Bài giảng Sức bền vật liệu - Chương 4 + 5: Trạng thái úng suất và thuyết bền - Lê Đức Thanh

Nội dung text: Bài giảng Sức bền vật liệu - Chương 4 + 5: Trạng thái úng suất và thuyết bền - Lê Đức Thanh

1. Bài giảng Sức Bền Vật Liệu ___ Chương 4+5 TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT VÀ THUYÊT BỀN I. NHỮNG KHÁI NIÊM VỀ TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT. 1. Trạng thái ứng suất (TTƢS) tại một điểm. y P Xét một điểm K trong một vật thể cân bằng và các 1 P2 mặt cắt qua K, trên các mặt cắt ấy có các ứng suất   pháp  và ứng suất tiếp.Các ứng suất này thay đổi K P3 tùy vị trí mặt cắt (H.4.1). P4 x Định nghĩa TTỨS: TTƯS tại một điểm bao gồm tất z cả những thành phần ứng suất trên các mặt đi qua H.4.1. Ứng suất tại một điểm điểm ấy. TTƢS tại một điểm đặc trƣng cho mức độ chịu đựng của vật liệu tại điểm đó. Nghiên cứu TTƯS là tìm đặc điểm và liên hệ giữa các ứng suất ,, xác định ứng suất lớn nhất, nhỏ nhất để tính toán độ bền hay giải thích, đoán biết dạng phá hỏng của vật thể chịu lực. 2.Biểu diễn TTƯS tại một điểm y Tưởng tượng tách một phân tố hình hộp vô cùng bé bao y quanh điểm K. Các mặt phân tố song song với các trục tọa yz độ. yx Trên các mặt của phân tố sẽ có 9 thành phần ứng suất: xz x +Ba ứng suất pháp: x , y , z zx  zy +Sáu ứng suất tiếp. xy , yx , xz , zx , yz , zy , L  x zy zxxy z Ứng suất pháp  có 1 chỉ số chỉ phương pháp tuyến mặt có  L . z Ứng suất tiếp  có hai chỉ số: Chỉ số thứ nhất chỉ phương pháp tuyến của mặt cắt co , chỉ số thứ hai chỉ phương tiếp tuyến của . 3. Định luật đối ứng của ứng suất tiếp Trên hai mặt vuông góc, nếu mặt nầy có ứng suất tiếp hướng vào cạnh (hướng ra khỏi cạnh)thì mặt kia cũng có ứng suất tiếp hướng vào cạnh (hướng ra khỏi cạnh), trị số hai ứng suất bằng nhau ( H.4.3) xy  = yx ; xz=zx ; yz  =zy  (4.1) TTỨS tại một điểm còn 6 thành phần ứng suất. t H. 4.3 Ứng suất tiếp trên hai mặt vuông góc ___ Chương 4: TTƯS 1 Lê Đức Thanh
2. Bài giảng Sức Bền Vật Liệu ___ (qui ước nầy tiện lợi khi giải bài toán ở TTƯS phẳng thường dùng trong kỹ thuật và dễ tham khảo các tài liệu khác). 2.Ứng suất trên mặt cắt nghiêng bất kỳ Vấn đề: Xác định ứng suất trên mặt cắt nghiêng song song với trục z và có pháp tuyến u tạo với trục x một góc ( > 0 khi quay ngược chiều kim đồng hồ kể từ trục x ) (H.4.6a). Giả thiết đã biết các ứng suất x, y và xy.  Tính u và uv : Tưởng tượng cắt phân tố bằng mặt cắt nghiêng đã nêu, mặt cắt chia phân tố ra làm hai phần, xét cân bằng của một phần phân tố (H.4.6b). Trên mặt nghiêng có ứng suất u và uv , chúng được xác định từ phương trình cân bằng tĩnh học. y u u u xy u xy x x x ds x uv dy uv  yx  v dz yx dx v z y  y H. 4.6 Ứng suất trên mặt nghiêng * U=0 udsdz  xdzdycos  xydzdysin  ydzdxsin  xy dzdxcos 0 * V=0 uvdsdz  xdzdysin  xy dzdycos  ydzdxcos  xydzdxsin 0 Kể đến: xy =yx ;dx =ds sin ;dy =dscos ,  x  y  x  y  cos 2  sin 2 u 2 2 xy 1 1 1 cos 2 (1 cos2 ); sin 2 (1 cos2 ),sin cos sìn 2 2 2 (4.2a)  x  y  sin 2  cos2 (4.2b) uv 2 xy 0 u  Tính v: Xét mặt nghiêng có pháp tuyến v, v +90  u vuông góc mặt có pháp tuyến u (H.4.7). Thay thế v x bằng ( - 90) vào (4.2a),ứng suất pháp tác vu dụng trên mặt có pháp tuyến v:   uv     u  x y x y cos 2  sin 2 (4.3) v v 2 2 xy H. 4.7 Ứng suất trên 2 mặt vuông góc nhau Tổng (4.2a) và (4.3),  u  v  x  y (4.4) ___ Chương 4: TTƯS 3 Lê Đức Thanh
3. Bài giảng Sức Bền Vật Liệu ___ (4.5) cho thấy có hai giá trị 0 sai biệt nhau 90.Vì vậy, có hai mặt chính vuông góc với nhau song song với trục z. Trên mỗi mặt chính có một ứng suất chính tác dụng. Hai ứng suất chính này cũng là ứng suất pháp cực trị (ký hiệu là max hay min) thật vậy d   2 u x y xy 0 2 sin 2  xy cos 2 0 tan2 giống với (4.5) d 2  x  y Giá trị ứng suất chính là ứng suất pháp cực trị có thể tính được bằng cách thế ngược trị số của trong (4.5) vào (4.2a). tan2 o 1 Để ý rằng: sin 2 o ; cos2 o 2 2 1 tan 2 o 1 tan 2 o 2     x y x y 2  max 1,3  xy (4.6) min 2 2 Ta lại thấy  max +  min =  1 +  3 =  x +  y Thí dụ 2 Tìm ứng suất chính và phương chính của TTƯS (H.4.10a). Đơn vị của ứng suất là kN/cm2. Giải y1 2 Theo quy ước dấu, ta có: 0 / 2 67 30 2 2 2  x 4 kN/cm ;  y 2 kN/cm  xy 1 kN/cm 1 Phương chính xác định từ (4.5):  22030/ 4 1 2 x 2 xy 2 tan2 o 1  x  y 4 2 2 o o 2 o 45 k180 (1) o (2) o o 22 30'; o 67 30' (i) Có 2 phương chính ( 2 mặt chính ) vuông góc nhau Các ứng suất chính được xác định từ (4.6): 2 4 2 4 2 4,41 kN/cm 2  1 3 2 max 2 (ii) min 2 2 1,58 kN/cm Để xác định mặt chính nào từ (i) có ứng suất chính (ii) tác dụng, ta dùng (4.2b), chẳng (1) o hạn với o 22 30' , ta có: 4 2 4 2  cos2 22o30' 1sin2 22o30' 4,41 kN/cm 2 u 2 2 2 (1) o Vậy : 1 =4,41kN/cm ứng với góc nghiêng o 22 30' , 2 (2) o 2 =1,58kN/cm tác dụng trên mặt có o 67 30' . Các mặt và ứng suất chính biểu diễn trên phân tố ở H.4.10b. ___ Chương 4: TTƯS 5 Lê Đức Thanh
4. Bài giảng Sức Bền Vật Liệu ___   Thay vào (4.9), ta được:  1 3 max,min 2 III. TTỨS TRONG BÀI TOÁN PHẲNG- PHƢƠNG PHÁP ĐỒ THỊ (Tự đọc thêm) 1- Phương trình vòng tròn Mohr ứng suất . Công thức xác định ứng suất trên mặt cắt nghiêng (4.2) có thể biểu diễn dưới dạng hình học bằng vòng tròn Mohr. Để vẽ vòng tròn Mohr, ta sắp xếp lại(4.2) như sau:      x y x y cos 2  sin 2 (4.14) t u 2 2 xy R  x  y s uv sin 2  xy cos 2 (4.14)’ 2 O C Bình phương cả hai vế của hai đẳng thức trên rồi cộng lại, ta được: 2 2     C x y 2 x y 2  u  uv  xy (4.15) 2 2 Vong tron ứng suất Morh 2     x y 2 x y 2 H. 4.15 Đặt: c ; R  xy (4.16) 2 2 2 2 2 (4.15) thành:  u c  uv R (4.17) Trong hệ trục tọa độ, với trục hoành  và trục tung , (4.17) là phương trình của một đường tròn có tâm nằm trên trục hoành với hoành độ là c và có bán kính R . Như vậy, các giá trị ứng suất pháp và ứng suất tiếp trên tất cả các mặt song song với trục z của phân tố đều biểu thị bằng tọa độ những điểm trên vòng tròn. Ta gọi vòng tròn biểu thị TTƯS phẳng của phân tố là vòng tròn ứng suất hay vòng tròn Mohr ứng suất của phân tố. 2.Cách vẽ vòng tròn Mohr: (H.4.16): - Định hệ trục tọa độ O : trục hoành  // trục x, trục tung  // trục y của phân tố và hướng lên trên.  -Trên trục  định điểm E(x, 0) và điểm F(y, 0) giả thiết x p >y . xy Tâm C là trung điểm của EF.Đặt điểm P(y, xy) gọi là điểm 0 E  cực . F C - Vòng tròn tâm C, qua P là vòng tròn Mohr cần vẽ y OE OF  x  y x Chứng minh: C là trung điểm của EF OC c 2 2 H. 4.16 Cách vẽ vòng OE OF  x  y Trong tam giác vuông CPF: FC ; FP  xy tròn ứng suất 2 2 2 2 2   x y 2 2 Do đó CP FC FP  xy R 2 3-Tìm ứng suất trên mặt cắt nghiêng Dùng vòng tròn Mohr để tìm ứng suất trên mặt cắt nghiêng của phân tố có pháp tuyến u hợp với trục x một góc . Cách tìm u ; uv Dùng vòng tròn Mohr để tìm ứng suất trên mặt cắt nghiêng của phân tố có pháp tuyến u hợp với trục x một góc . ___ Chương 4: TTƯS 7 Lê Đức Thanh
5. Bài giảng Sức Bền Vật Liệu ___ 5- Tìm ứng suất tiếp cực trị  Trên vòng tròn (H.4.17): hai điểm I và J là những điểm có tung độ  lớn và nhỏ nhất. Do đó, tia  P B PI và PJ xác định pháp tuyến của những mặt trên đó 0 c E A   có ứng suất tiếp cực đại và cực tiểu. Những mặt này o tạo với những mặt chính một góc 45 . min max  Ứng suất tiếp cực trị có trị số bằng bán kính đường b) tròn. a) Ứng suất pháp trên mặt có ứng suất tiếp cực trị có giá trị  bằng hoành độ điểm C, tức là giá trị trung bình của ứng suất  P pháp: A  x  y Bc  tb 2  6- Các trường hợp đặc biệt max min - TTƯS phẳng đặc biệt a) b) Phân tố có hai ứng suất chính 1 và 3 (H.4.18). - TTƯS trượt thuần túy Phân tố có 2 ứng suất chính: 1  3 | | Các phương chính xiên góc 45o với trục x và y (H.4.19) - TTƯS chính ( H.4.20)   1  3  max,min 2 ma 161036 0 x J 71 36 Thí dụ 3: Phân tố v D p ở TTƯS phẳng u u 2 0 (H.4.21),các ứng uv 0 0 = 26 36 45 A suất tính theo 5 B Fc E  2 0 1 3 kN/cm . Dùng -7 -5 -2 1= -67024  0 vòng tròn Mohr, 4 3 1 M 3 xác định: / 1  4 D a) u 5 I Ứng suất trên mặt  cắt nghiêng uv min 45o b) Ứng suất chính và phương chính c) Ứng suất tiếp cực trị. Giải. Theo quy ước ta có: 2 2 2  x 5 kN/cm ;  y 1 kN/cm ;  xy 4 kN/cm 5 1 Tâm vòng tròn ở C ,0 . 2  Cực P(1, + 4). Từ P vẽ tia song song với trục u cắt vòng tròn Mohr tại M. Tọa độ điểm M biểu thị ứng suất trên mặt cắt nghiêng với 45o : ___ Chương 4: TTƯS 9 Lê Đức Thanh
6. Bài giảng Sức Bền Vật Liệu ___ V. LIÊN HỆ ỬNG SUẤT VÀ BIẾN DẠNG 1.Định luật Hooke tổng quát a) Liên hệ ứng suất pháp và biến dạng dài TTƯS đơn: trong chương 3, đã có: Định luật Hooke liên hệ giữa ứng suất pháp và  biến dạng dài:  (4.19) E  :biến dạng dài tương đối theo phương  Theo phương vuông góc với  cũng có biến dạng dài tương đối ngược dấu với :  '   E  TTƯS khối: với các ứng suất chính 1,2,3 theo ba phương chính I, II, III (H.4.25). Tìm biến dạng dài tương đối 1 theo phương I . 1 Biến dạng dài theo phương I do 1 gây ra:  ( ) 1 1 E  2 Biến dạng dài theo phương I do 2 gây ra:  ( )  1 2 E  3 Biến dạng dài theo phương I do 3 gây ra:  ( )  1 3 E Biến dạng dài tương đối theo phương I do cả ba ứng suất 1,2,3 sinh ra sẽ là tổng của ba biến dạng trên: 1   ( )  ( )  ( )  (  ) (4.21) 1 1 1 1 2 1 3 E 1 2 3 Tương tự, biến dạng dài tương đối theo hai phương chính II,III còn lại: 1       (4.22) 2 E 2 3 1 1       (4.23) 3 E 3 1 2  TTƯS tổng quát: Lý thuyết đàn hồi đã chứng minh đối với vật liệu đàn hồi đẳng hướng,  chỉ sinh ra biến dạng dài mà không sinh ra biến dạng góc,  chỉ sinh ra biến dạng góc mà không sinh ra biến dạng dài. y Trong trường hợp phân tố ở TTƯS tổng quát, vẫn có thể viết x II như sau: 2 1 z      x  x y z   E 1 1 I       y E y z x 3 1 III I       z z x y II E H.4.27. TTƯS khối b) Liên hệ giữa ứng suất tiếp và biến dạng góc (Định luật Hooke về trượt) ___ Chương 4: TTƯS 11 Lê Đức Thanh
7. Bài giảng Sức Bền Vật Liệu ___  Công thức trên cho thấy  phụ thuộc vào tổng ứng suất pháp chứ không phụ thuộc vào riêng từng ứng suất pháp. Như vậy, nếu cũng với phân tố ấy ta thay các ứng suất chính bằng một ứng suất trung bình tb có giá trị bằng trung bình cộng của ba ứng suất chính nói trên:      1 2 3 tb 3 3 thì biến dạng thể tích tương đối của phân tố trên vẫn không thay đổi. Thật vậy, với những ứng suất chính là tb , biến dạng thể tích bằng: 1 2 1 2      1 E tb tb tb E Kết quả trên có ý nghĩa như sau: với phân tố ban đầu là hình lập phương, trong hai trường hợp trên ta thấy thể tích phân tố đều biến đổi như nhau. - Tuy nhiên, trong trường hợp đầu khi các ứng suất chính khác nhau, phân tố vừa biến đổi thể tích vừa biến đổi hình dáng tức là trở thành phân tố hình hộp chữ nhật sau khi biến dạng. - Còn trong trường hợp thứ hai, khi thay các ứng suất chính bằng ứng suất trung bình, phân tố chỉ biến đổi về thể tích mà không biến đổi hình dáng, nghĩa là sau khi biến dạng phân tố vẫn giữ hình lập phương. - Về mặt lý luận, có thể phân phân tố ở TTUS khối chịu các ứng suất chính 1 , 2 , 3 thành 2 phân tố (H. 4.28). Phân tố b) chỉ biến đổi thể tích, phân tố c) chỉ biến đổi hình dáng.  -   TB 2 TB 2  1 TB  1 TB  1  TB  TB  TB   2 2 TB VI. THẾ NĂNG BIẾN DẠNG ĐÀN HỒI  Ở chương 3, phân tố ở TTƯS đơn (thanh bị kéo hoặc nén): Thế năng biến dạng đàn hồi riêng : u  2 (4.30)  Trong TTƯS khối, sử dụng nguyên lý độc lập tác dụng, ta có thế năng biến dạng đàn hồi riêng bằng:       u 1 1 2 2 3 3 (4.31) 2 2 2 thaytheo định luật Hooke trong (4.21) - (4.23) vào , 1 u                   2E 1 1 2 3 2 2 3 1 3 3 2 1 1 hay u  2  2  2 2        (4.32) 2E 1 2 3 1 2 2 3 3 1 Ta có thể phân tích thế năng biến dạng đàn hồi u thành hai thành phần: -Thành phần làm đổi thể tích gọi là thế năng biến đổi thể tích utt -Thành phần làm đổi hình dáng gọi là thế năng biến đổi hình dáng uhd Ta có: u = utt + uhd ___ Chương 4: TTƯS 13 Lê Đức Thanh
8. Bài giảng Sức Bền Vật Liệu ___ kéo, nén đúng tâm).Nghĩa là, với phân tố ở TTỨS bất kỳ có các ứng suất chính 1 ,2 ,3 ta phải tìm ứng suất tính theo thuyết bền làmột hàm của1 ,2 ,3 rồi so sánh với  k hay  n ở TTỨS đơn.(Rất phức tạp và khó khăn) B. Các thuyết bền (tb) cơ bản 1-Thuyết bền ứng suất pháp lớn nhất (TB1)  Nguyên nhân vật liệu bị phá hỏng là do ứng suất pháp lớn nhất của phân tố ở TTỨS phức tạp đạt đến ứng suất nguy hiểm ở TTỨS đơn.  Nếu ký hiệu: II 1, 2,3 : ứng suất chính của TTỨS phức II tạp 2 0k hay 0n : ứng suất nguy hiểm về kéo và nén 0k 1 0k n : hệ số an toàn I I Điều kiện bền theo TB1: 3 0k   [] III I t1 1 n k III I II II H.5.2. Trạng thái nguy hiểm  H.5.1. TTỨS khối   0n [] t1 3 n n của TTỨS đơn trong đó: t1 - là ứng suất tính hay ứng suất tương đương theo TB1  Ƣu khuyết điểm: TB1, trong nhiều trường hợp, không phù hợp với thực tế. Thí dụ trong thí nghiệm mẫu thử chịu áp lực giống nhau theo ba phương (áp lực thủy tĩnh), dù áp lực lớn, vật liệu hầu như không bị phá hoại. Nhưng theo TB1 thì vật liệu sẽ bị phá hỏng khi áp lực đạt tới giới hạn bền của trường hợp nén theo một phương. TB1 không kể đến ảnh hưởng của các ứng suất khác cho nên TB này chỉ đúng đối với TTỨS đơn. 2- Thuyết bền biến dạng dài tƣơng đối lớn nhất (TB2) II II  Nguyên nhân vật liệu bị phá hỏng là 2 do biến dạng dài tương đối lớn nhất của phân tố ở TTỨS phức tạp đạt đến biến dạng 0k 1 0k dài tương đối lớn nhất ở trạng thái nguy I I hiểm của phân tố ở TTỨS đơn. 3  Gọi 1 : biến dạng dài tương đối lớn nhất của III I III I phân tố ở TTỨS phức tạp II H.5.1II . TTỨS khối H.5.2. Trạng thái nguy hiểm  : biến dạng dài tương đối ở trạng thái 0k của TTỨS đơn nguy hiểm của phân tố bị kéo theo một phương ( TTỨS đơn). Theo định luật Hooke, ta có: 1       (a) 1 E 1 2 3   0k (b) 0k E Kết hợp (a) và (b), kể đến hệ số an toàn n Điều kiện bền theo TB 2: ___ Chương 4: TTƯS 15 Lê Đức Thanh
9. Bài giảng Sức Bền Vật Liệu ___ Thế (h) vào (g), lấy căn bậc hai của hai vế, kể đén hệ số an toàn n Điều kiện bền theo TB 4: 2 2 2 1 2 3 12 23 31 []k 2 2 2 hay là: t4 1 2 3 12 23 31 []k trong đó: t4 - là ứng suất tương đương theo thuyết bền thứ tư.  Ƣu khuyết điểm: TB thế năng biến đổi hình dáng được dùng phổ biến trong kỹ thuật vì khá phù hợp với vật liệu dẻo. Ngày nay được sử dụng nhiều trong tính toán cơ khí và xây dựng. CÁC KẾT QUẢ ĐẶC BIỆT (cần nhớ ) a) TTỨS phẳng đặc biệt    2    2 Các ứng suất chính: 1,3  ; 2 0 2 2 Theo TB ứng suất tiếp TB3  2 2 t3 1 3  4 [] Theo TB thế năng biến đổi hình dáng TB4 : 2 2 2 t4 1 2 3 13 21 32 []  hay: 2 32 [] b) TTỨS trượt thuần túy (H.5.4): Các ứng suất chính : 1  3 | |;  2 0  Theo TB3 (ứng suất tiếp cực đại): H.5.4 [ ]    2 | | [] hay: | | t3 1 3 2 Theo TB4 (thế năng biến đổi hình dáng): [ ]  3 2 [ ] hay: | | t4 3 5- Thuyết bền về các TTỨS giới hạn (TB 5 hay là TB Mohr) Như vậy, điều kiện bền theoTB Mohr (TB 5) được viết là: 1 3 [ ]k , Với hệ số =K / N ___ Chương 4: TTƯS 17 Lê Đức Thanh
10. Bài giảng Sức Bền Vật Liệu ___ Giải y Chọn hệ trục như hình vẽ. a Ta có: phân tố ở TTỨS phẳng ,điều kiện bài toán cho ta được P  0;  p (kN/cm2 );  0 x x y z  z 0; y 0 ;  x 0 z A Định luật Hooke cho biến dạng dài: H.4.11 1   (  ) 0 x E x y z 1 1 p   (  ) 0 - (-p - p) (1 ) z E z x y E E 2  x p -(0,36 1) 0,36 kN/cm 1 p   (  ) (1- 2 ) y E y x z E 1 2 V    )V v E x y z Biến dạng thể tích tuyệt đối: 1- (2 0,36)  0,36 1(5 5 5) - 0,0595cm3 800 H.4.5 Bài tập 4 : Một tấm mỏng có kích thước như trên h.4.5 chịu N tác dụng của ứng suất kéo  =30kN/cm2 theo phương chiều dài  của tấm và ứng suất tiếp  =15 kN/cm2. 0 25 MM a) Xác định ứng suất pháp theo phươngđường chéo mn và 30  phương vuông góc với đường chéo M b) Tính biến dạng dài tuyệt đối của đường chéo mn. Cho E = 2.104 kN/cm2,  = 0,3 Giải: 1 Gọi:   , mà:     (bài toán phẳng) u mm u E u v 30 0 30 0  cos 600 ( 15)sin600 35,5kN / cm 2 u 2 2 1    (  ) 1,8575.10 3 u mm E u x u 3 lu lmm 1,8575.10 50 0,093mm ___ Chương 4: TTƯS 19 Lê Đức Thanh