›
›

Bài giảng Sức bền vật liệu - Chương 4: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang

Mômen tĩnh của mặt cắt ngang đối với một trục
Mômen quán tính của mặt cắt ngang
Mômen quán tính của một số hình phẳng đơn giản
Công thức chuyển trục song song của mômen quán tính
Công thức xoay trục của mômen quán tính
pdf 177 trang thamphan 26/12/2022 4040
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Sức bền vật liệu - Chương 4: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên.

File đính kèm:

  • pdfbai_giang_suc_ben_vat_lieu_chuong_4_dac_trung_hinh_hoc_cua_m.pdf

Nội dung text: Bài giảng Sức bền vật liệu - Chương 4: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang

  1. Chương 4 ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC CỦA MẶT CẮT NGANG  Mômen tĩnh của mặt cắt ngang đối với một trục  Mômen quán tính của mặt cắt ngang  Mômen quán tính của một số hình phẳng đơn giản  Công thức chuyển trục song song của mômen quán tính  Công thức xoay trục của mômen quán tính 1
  2. Mômen tĩnh của mặt cắt ngang đối với một trục Sx, Sy mômen tĩnh của diện tích mặt cắt ngang đối với trục x, y có thứ nguyên Sx, Sy là (chiều dài)3 Do x, y có thể âm hoặc dương nên Sx, Sy có thể âm hoặc dương. SX=0, Sy=0 thì trục x, y là trục trung tâm và đi qua trọng tâm mặt cắt. Ví dụ SX=0 thì trục x đi qua trọng tâm mặt cắt. Giao điểm của 2 trục trung tâm là trọng tâm của mặt cắt 3
  3. Mômen quán tính của mặt cắt ngang  Mômen quán tính của hình phẳng đối với một trục 2 J , J là mômen quán J y dF X y X tính của mặt cắt F ngang đối với trục x, 2 y, có thứ nguyên là J y x dF 4 F (chiều dài) 5
  4. Mômen quán tính của mặt cắt ngang  Mômen quán tính ly tâm J xydF xy F 7
  5. Mômen quán tính của một số hình phẳng đơn giản  Mặt cắt hình chữ nhật bh3 J x 12 hb 3 J y 12 9
  6. Mômen quán tính của một số hình phẳng đơn giản 4  Mặt cắt hình tròn R J J x y 2 D 4 J 0,1D 4 P 32 D 4 J J 0,05D 4 x y 64 11
  7. Bán kính quán tính J x ix F ix , iy: bán kính quán tính của mặt cắt ngang đối với trục x và trục y J i y y F 13
  8. Công thức chuyển trục song song của mômen quán tính  Vấn đề: biết Jx, Jy, Jxy đối với hệ trục Oxy. Tìm JX, JY, JXY đối với hệ trục song song OXY X x a Y y b 15
  9. Công thức chuyển trục song song của mômen quán tính  Nếu x, y là hệ  Nếu xy là hệ trục quán trục trung tâm, thì tính chính trung tâm, thì Sx = Sy = 0 và Jxy = 0 Sx = Sy = 0 2 2 JX J x b F J J b F X x 2 2 JY J y a F J Y J y a F J J abF J abF X Y xy X Y 17
  10. Công thức xoay trục của mômen quán tính Gọi (u, v) là tọa độ của điểm A trong hệ tọa độ Ouv, ta có 2 u = xcos + ysin J u v dF v = -xsin + ycos (a) F 2 Mômen quán tính đối với hệ J v u dF trục Ouv là F J uvdF uv F 19
  11. Công thức xoay trục của mômen quán tính  Vị trí hệ trục quán 2J tính chính trung tg2 xy tâm được xác định J x J y từ điều kiện Juv=0 hay J x J y 1 2 2 Trị số mômen Jmax J x J y 4J xy quán tính đối với 2 2 J J 1 hệ trục quán tính J x y J J 2 4J 2 chính min 2 2 x y xy 21
  12. Ví dụ 4.1  Xác định trọng tâm mặt cắt 3 F y  i i 5 y i 1 a c 3 3  Fi i 1 23
  13. Ví dụ 4.1  Bán kính quán tính chính J 143 i x a2 1,993a x F 3.12 J 19 i y a2 1,258a y F 12 25
  14. Ví dụ 4.2 Đối với thép chữ  (số hiệu N0 20a) h = 20cm b1= 8cm z1 = 2,27cm 2 F1 = 25cm 4 Jx1 = 1660cm 4 Jy1 = 137cm 27
  15. Ví dụ 4.2 Xác định trọng tâm mặt cắt: xC 1,217cm yC 2,13cm Lập hệ trục trung tâm XCY, gọi C1 và C2 là tọa độ trọng tâm của thép  và thép V: C1(-1,217; -2,13), C2(3,25; 5,68) 29
  16. Ví dụ 4.2 2 J F1 J F1 Y F 1660 25x2,132 1773,4cm4 X x1 C1 1 2 2 J F2 JF2 Y F 57 9,38 5,68 359,6cm4 X x2 C2 2 2 JF1 J F1 X F 137 25x1,2172 173,6cm4 Y y1 C1 1 2 J F2 J F2 X F 57 9,38x3,252 156cm4 Y y2 C2 2 31
  17. Ví dụ 4.2 J F1 J F1 a b F XY x1 y1 1 1 1 0 1,21x2,13x25 64,4325cm4 J F2 J F2 a b F XY x2 y2 2 2 2 33,45 (3,25x5,68)9,38 206,6cm4 33
  18. Ví dụ 4.2 Phương của hệ trục quán tính chính trung tâm là: 2J 2x271 tan2 XY 0,301 J X JY 2133 330 0 0 Giải ra ta được 1= -8 36’, 2=81 24’ 35
  19. Ví dụ 4.3  Xác định mômen quán tính chính trung tâm của mặt cắt 37
  20. Ví dụ 4.3 Mômen quán tính chính F1 F2 4 JX JX JX 32a F1 F2 4 JY JY JY 17a F1 F2 4 JXY JXY JXY 12a 39
  21. Ví dụ 4.3  Trị số mômen quán tính đối với hệ trục quán tính chính trung tâm là: 2 2 JX JY JX JY 4JXY Jmax min 2 2 2 2 32a 4 17a 4 32a 4 17a 4 4 12a 4 38,65a 4 J max 4 min 2 2 10,85a 41
  22. CHUYỂN VỊ CỦA DẦM CHỊU UỐN  Đường đàn hồi: đường cong của trục dầm sau khi bị uốn .  Chuyển vị v gọi là độ võng tại K, f=vmax 43
  23. CHUYỂN VỊ CỦA DẦM CHỊU UỐN  Đạo hàm của đường đàn hồi là góc xoay của mặt cắt khi dầm bị biến dạng.  Quy ước chuyển vị Độ võng y>0 nếu hướng xuống Góc xoay >0 nếu quay từ trục z đến tiếp tuyến của đường đàn hồi tại điểm khảo sát là thuận chiều kim đồng hồ. 45
  24. PT vi phân của đường đàn hồi y" M x 3 EJ 1 y'2 2 x M Phương trình vi phân y" x đường đàn hồi có dạng EJ x gần đúng EJx là độ cứng của dầm chịu uốn 47
  25. Xác định đường đàn hồi bằng phương pháp tích phân bất định  Điều kiện biên đối với các dầm đơn giản ph tr yC yC ph tr C C 49
  26. Ví dụ 1  Mômen uốn tại mặt cắt 1-1 có hoành độ z là Mx = - Pz  Thay biểu thức trên vào phương trình vi phân đường đàn hồi M Pz y" x EJ x EJ x 51
  27. Ví dụ 1 Điều kiện biên z = l, y’ = 0, y = 0 P P y' z 2 l 2 2EJ x 2EJ x 3 Pz Pz P 2 y l 2 l 3 Pl 6EJ 2EJ 3EJ C x x x 2EJ Pl 2 x 3 3 3 max Pl Pl Pl 2EJ x D 6EJ 2EJ 3EJ Pl 3 x x x ymax f 3EJ x 53
  28. Ví dụ 2  Mômen uốn tại mặt cắt 1-1 có hoành độ z là ql q M z z 2 X 2 2  Phương trình vi phân của đường đàn hồi M q y" x lz z 2 EJ x 2EJ x 55
  29. Ví dụ 2 ql3 6z 2 4z3 y' 1 2 3 24EJ x l l ql3 2z 2 z3 y z 1 2 3 24EJ x l l 4  Độ võng lớn nhất tại mặt 5 ql cắt có y’ = 0 y f max 384 EJ  Góc xoay lớn nhất tại x các mặt cắt ngang có y’’ ql3 = 0 (Mx=0) tức là tại các gối tựa z = 0 và z = l max 24EJ x 57
  30. Ví dụ 3 Biểu thức mômen uốn tại hai mặt cắt 1-1, 2-2: Pb M z 0 z a X 1 l Pb M z P z a a z l X 2 l 59
  31. Ví dụ 3 Pb z2 1 y1' C1 lEJx 2 0 z a Pb z3 y C z D 1 1 1 lEJx 6 Pb z2 P z a 2 2 y2 ' C2 lEJx 2 EJx 2 a z l 3 Pb z3 P z a y C z D 2 2 2 lEJx 6 EJx 6 61
  32. Ví dụ 3 5 ql4 ymax f 384 EJ x ql3 max 24EJ x 63
  33. Phương pháp tải trọng giả tạo Chọn dầm giả tạo với các điều kiện sao cho có sự tương ứng: y (dầm thực) = Mgt (dầm giả tạo) (dầm thực)= Qgt (dầmgiả tạo) thì có thể thay đổi việc tích phân biểu thức y’’ bằng cách tính nội lực trên dầm giả tạo khi biết qgt . 65
  34. Phương pháp tải trọng giả tạo Mx >0 thì qgt 0 qgt hướng lên. Để tính hợp lực của lực phân bố qgt trên các chiều dài khác nhau ta xác định trước các hoành độ trọng tâm và diện tích  của những hình giới hạn bởi các đường cong. 67
  35. Ví dụ 4 Tính độ võng và góc xoáy tại đầu tự do của dầm công-son, chịu tác dụng của tải trọng phân bố đều q. Biết dầm có độ cứng Ejx=const. 69
  36. Ví dụ 5 Xác định độ võng và góc xoay ở đầu mút D của dầm có độ cứng không đổi chịu lực như hình vẽ. Cho EJx=const. 71
  37. Ví dụ 5 73
  38. Ví dụ 5 136.104 y M D m D gt EJ 28.104  Q D rad D gt EJ 75
  39. Phương pháp thông số ban đầu  Trong đó: EJ Km 1 Em 1Jm 1 EJ Km EmJm 77
  40. Phương pháp thông số ban đầu Nếu EJ=const trên suốt chiều dài cóKm+1=Km=1 y1 z y0 y0 ' z M Q q q' 0 z2 0 z3 0 z4 0 z5  2!EJ 3!EJ 4!EJ 5!EJ 79
  41. Phương pháp thông số ban đầu Trong đó  y(a), y’(z), Ma, Qa, qa, q’a,,, là bước nhảy của độ võng, góc xoay, mômen uốn, lực cắt, tải phân bố tại mặt cắt có hoành độ z=a.  y0, y’0, M0, Q0, q0, q’0 là độ võng, góc xoay, mômen uốn, lực cắt, cường độ lực phân bố và đạo hàm của lực phân bố tại đầu mút của dầm tại (z=0) a tính từ đầu mút trái của dầm đến mặt tiếp giáp giữa đoạn thứ m và m+1 81
  42. Ví dụ 6 Các phản lực tại ngàm có trị số là:  VA = P1 + P2=22kN  MA= 12 x 0,6 + 10 X 0.6 x 2 = 19,2kNm 83
  43. Ví dụ 6 Theo sự phân bố của tải trọng, ta chia dầm thành hai đoạn AB, AC. Chọn độ cứng của đoạn AB làm độ cứng quy ước. Vậy trị số của hệ số K như sau: K1=1 4 4 E J J d 13,3 1 1 1 1 K 2 4,798 E 2 J 2 J 2 d 2 9 d 4 .0,1334 J 1 15,36.106 m 4 1 64 64 85
  44. Ví dụ 6 Phương trình đường đàn hồi trong đoạn 1: 1 z 2 1 z3 y z K M K Q 1 EJ 1 0 2! EJ 1 0 3! 19,2 z2 22 z3 y z 1 2.108.15,36.10 6 2! 2.108.15,36.10 6 3! 87
  45. Ví dụ 6 3 2 3 3 y2 z 3,125.10 z 1,194.10 z 3,709.10 3 z 0,6 2 1,409.10 3 z 0,6 3 Độ võng tại đầu mút tự do C sẽ là: 3 2 3 3 y2 1,2 fC 3,125.10 1,2 1,194.10 1,2 3,709.10 3 0,6 2 1,409.10 3 0,6 3 3,46.10 3 m 89
  46. Ví dụ 7 Thông số ban đầu và z=0 z=a z=b z=c các hệ số xác định y0=0 ya=0 yb=0 yc=0 theo điều y’0=0 y’a=0 y’b=0 y’c=0 kiện biên M =0 M =0 M =0 M =M của mỗi 0 a b c Q =V Q =0 Q =-P Q =0 đoạn được 0 A a b c xác định q0=-q qa=q qb=0 qc=0 như sau: q’0=0 q’a=0 q’b=0 q’c=0 91
  47. Ví dụ 7 P z b 3 y z y z 3 2 EJ 3! V z3 q z4 y' z A b z c 0 EJ 3! EJ 4! q z a 4 P z b 3 EJ 4! EJ 3! 93
  48. Ví dụ 7 Để xác định thông số ban đầu y’0, ta phải dựa vào điều kiện biên tại B của dầm. Với z= l thì yB= 0. y 4 l 0 V l3 q l q l a 4 P l b 3 M l c 2 y z y' z A 4 0 EJ 3! EJ 4! EJ 4! EJ 3! EJ 2! V l3 q l q l a 4 P l b 3 M l c 2 y' z A y' 0 EJ 3! EJ 4! EJ 4! EJ 3! EJ 2! 0 95
  49.  phản lực tại ngàm A và ở đầu mút C ql V A 2 ql 2 M A 2 ql V C 2 97
  50. Phương trình đường đàn hồi trong các đoạn có dạng như sau: qL2 z 2 qL z3 y z 1 2EJ 2! 2EJ 3! q z L 4 y z y z y' z L 2 1 EJ 4! a qL2 z 2 qL z3 q z L 4 y' z L 2EJ 2! 2EJ 3! EJ 4! a 99
  51. Bài toán siêu tĩnh  Bài toán trong đó số ẩn > số phương trình cân bằng tĩnh học  giải quyết bài toán: tìm 1 số phương trình phụ dựa vào điều kiện biến dạng. 101
  52. Ví dụ 8 Căn cứ vào biểu đồ momen uốn do q và VB gây ra ta có thể chọn dầm giả tạo và qgt như trên hình. 2 Momen giả 1 qL 3L VBL L 2L tạo tại B: Mgt L . . yB 3 2EJx 4 EJ 2 3 103
  53. Dầm chống uốn đều P Q y 2 P M z x 2 M PL Pz  x d 3 3 Wx 0,1d 0,1 105
  54. XOẮN THANH TRÒN  Định nghĩa  Biểu đồ mômen xoắn  Ứng suất trên mặt cắt ngang của thanh tròn chịu xoắn thuần túy  Biến dạng của thanh tròn chịu xoắn  Tính toán độ bền của thanh chịu xoắn  Tính toán độ cứng của thanh chịu xoắn  Tính lò xo hình trụ có bước ngắn chịu kéo – nén  Bài toán siêu tĩnh 107
  55. A B C D E A B C D E A B C D E 109
  56. Ví dụ 6.1 Vẽ biểu đồ nội lực của thanh chịu xoắn dưới tác dụng của các ngoại lực 111
  57. Quan hệ giữa m ngoại lực với N và n A 2 n N m. m t 60  Nếu công suất được tính bằng mã lực (1CV=750Nm) 60x750 N N(CV) m x 7126 Nm 2 n n  Nếu công suất được tính bằng kW (1CV=0,736Kw) 7162 N N(kW) m x 9740 Nm 0,736 n n 113
  58. Các giả thuyết  Giả thuyết về mặt cắt ngang: mặt cắt ngang trước và sau biến dạng vẫn phẳng, thẳng góc với trục thanh và khoảng cách giữa chúng không đổi.  Giả thuyết về các bán kính: các bán kính trước và sau biến dạng vẫn thẳng và có chiều dài không đổi  Giả thuyết về các thớ dọc : trong quá trình biến dạng các thớ dọc không ép hoặc đẩy lên nhau. 115
  59. Mômen chống xoắn  Với thanh có mặt cắt ngang tròn đường kính D R 4 D3 W 0,2D3 2R 16  Với thanh có mặt cắt ngang hình vành khăn R 4 r4 1 R3 4 W 1  2 2 R 2 D3 1 4 0,2D3 1 4 16 117
  60. Ví dụ 6.2 Một trục bậc chịu tác dụng của mômen phân bố có cường độ m=2kNm/m và mômen tập trung M=2,2kNm 119
  61. Tính toán độ bền của thanh chịu xoắn Điều kiện bền M z 0 max max   W n Với lý thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất thì điều kiện bền của phân tố  ở trạng thái trượt thuần túy là  Với thuyết bền thế năng biến đổi 2 hình dạng lớn nhất   3 121
  62. Tính toán độ cứng của thanh chịu xoắn M  z  max GJ 0 max rad   m 180 m  Bài toán kiểm tra độ cứng  Bài toán thiết kế  Bài toán tính toán tải trọng cho phép 123
  63. Ví dụ 6.3 125
  64. Ví dụ 6.3  Trường hợp mặt cắt ngang hình vành khăn M z max 43200 D 3 3 3,98cm 0,2 1 4 0,2x4500 1 0,74 M z max 43200 180 D 4 4 6,38cm 0,1G 1 4 0,1x8.106 1 0,74 .0,25.10 2 Vậy chọn D=6,4cm, d 4,5cm 127
  65. Ví dụ 6.3  Góc xoắn tương đối giữa hai mặt cắt ngang A, B trong trường hợp thanh tròn đặc M1l1 M2l2 AB GJp GJp 21600x100 0,0105rad 8x106 x0,1x44 129
  66. Ví dụ 6.4  Động cơ điện truyền sang puli của trục I công suất N1=20kW, các puli 2, 3, 4 nhận được công suất N2=15kW, N3=2kW, N4=3kW và các puli của trục II nhận được các công suất N5=7kW, N6=4kW, N7=4kW.  Xác định đường kính của 2 trục, biết []=3000N/cm2, []=0,250/m, D=200mm, D1=400mm, D2=200mm, D3=600mm. 131
  67. Ví dụ 6.4 Mz1max=343,8Nm M z 34380 d 3 max 3 3,85cm 1 0,2 0,2x3000 M z 34380 1 4 max d1 6 5,6cm 0,1G  4 1 2   0,1x8x10 x x x10 180 4 133
  68. Ví dụ 6.4 Mômen xoắn trên trục II Mz2max=456Nm M z max 45600 3 3 d1 4,25cm Mz 0,2 0,2x3000 d 4 max 1 0,1G Kết luận: 45600 1 d =5,6cm 5,9cm 1 4 6 1 d =5,9cm 0,1x8x10 x x x10 2 2 180 4 135
  69. Bài toán siêu tĩnh  Bài toán siêu tĩnh xoắn: số phản lực lớn hơn số phương trình cân bằng có thể lập được.  Phương pháp giải: viết thêm các phương trình biến dạng 137
  70. Ví dụ 6.5  mz M A M B M 0 B BA BC CA M b M M a B B 0 GJ GJ p a p M M B b a b M M A a b 139
  71. Tính lò xo M P.R  z Q 4Q Mz W d3  y y 0 Q F d2 16    8PD max Q Mz  K max d3 8PD d 1 3 D d 2D 0,25 K d D 1 d 141
  72. Tính lò xo Điều kiện bền của lò xo max  Gd4 Độ cứng của lò xo C 8D3n Độ co hay giãn của lò xo 8PD3n P   Gd4 C 143
  73. Ví dụ 6-6 Ứng suất cực đại trong lò xo 8PD max D d3 10 K 1,14 3 d 8 3.10 0,2 1,91.108 N / m2 3,14 0,02 3 3 8PD 8PD n  4 max K Gd d3 3 3 8 8 3.10 0,2 18 1,14 1,91.10 0,27m 8.1010 0,02 4 2,18.108 N / m2  145
  74. Định nghĩa  Như vậy thanh chịu lực phức tạp trên mặt cắt ngang sẽ có nhiều thành phần nội lực.  Để giải các bài toán này chúng ta dùng nguyên lý cộng tác dụng “ Ứng suất hay biến dạng do nhiều yếu tố (ngoại lực, nhiệt độ ) gây ra đồng thời trong thanh bằng tổng đại số ứng suất hay biến dạng do từng yếu tố gây ra riêng lẻ trên thanh đó”. 147
  75. Thanh chịu uốn xiên khi Uốn xiên trên mặt cắt ngang chỉ có 2 thành phần nội lực là các mômen uốn Mx, My nằm trong các mặt phẳng quán tính chính trung tâm của mặt cắt ngang . Đây là bài toán kết hợp của hai bài toán uốn thuần tuý phẳng. Dấu của Mx, My được coi là dương nếu chúng làm căng các thớ về phía dương của trục y và x. 149
  76. Ứng suất pháp trên mặt cắt ngang M M  x y y x z J x J y M M y  x y x z J J x y 151
  77. Nếu mặt cắt ngang có 2 trục quán tính chính trung tâm đều là các trục đối xứng, do xk xn ; yk yn Mx M y max min Wx Wy 153
  78. M J tg y x Mx Jy 1 J x tg Jy 155
  79. Biểu đồ ứng suất 157
  80. Kiểm tra bền σmax≤ [σ]k σmin≤ [σ]n  Đối với vật liệu dẻo, và mặt cắt ngang của thanh lại là hình chữ nhật, chữ I, chữ U hay mặt cắt có cả trục x và y là trục đối xứng thì điều kiện bền có thể viết lại như sau: Mx M y max min  Wx Wy 159
  81. Độ võng của dầm khi uốn xiên 2 2 f f y f x 161
  82. Ví dụ 7.2 Một xà gỗ bằng thép có mặt cắt ngang hình chữ U đặt lên hai vĩ kèo có nhịp L= 5m chịu tải trọng phân bố đều q = 6000 N/m. Mái nghiêng với mặt nằm ngang 1 góc α = 300. Chọn số hiệu của thép biết [σ] =16 KN/cm2 (xem xà gỗ đặt lên hai vĩ kèo như là một dầm đặt trên hai gối tựa). 163
  83. Ví dụ  Ống khói vừa chịu nén bởi trọng lượng bản thân vừa chịu uốn do tải trọng gió gây ra.  Cột chống trong kết cấu cầu treo. 165
  84. Kéo nén lệch tâm  Thanh chịu kéo hoặc nén lệch tâm khi hợp lực của ngoại lực có thể thu về một lực N không trùng với trục của thanh, nhưng có phương song song với trục thanh 167
  85. Đường trung hòa và biểu đồ ứng suất  Đường trung hòa là quỹ tích của tất cả các điểm trên mặt cắt có ứng suất bằng không, σz = 0  Biểu đồ ứng suất 169
  86. Nhận xét  Đường trung hòa là đường thẳng không bao giờ đi qua góc phần tư chứa điểm đặt lực lệch tâm, vì rằng a và b luôn luôn ngược dấu với xK và yK.  Nếu điểm đặt lực lệch tâm nằm trên một trục nào đó thì đường trung hòa song song với trục kia. Thí dụ, điểm đặt lực nằm trên trục x, lúc đó ta có yK =0, nghĩa là đường trung hòa phải song song với trục y.  Vị trí của đường trung hòa chỉ phụ thuộc vào tọa độ của điểm đặt lực và hình dáng kích thước của mặt cắt ngang mà không phụ thuộc vào giá trị của lực lệch tâm lớn hay nhỏ. 171
  87. b y x 0 x a x k k y y 173
  88. Lõi mặt cắt ngang  Xem tài liệu 175
  89. Uốn xoắn đối với thanh tròn  Ứng suất trên mặt cắt ngang 2 2 Mz Mx M y    max zmax zmin Wp Wx 1 2 2 2 t3 Mx My Mz  Wx 1 2 2 3 2 t4 Mx M y Mz  Wx 4 177