Bài giảng Sức bền vật liệu - Chương 9: Xoắn thuần túy thanh phẳng - Lê Đức Thanh

Nội dung text: Bài giảng Sức bền vật liệu - Chương 9: Xoắn thuần túy thanh phẳng - Lê Đức Thanh

1. Baì Giảng Sức Bền Vật Liệu Chương 9 XOẮN THUẦN TÚY THANH THẲNG. 1-Định nghĩa: Thanh chịu xoắn thuần túy khi trên các mặt cắt ngang chỉ y có một thành phần nội lực là mômen xoắn Mz (H.9.1). Mz z Dấu của nội lực Mz: Mz 0 khi từ ngoài nhìn vào mặt cắt O thấy Mz quay cùng kim đồng hồ và ngược lại. Ngoại lực: Gồm các ngẫu lực mômen xoắn tâp trung Mo x (Nm) hay phân bố m(Nm/m), nằm trong mặt phẳng vuông H. 9.1 góc trục thanh. Thực tế thường gặp: các trục truyền động, thanh chịu lực không gian, dầm đỡ ô văng 2- Biểu đồ nội lực mômen xoắn Mz Biểu đồ mômen xoắn được vẽ bằng phương pháp mặt cắt. Từ điều kiện cân bằng tĩnh học: M/OZ = 0 suy ra nội lực Mz trên mặt cắt. Thí dụ 1: Vẽ biểu đồ Mz M C =10N-m M =5N-m A M B =20N-m MK=25N-m M =10Nm Mz 1 A 1 B K C L L L B 01 L z1 5Nm M =10N-m + + _ 15N-m Thực hiện mặt cắt 1-1 trong đoạn AB, xét cân bằng phần bên trái của mặt cắt, ngoại lực là ngẫu lực xoắn MA nội lực tại mặt cắt 1-1 là mômen xoắn Mz vẽ theo chiều dương. Lập phương trình cân bằng tỉnh học: M / z = 0 Mz = MA= 5Nm (Momen ngoại lực tập trung nội lực không phụ thuộc z) Tương tự cho các mặt cắt trong đoạn BK và KC và biểu đồ được vẽ như hình trên (Chú ý tại mặt cắt có Mo tập trung trên biểu đồ Mz sẽ có bước nhảy và giá trị bằng momen tập trung đó, biểu đồ hằng số trong từng đoạn không phụ thuộc z) Thí dụ 2: Cho trục có tiết diện thay đổi, đoạn AK có momen phân bố đều m hằng số và moment tập trung như hình vẽ. Vẽ biểu đồ nội lực Mz Thực hiện mặt cắt trong đoạn AK như hình dưới, ta thấy biểu đồ Mz bậc 1trong đoạn AK và các đoạn khác giống như thí dụ đã vẽ trên Chương 9:Xoắn thuần túy thanh thẳng GV :Lê đức Thanh 1
2. Baì Giảng Sức Bền Vật Liệu 1- Thí nghiệm - Nhận xét Xét một thanh thẳng tiết diện tròn, trên mặt ngoài vạch những đường song song và những đường tròn thẳng góc với trục, tạo thành lưới ô vuông (H.9.2.a). Tác dụng lên hai đầu thanh ngẫu lực xoắn Mz ngược chiều, ta thấy trục thanh vẫn thẳng, chiều dài thanh không đổi, những đường tròn thẳng góc với trục vẫn tròn và thẳng góc với trục, những đường song song với trục thành những đường xoắn ốc, lưới ô vuông thành lưới bình hành (H.9.2.b). 2- Các giả thiết : Trong quá trình biến dạng : a) Mặt cắt ngang vẫn phẳng, thẳng góc với trục thanh và khoảng cách không đổi b) Các bán kính vẫn thẳng và chiều dài không đổi c) Các thớ dọc không ép và đẩy lẩn nhau 3- Ưng suất trên mặt cắt ngang. Tính ứng suất tại một điểm bất kỳ trên mặt cắt ngang có bán kính đến tâm 0 (H.9.3).Theo thí nghiệm trên ta nhận Mz thấy, biến dạng của thanh chịu xoắn thuần túy chỉ là sự z O xoay tương đối giữa các mặt cắt ngang quanh trục z. Theo giả thiết a) không có biến dạng dài theo phương dọc trục, theo giả thiết c) các thớ dọc không tác dụng với H. 9.3 nhau nên không có ứng suất pháp tác dụng lên các mặt của phân tố. Do giả thiết b), mọi bán kính vẫn thẳng nên không có ứng suất tiếp hướng tâm Như vậy, trên mặt cắt ngang của thanh chịu xoắn thuần túy chỉ tồn tại ứng suất tiếp theo phương vuông góc bán kính và cùng chiều với Mz gọi là  và phân tố đang xét ở trạng thái ứng suất trượt thuần túy (H.9.4). Để xét biến dạng xoắn ta tách phân tố hình trụ tròn có bán kính qua điểm muốn tính và đoạn AB bằng dz. Giã sữ mặt cắt tại B đứng yên, mặt cắt tại A xoay một góc d từ A / đến A theo chiều Mz như sau : Gọi  là góc trượt Mz d  z 0 A  O / B A H. 9.4 z  dz H. 9.3 Phân tố trượt thuần túy Từ (H.9.3), ta có: AA d Tan   = (a) AB dz Áp dụng định luật Hooke về trượt cho phân tố này, ta có: d  G G (b) p dz Gọi dA là một diện tích vô cùng bé bao quanh điểm đang xét, thì  .dA là lực tiếp Chương 9:Xoắn thuần túy thanh thẳng GV :Lê đức Thanh 3
3. Baì Giảng Sức Bền Vật Liệu I R3 D3 * Với tiết diện tròn đặc và D là đường kính: W 0,2D3 R 2 16 4 4 3 I D (1  ) 1 D * Với tiết diện tròn rỗng: W (1  4 ) 0,2D3 (1  4 ) R 32 R 16 trong đó:  là tỷ số giữa đường kính trong và đường kính ngoài ( = d/D). 4- Công thức tính biến dạng khi xoắn M Góc xoắn tương đối giữa hai mặt cắt cách nhau dz là : d z dz GI Góc xoắn tương đối giữa hai mặt cắt cách nhau một đoạn dài L là: L L M d z dz o o GI M M L * Khi đoạn thanh có z là hằng số z GI p GI p M L M z z * Khi thanh gồm nhiều đoạn, mỗi đoạn có là hằng số: ( )i GI p i GI Góc xoắn được quy ước dương theo chiều dương của Mz và thứ nguyên Radian 5- Tính toán thanh tròn chịu xoắn thuần tuý: M z  0 Điều kiện bền:  max   WP n với: o - là ứng suất tiếp nguy hiểm của vật liệu, xác định từ thí nghiệm n : là hệ số an toàn. [ ] + Nếu tính theo thuyết bền ứng suất tiếp (TB3):  max 2 [ ] + Nếu tính theo thuyết bền thế năng biến đổi hình dạng(TB4):  max 3 Điều kiện cứng:  max [ ] [ ]: Góc xoắn tỷ đối cho phép, được cho từ các sổ tay kỹ thuật, đơn vị của [ ] là (radian/ đơn vị chiều dài, hay độ/ đơn vị chiều dài).  rad / m  0 / m Công thức qui đổi: 2 360 Từ điều kiện bền và cứng ta có ba bài toán cơ bản: - Kiểm tra điều kiện bền, cứng. - Xác định tải trọng cho phép. - Xác định đường kính. Thí du 3: Cho thanh có tiết diện tròn đường kính thay đổi. Đoạn BC có d1=8cm, đoạn CD có d2 = 6 cm. a) Vẽ biêu đồ momen xoắn Mz Chương 9:Xoắn thuần túy thanh thẳng GV :Lê đức Thanh 5
4. Baì Giảng Sức Bền Vật Liệu M 3M0 2M0 0 D A B C K d a=60cm a a - M0 + + 2M 0 M0 Thí du 5 : Thanh ABCD chịu xoắn như hình vẽ.Tìm M0 để thanh thỏa điều kiện bền. 2 2 Cho [ ] =4,0kN/cm , a = 60cm.Tính D với M0 tìm được.G = 8000kN/cm D=10cm d=6cm 4Mo Mo A B C D z a a a 3Mo - Mo + AB 3M o 3M 0 Điều kiện bền:  max 3   4 M 0 261,67kNcm WAB 10 16 CD M o M 0  max 3   4 M 0 169,56kNcm WCD 6 16 Chọn [M0]min = 169,56kNcm = 1,69kNm M L 169 60 169 60 3 169 60 z 3,2 10 3 rad BD  i GI 3 4 3 4 3 4 p i 8 10 6 8 10 10 8.10 10 32 32 32 6- Thế năng biến dạng đàn hồi Thế năng riêng tích lũy trong một đơn vị thể tích là: Chương 9:Xoắn thuần túy thanh thẳng GV :Lê đức Thanh 7
5. Baì Giảng Sức Bền Vật Liệu Với vật liệu dòn như gang, chịu nén và chịu cắt rất tốt, còn chịu kéo rất kém nên khi xoắn sẽ bị gãy o theo mặt nghiêng 45 so với trục do ứng suất kéo chính 1 (H.9.10). Với vật liệu có cấu tạo thớ như gỗ, chịu cắt dọc thớ rất kém nên khi xoắn sẽ bị nứt dọc theo đường sinh do ứng suất ứng suất tiếp đối ứng với ứng suất tiếp trên mặt cắt ngang (H.9.11). Thí dụ 4. Một động cơ có công suất 50kW, truyền một mômen xoắn lên một trục tròn hình vành khăn có d = 0,85D tại tiết diện K, vận tốc quay của trục n=3000vg/phút.Giả sử hiệu suất truyền là100%.Khi đó tại tiết diện B,C nhận được công suất truyền 30kW và 20kW (H.9.12.a). Định đường kính D, sau đó tính góc xoắn BK . Biết: [ ] =16kN/cm2; [ ] = 0,250/m; a =50cm; G =8.103kN/cm2.  Gọi ngẫu lực xoắn tác dụng tại K, B, C lần lượt là M1, M2, M3. Áp dụng công thức chuyển đổi, ta được: M1 = 9740 x 50 / 3000 =162,33N.m =16,23kNcm M2 = 9740 x 30 / 3000 = 97,4N.m = 9,74kNcm M3 = 9740 x 20/ 3000 = 64,9N.m 30kW 50kW = 6,49kNcm 20kW D K C Sơ đồ tính của trục và biểu đồ B mômen vẽ ở hình dưới). 60cm 60cm  Định đường kính D: 9,74kN-cm 16,23kN-cm d + Theo điều kiện bền: 6,49kN-cm K   M z B  max [] [ ] 2 Wp C 9,74kN-cm M z _ D 3 0,2.1 (0,85)4 [ ] + [ ] với: [ ] = 8kN/ cm 2 ; 2 6,49kN-cm Mz = 9,74kNcm D 4,7cm (a) + Theo điều kiện cứng: M z M z 4  max [] [] D 4 9,53cm GI p G.0,11 (0,85) .  0,25 với: [ ]=0,250/m = 4,36.10 5 rad / cm ; 180 Để thỏa cả hai yêu cầu (a), (b), ta chọn D =10 cm, d=8,5cm  Tính góc xoắn KC: Áp dụng công thức biến dạng ta được: M L 6,49 60 z 1,02.10 4 rad BK  4 i GI 3 10 4 p i 8 10 1 (0,85)  32 Bài toán siêu tĩnh. Chương 9:Xoắn thuần túy thanh thẳng GV :Lê đức Thanh 9
6. Baì Giảng Sức Bền Vật Liệu Ứng suất: Trên mặt cắt ngang chỉ có ứng suất tiếp. + Tại tâm và các góc, ứng suất tiếp bằng không. + Tại điểm giữa cạnh dài, ứng suất tiếp đạt giá trị lớn nhất M  z max hb2 1 + Tại điểm giữa cạnh ngắn, ứng suất 1 bé hơn:   1 max 1 +Phân bố ứng suất tiếp tại các điểm trên các trục đối max Mz xứng, các cạnh tiết diện và các đường chéo được biểu max diễn ở H.9.17. z M z h  Góc xoắn tương đối :  3 1 Ghb 1 b trong đó: , ,  là các hệ số phụ thuộc tỷ số (cạnh dài h H. 9. Phân bố ứng suất tiếp /cạnh ngắn b) được cho trong bảng. trên tiết diện chữ nhật Bảng 9.1 Giá trị , ,  h b 1 1,5 1,75 2 2,5 3 4 6 8 10 0,203 0,231 0,239 0,246 0,258 0,267 0,282 0,29 0,307 0,313 0,333 9  0,141 0,196 0,214 0,229 0,249 0,263 0,281 0,29 0,307 0,313 0,333 9  1,000 0,859 0,820 0,795 0,766 0,753 0,745 0,74 0,742 0,742 0,742 3 V. TÍNH LÒ XO HÌNH TRỤ BƯỚC NGẮN CHỊU LỰC DỌC TRỤC Lò xo là một bộ phận được dùng rộng rãi trong kỹ thuật, được lắp đặt tại những chỗ cần giảm chấn do tải trọng động như đế móng,thang máy, hệ thống nhún trong ôtô, đế mô tơ công suất lớn Lò xo hình trụ được cấu tạo bằng cách quấn một sợi dây thép tiết diện vuông, chữ nhật hoặc tròn quanh một lõi hình trụ, ta chỉ tính lò xo chịu lực theo phương trục của hình trụ này; trục của hình trụ cũng là trục của lò xo, ngoài ra chỉ xét lò xo có các vòng gần nhau gọi là lò xo hình trụ bước ngắn (H.9.18.a). 1.Các đặc trưng của lòxo Chương 9:Xoắn thuần túy thanh thẳng GV :Lê đức Thanh 11
7. Baì Giảng Sức Bền Vật Liệu thẳng, cho nên trong tính toán thực hành, kể đến kết quả do thực nghiệm, ta có thể lấy: D D P 8PD 0,25  k 2 k với k d max 3 3 D .d .d 1 16 d 2- Biến dạng của lò xo: Tính độ co, hay dãn  của lò xo khi chịu lực dọc trục. Dùng nguyên lý bảo toàn năng lượng, bỏ qua các mất mát năng lượng, công ngoại lực T hoàn toàn biến thành thế năng biến dạng đàn hồi U. Ta có: 1 + Công của ngoại lực P trên độ co, dãn  của lò xo là: T P (a) 2 + Thế năng biến dạng đàn hồi tích lũy trong lò xo (bỏ qua thế năng do Qy) 2 1 Mz L 1 U , với : M z PD và L= Dn  2 2 GI p 1 P 2 D 2 Dn 1 8P 2 D3n U ( ) (b) 2 4 G d 4 / 32 2 Gd 4 8PD3n P Gd4 về giá trị, T = U,  với: C Gd 4 C 8D3n trong đó: C - là độ cứng của lò xo, có thứ nguyên luc chieudai Thí dụ 7 : Hai lò xo có độ cứng C1 =8kN/cm và C2 = 5kN/cm cùng chiều cao H, được ghép đồng trục (song song), cùng chịu lực P =50kN (H.9.20.a). Tính lực tác dụng trên từng lò xo, tính chuyển vị của điểm đặt lực. P P C 1 C 2 1 1 1 1 R 1 R 2 a) b) H. 9.20 a) Hai loø xo gheùp ñoàng truïc b) Noäi löïc trong loø xo Cắt 2 lò xo bằng mặt cắt (1-1), xét cân bằng phần trên, gọi nội lực của lò xo là R1, R2, (H.9.20.b), Chương 9:Xoắn thuần túy thanh thẳng GV :Lê đức Thanh 13
8. Baì Giảng Sức Bền Vật Liệu Bài tập làm thêm: Bài 1: 1.Tính phản lực tại ngàm B theo a 2.Tìm a để ứng suất tiếp 2 đoạn trục bằng nhau M0=100kNcm d2 =2d1 d1 B D a C C L=100cm 5. Tìm MD để góc xoắn tại K bằng không.(cho hai trườmg hợp). Tính theo Mo G, 2I G, 2Ip G, I p G, Ip MD p 4M0 MD 3M0 M0 M0 K D K B C C D B a a a L L L Chương 9:Xoắn thuần túy thanh thẳng GV :Lê đức Thanh 15