Bài giảng Sức bền vật liệu - Chương 6: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang - Lê Đức Thanh

Nội dung text: Bài giảng Sức bền vật liệu - Chương 6: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang - Lê Đức Thanh

1. Bài giảng sức bền vật liệu Chương 6 ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC CỦA MẶT CẮT NGANG I. KHÁI NIỆM Ở chương 3, khi tính độ bền của thanh chịu kéo (nén) đúng tâm, ta thấy ứng suất trong thanh chỉ phụ thuộc vào độ lớn của diện tích mặt cắt ngang A.Trong những trường hợp khác, như thanh chịu uốn, xoắn thì ứng suất trong thanh không chỉ phụ thuộc vào diện tích A mà còn phụ thuộc vào hình dáng, cách bố trí mặt cắt nghĩa là còn những yếu tố khác như: momen tĩnh, momen quán tính mà người ta gọi chung là đặc trưng hình học của mặt cắt ngang. P P y z z y a) x b) H.6.1. Dầm chịu uốn a) Tiết diện đứng; b) Tiết diện nằm ngang Xét thanh chịu uốn trong hai trường hợp có cùng mặt cắt ngang A đặt lực khác nhau như trên H.6.1. Bằng trực giác, dễ dàng nhận thấy trường hợp a), thanh chịu lực tốt hơn trường hợp b). Như vậy, khả năng chịu lực của thanh còn phụ thuộc vào hình dáng và vị trí mặt cắt ngang đối với phương tác dụng của lực.(Ứng suất nhỏ 04 lần độ võng nhỏ 16 lần). Cho nên sự chịu lực không những phụ thuộc A, mà cần phải nghiên cứu các đặc trưng hình học khác của mặt cắt ngang để tính toán độ bền, độ cứng, độ ổn định để thiết kế mặt cắt của thanh cho hợp lý. II. MÔMEN TĨNH – TRỌNG TÂM Xét một hình phẳng có mặt cắt ngang A như hình vẽ. Lập hệ tọa độ vuông góc Oxy trong mặt phẳng của mặt cắt.Gọi M(x,y) là một điểm bất kỳ trên hình. Lấy chung quanh M một diện tích vi phân dA.  Mômen tĩnh của mặt cắt A với trục x (hay trục y) là tích phân: S ydA , S xdA x y (6.1) A A vì x, y có thể âm hoặc dương nên mômen tĩnh có thể có trị số âm hoặc dương. Thứ nguyên của mômen tĩnh là [(chiều dài)3],thí dụ: cm3, m3,  Trục trung tâm là trục có mômen tĩnh của mặt cắt A đối với trục đó bằng không.  Trọng tâm là giao điểm của hai trục trung tâm. Mômen tĩnh đối với một trục đi qua trọng tâm bằng không. ___ Chương 6: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang Lê đức Thanh 1
2. Bài giảng sức bền vật liệu n : số hình đơn giản. Toạ độ trọng tâm của một hình phức tạp trong hệ tọa độ xy. n A x y xc S  i i x y i 1 C A n A A  i 1 i 1 C n 1 C y1 Ai yi C2 S  yc y x i 1 y2 C n (6.5) x A 0 A2 A x1  i x2 i 1 Thí dụ 1: Xác định trọng tâm mặt cắt chữ L chỉ gồm hai hình chữ nhật như trên . Tọa độ C là trọng tâm của hình (hình1 có diên tích A1,toạ độ trọng tâm C1(x1, y1,) hình 2 có diện tích A2,và C2(x2,y2). S Sy x1 A1 x2 A2 x y1 A1 y2 A2 xC ; yC A A1 A2 A A1 A2 Thí dụ 2. 1cm 1cm Tìm trọng tâm cho mặt cắt ngang hình chữ U Chọn trục x qua đáy mặt cắt (trục y là trục đối xứng, trọng tâm 0 nằm trên trục y) 15,5cm a) Có thể tính cho ba hình chữ nhật nhỏ 2(1x20cm) 20cm x và 20x2cm cộng lại: 0 S 20 2 1 2(20 1 12) 6,5cm y x 6,5cm 2cm C A (20 2) 2(20 1) y b) Hay lấy hình chữ nhật lớn ngoài A1 = 20x22cm trừ 20cm hình chữ nhật trong A2 = 18x20cm H. 6.12 S S x1 x2 (24 22 12) (18 20 12) yC 6,5cm A1 A2 (20 22) (18 20) Thí dụ 3: Tìm trọng tâm hình chữ T. Chọn trục x ban đầu qua đáy mặt cắt (Tương tự cho hai hình còn lại) 4a 10 cm Y y 1,5a 2 cm 6,87cm 2a 0 X 16cm 0 1,13cm 0 X X 12 cm C x 6a 6cm 9,2cm 1 y x cm 2 cm 8cm a ___ Chương 6: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang Lê đức Thanh 3
3. Bài giảng sức bền vật liệu chính của mặt cắt. Thật vậy: xét mặt cắt A có trục đối xứng là y như trên H.6.7. Ta luôn tìm được những cặp vi phân diện tích đối xứng để: I yxdA yxdA (xy yx)dA 0 xy 1 A A1 A2 A1 Nhận xét: MMQT đối với trục chính trung tâm được gọi là mômen quán tính chính trung tâm của mặt cắt A. 3.Bán kính quán tính I I r x ; r y thứ nguyên là chieudai x A y A Bán tính quán tính đối với trục chính gọi là bán kính quán tính chính VI. MÔMEN QUÁN TÍNH CỦA CÁC HÌNH ĐƠN GIẢN 1- Hình chữ nhật Tìm mômen quán tính chính trung tâm của hình chữ nhật b h (H.6.8). y y h/2 dy h y dy C x h/2 y x x 0 x b H.6.8 H.6.9 Hệ có hai trục đối xứng x,y cũng là hệ trục QTCTT. Để tính Ix, lấy diện tích vi phân dA là một dải bề rộng b, bề dày dy, khoảng cách đến trục là y. h 2 bh3 I y 2 dA y 2bdy Ta có x (6.10) A h 12 2 hb3 Tương tự, đổi vai trò của x và y, b và h, ta được: I (6.11) y 12 2- Hình tam giác(tự đọc) Tính MMQT hình tam giác đối với trục x đi qua đáy (H.6.9). Diện tích dA là dải vi phân song song với đáy, có chiều dày là dy, khoảng cách đến b(h y) trục x là y và có bề rộng b được tính như sau: b y y h ___ Chương 6: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang Lê đức Thanh 5
4. Bài giảng sức bền vật liệu Ta có : X a x, Y b y  Theo định nghĩa: 2 2 2 2 I Y dA (b y) dA y dA 2b ydA b dA Y X y A A A A A I 2bS b2 A M x x Y y (6.15) ° 0 x x 2 tươngtự: IY I y 2aSy a A (6.16) b  Đối với mômen quán tính ly tâm: X 01 X a I XYdA (a x)(b y)dA xydA b xdA a ydA ab dA XY A A A A A A I xy bSx aSy abA (6.17)  Nếu hệ trục Oxy là hệ trục trung tâm của hình A thì các công thức trên có dạng: 2 2 I X I x b A; IY I y a A; I XY I xy abA (6.18) Công thức (6.18) thường được sử dụng để tính các mômen quán tính chính trung tâm của một hình phức tạp khi đã biết mômen quán tính chính trung tâm của từng hình đơn giản. Từ công thức này, ta nhận thấy: trong tất cả các trục song song thì mômen quán tính đối với trục trung tâm luôn có giá trị nhỏ nhất. Momen quán tính tăng dần khi di chuyển trục song song xa dần trọng tâm mặt cắt (a,b tăng) Thí dụ: Tính mômen quán tính đối với trục BB đi qua đáy của hình chữ nhật (H.6.8). Giải. Dùng công thức chuyển trục song song để tính IBB: 2 2 h bh3 h bh3 b h3 IBB = Ix + A hb > 2 12 2 3 12 Thí dụ 4: Tìm MMQT chính trung tâm của mặt cắt chữ U như hình vẽ. Giải Tìm trọng tâm C: Chọn hệ trục ban đầu qua đáy (trục y là trục đối 1cm 1cm xứng, C nằm trên trục y) S x 20 2 1 2(20 1 12) yC 6,5cm 15,5cm A (20 2) 2(20 1) 20cm 0 x Tính MMQT đối với hệ trục chính trung tâm IX, IY 6,5cm 2cm (1) (2) 4 I X I X 2I X 3766,67cm Trong đó y 20cm 20 23 Với I 1 5,52 (20 2) 13,333 1210 X 12 H. 6.12 ___ Chương 6: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang Lê đức Thanh 7
5. Bài giảng sức bền vật liệu 2 2 D D 4 D D 2 5 D 4 I X 2 I x A 2 2 2 64 2 4 64 D4 I X 2I x 2 D 64 X Tóm tắt: - Nếu mặt cắt ngang có ít nhất một trục đối xứng. Tìm momen quán tính chính trung tâm như sau: -Tìm toạ độ trọng tâm của mặt cắt ngang ,tìm momen quán tính chính của từng hình -Dùng công thức chuyển trục song song để tìm momen quán tính chính trung tâm 2 2 I X I x b A; IY I y a A; I XY I xy abA với x//X (cách nhau b), y//Y(cách nhau a) - Nếu mặt cắt ngang không có trục đối xứng nào dùng công thức xoay trục như phần sau: VI. CÔNG THỨC XOAY TRỤC CỦA MMQT- XÁC ĐỊNH HỆ TRỤC QUÁN TÍNH CHÍNH (HTQTC) : 1. Công thức xoay trục: Biết các MMQT Ix , Iy , Ixy của A trong hệ trục tọa độ y v u Oxy. dA M x Tính các MMQT I , I , I đối với hệ trục mới Ouv ; · A u v uv a u v Hệ trục Ouv hình thành từ việc xoay hệ trục Oxy một y góc ngược kim đồng hồ ( H.6.13) a Tọa độ của điểm trong hệ trục mới và hệ tọa độ cũ O x được liên hệ như sau: H. 6.13 u ysin x cos v y cos x sin Theo định nghĩa, các MMQT đối với trục u, v là: I v 2dA I u2dA I uv dA u ; v ; uv A A A  Tính Iu I v 2 dA y cos x sin 2 dA u aAÂI A cos 2 y 2 dA sin 2 x 2dA 2sin cos xydA A A A 2 2 I u I x cos I y sin 2I xy sin cos (a) ___ Chương 6: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang Lê đức Thanh 9
6. Bài giảng sức bền vật liệu I I 1 I x y (I I )2 4I 2 (6.24) max 2 2 x y xy I I 1 và: I x y (I I )2 4I 2 (6.25) min 2 2 x y xy  Cách xác định hệ trục QTCTT của một hình phẳng bất kỳ Trong trường hợp tổng quát, khi diện tích A không có trục đối xứng, hệ trục QTCTT được xác định theo trình tự như sau: - Chọn hệ trục Oxy bất kỳ ban đầu. Xác định trọng tâm của hình trong hệ trục này - Chuyển trục song song về trọng tâm của hình. Tính các mômen quán tính đối với hệ trục trung tâm - Xoay trục để tìm trục quán tính chính đi qua trọng tâm. Việc xác định hệ trục QTCTT cũng như tính toán các mômen quán tính chính là rất cần thiết trong việc tính toán ứng suất, chuyển vị của thanh chịu uốn, xoắn mà ta sẽ nghiên cứu ở các chương sau. Thí dụ 7 Tính momen quán tính chính trung tâm Ix,của hai thép C.30 có h =30cm, b =10cm 2 4 4 d=6,5cm, A =40,5cm , t =1cm Ix=5810cm , Iy=327cm , z0=2,52cm được ghép với hai tấm thép đối xứng 40x1cm Giải: b=10 cm Y Trọng tâm tại C vì hình đối xứng 1 (1) (2) 2 Tính : I X 2I X 2(I X b2 A2 ) cm zo Ix1là moment quán tính của thép hình c h=30cm Ix2 là moment quán tính của tấm thép 3 40 1 2 X I X 2 5810 2( (15,5) 1 40 12 x t=1 cm 1 cm 0 30846,67cm 4 Thí dụ 8: b=40cm Từ bài trên bỏ bớt tấm thép phía trên .Tìm lại trọng tâm và moment quán tính chính trung tâm IX ,IY b=10 cm Y t=1 cm h=30cm Chọn hệ trục ban đầu x0Yqua trọng tâm c tấm thép X 0 2(40,5 15,5) x Y 10,38cm 1 cm 0 c 40 1 2 40,5 b=40cm ___ Chương 6: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang Lê đức Thanh 11