai điểm A, B còn chịu ứng suất tiếp max, đó là hai điểm nguy hiểm nhất trên tiết diện. Mu 2 2 Ta có:  max,min ; Mu Mx My (10.13) Wu Mz Mz  max Wp 2Wx Phân tố đang xét tại A và B vừa chịu ứng suất pháp vừa chịu ứng suất tiếp, đó là phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng. Điều kiện bền: Theo thuyết bền thứ 3:  2 4 2 [ ] 1 2 2 2 M x M y M z [ ] (10.14) Wx Theo thuyết bền thứ 4:  2 3 2 [ ] 1 2 2 3 2 M x M y M z [ ] Wx 4 2- Thanh tiết diện chữ nhật (Ngành CK không học) Uốn xoắn thanh tiết diện chữ nhật thường gặp trong công trình dân dụng như lanh tô đỡ ô văng, dầm chịu lực ngòai mặt phẳng đối xứng, thanh chịu uốn trong hệ không gian Xét một tiết diện chữ nhật bxh chịu uốn xoắn (H.22) trong đó mômen uốn Mu đã được phân tích thành hai mômen uốn Mx, My trong các mặt phẳng quán tính chính trung tâm yOz, xOz. Áp dụng nguyên lý cộng tác dụng và lý thuyết về uốn, về xoắn, ta được các kết quả như sau (H.22): Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp 19 GV: Lê đức Thanh
11. Bài Giảng Sức Bền Vật Liệu 1 1 ql 2  2 4 2 M 2 M 2 M 2 ( ( ) 2 (3ql 2 ) 2 (0,05ql) 2   W x y z (10)3 2 x 16 q 13,45kN/m D Mz=p 2 q q P B x K L=2m 2P 3P D 0 A z 2 qL Mx= y 2 L=2m M Y =3pL M =p Hình 10.22a,b z - M L 1345 200 = z 0,0343Radian AB GJ 3,14(10)4 0 8000 32 Thí dụ 13: Cho thanh gãy khúc ABC có tiết diện hình vuông cạnh bxb chịu lực như hình vẽ. a) Vẽ biểu đồ nội lực b) Tính [b ] từ điều kiện bền TB3. Cho [ ]=16kN/cm2, q =10kN/m, L=1m Giải Biểu đồ nội lực được vẽ trn H.10.23.b, tại tiết diện ngàm chịu nội lực lớn nhất 2 2 Mx = 4qL = 4.10.1 = 40kNm 2 2 My = 2qL = 2.10.1 = 20kNm 2 2 Mz = 2qL = 2.10.1 = 20kNm Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp 21 GV: Lê đức Thanh
12. Bài Giảng Sức Bền Vật Liệu N z Mu 2 2  max,min ; Mu M x M y (10.15) F Wu Mz Mz  max Wp 2Wx Điều kiện bền: Theo thuyết bền thứ 3: 2 42 [] Theo thuyết bền thứ 4: 2 32 [] 3- Thanh có tiết diện chữ nhật Áp dụng nguyên lý cộng tác dụng và lý thuyết về kéo (nén), về uốn, và về xoắn, ta được các kết quả như sau : Tại A có  max do Mx,My,Nz gây ra Tại B có  min do Mx,My,Nz gây ra Tại C có do,Mx,Nz gây ra,và  1 do Mz gây ra Tại D có  do M , N gây ra và  do M gây ra min x z 1 z D B Tại E có do,M ,N gây ra,và  do M gây ra y z max z M z Mx Tại F có do My, Nz gây ra và do Mz gây ra X Tại các góc tiết diện, chỉ có ứng suất pháp do Nz, Mx, My, Ế F M Phân tố ở trạng thái ứng suất đơn: y Nz Z N z M x M y C  max,min K A Wx Wy Y Điều kiện bền: max k ; min n Tại điểm giữa cạnh dài, phân tố vừa chịu ứng suất pháp lớn nhất do My và lực dọc Nz, vừa chịu ứng suất tiếp lớn nhất do Mz, . Phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng: N z M y M  z  max,min ; max 2 A Wy hb . Điều kiện bền: Theo thuyết bền thứ 3: 2 42 [] Theo thuyết bền thứ 4: 2 32 [] Tại điểm giữa cạnh ngắn, phân tố vừa chịu ứng suất pháp lớn nhất do Mx và lực dọc Nz, vừa chịu ứng suất tiếp do Mz. Phân tố ở trạng thi ứng suất phẳng: N z M x  max,min , 1 max A Wx . Điều kiện bền: Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp 23 GV: Lê đức Thanh
13. Bài Giảng Sức Bền Vật Liệu A) Trường hợp 1: 30o 4P P Cho thanh ABCKH có tiết P 4P diện vành khăn và chịu lực P A như hình vẽ. D B C K H x a.Vẽ biểu đồ Mx,My y b.Tìm [D]và [d] theo điều kiện L L L L bền. d 2 d Cho ,[]= 16 kN/cm , 0,9 P= 10kN D B) Trường hợp 2; Thanh vẫn chịu lực như trên.Nếu thay tiết diện vành khăn bằng tiết diện hình chữ nhât có chiều rộng b =15cm và chiều cao h=30cm và []= 2kN/cm2 .Tính lại [P] Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp 25 GV: Lê đức Thanh