Bài giảng Thủy lực môi trường - Chương 3: Động học - Nguyễn Thị Bảy

Nội dung text: Bài giảng Thủy lực môi trường - Chương 3: Động học - Nguyễn Thị Bảy

1. TS. Nguyeãn Thò Baûy, ÑHBK tp. HCM, www4.hcmut.edu.vn/~ntbay CHÖÔNG I. HAI PHÖÔNG PHAÙP NGHIEÂN CÖÙU CHUYEÅN ÑOÄNG CUÛA LÖU CHAÁT 1. Phöông phaùp Lagrange (J.L de Lagrange, nhaø toaùn hoïc ngöôøi Phaùp,1736-1883) ⎧ 2 ⎧ dx d x u = ⎪a x = ⎪ x dt ⎪ dt 2 ⎧x = x(x0,y0,z0,t) G ⎪ G G ⎪ G G ⎪ G dr ⎪ dy G du d2 r ⎪ d2y r = f(r0,t) ⇔⎨y = x(x0,y0,z0,t) u = ⇔ ⎨uy = a = = ⇔ ⎨a y = dt dt dt dt 2 dt 2 ⎪z = x(x ,y ,z ,t) ⎪ ⎪ ⎩ 0 0 0 ⎪ ⎪ dz d2z ⎪uz = ⎪a = ⎩ dt ⎪ z 2 z Quyõ ñaïo ⎩ dt ¾Trong phöông phaùp Lagrage , caùc yeáu toá chuyeån r(x, y, z) ñoäng chæ phuï thuoäc vaøo thôøi gian , VD: u = at2+b y 2. Phöông phaùp Euler r0(x0, y0, z0) (L. Euler, nhaø toaùn hoïc ngöôøi Thuïy Só, 1707-1783) x ⎧ux = ux (x,y,z,t) G G ⎪ u = u(x,y,z,t) ⇔ ⎨u y = u y (x,y,z,t) Caùc ñöôøng doøng taïi thôøi ñieåm t ⎪ ⎩uz = uz (x,y,z,t) dx dy dz ¾Phöông trình ñöôøng doøng: = = u x u y u z (x,y,z) CH. 3 - ÑOÄNG HOÏC - trang 1
2. TS. Nguyeãn Thò Baûy, ÑHBK tp. HCM, www4.hcmut.edu.vn/~ntbay III. PHAÂN LOAÏI CHUYEÅN ÑOÄNG: 1. Theo ma saùt nhôùt: Chuyeån ñoäng chaát loûng lyù töôûng, : khoâng coù ma saùt F Chuyeån ñoäng chaát loûng thöïc: coù ma saùt -Re = quantinh F Re=VD/ν=V4R/ν:taàng(Re 2300)masat 2. Theo thôøi gian: oån ñònh-khoâng oån ñònh. 3 Theo khoâng gian: ñeàu-khoâng ñeàu. 4 Theo tính neùn ñöôïc: soá Mach M=u/a a: vaän toác truyeàn aâm; u:vaän toác phaàn töû löu chaát döôùi aâm thanh (M 1) - sieâu aâm thanh (M>>1) ¾Thí nghieäm Reynolds IV. GIA TOÁC PHAÀN TÖÛ LÖU CHAÁT : •Theo Euler: du ∂u ∂u ∂u ∂u a = x = x + u x + u x + u x x dt ∂t x ∂x y ∂y z ∂z du ∂u ∂u ∂u ∂u a = y = y + u y + u y + u y y dt ∂t x ∂x y ∂y z ∂z duz ∂uz ∂uz ∂uz ∂uz az = = + ux + u y + uz dt N∂t  ∂x ∂ y ∂z t.ph.cuïc-boä thaønh phaànñoáilöu •Theo Lagrange: G G G G d u ∂ u u = u ( x , y , z , t ) ⇒ a = = 0 0 0 dt ∂ t CH. 3 - ÑOÄNG HOÏC - trang 3
3. TS. Nguyeãn Thò Baûy, ÑHBK tp. HCM, www4.hcmut.edu.vn/~ntbay •Chuyeån ñoäng quay cuûa phaàn töû löu chaát: x ⎛ ∂u ∂u ⎞ ∂ux/∂ydyΔ ⎜ x dyΔt − y dxΔt ⎟ α+β 1 1 ∂y t ω= − = − ⎜ + ∂x ⎟ uxΔt 2 Δt 2Δt ⎜ dy dx ⎟ ⎜ ⎟ α ∂uy/∂xdxΔ ⎝ ⎠ t 1⎛∂u ∂u ⎞ 1 β ⎜ y x ⎟ = ⎜ − ⎟ = rotuz dy uyΔt 2⎝ ∂x ∂y ⎠ 2 + dx y G rot (u ) = 0 chuyeån ñoäng khoâng quay (theá) G rot(u) ≠ 0 chuyeån ñoäng quay Ví duï 2: Xaùc ñònh ñöôøng doøng cuûa moät doøng chaûy coù : ux = 2y vaø uy = 4x dx dy = ux u y dx dy = 2y 4x 4xdx = 2ydy 2xdx = ydy ⎛ x2 ⎞ y 2 2⎜ ⎟ = + C ⎝ 2 ⎠ 2 2x2 − y 2 = C CH. 3 - ÑOÄNG HOÏC - trang 5
4. TS. Nguyeãn Thò Baûy, ÑHBK tp. HCM, www4.hcmut.edu.vn/~ntbay VI ÑÒNH LYÙ VAÄN TAÛI REYNOLDS- PHÖÔNG PHAÙP THEÅ TÍCH KIEÅM SOAÙT 1. Theå tích kieåm soaùt, vaø ñaïi löôïng nghieân cöùu: Xeùt theå tích W trong khoâng gian löu chaát chuyeån ñoäng. W coù dieän tích bao quanh laø A. Ta nghieân cöùu ñaïi löôïng X naøo ñoù cuûa doøng löu chaát chuyeån ñoäng qua khoâng gian naøy. Ñaïi löôïng X cuûa löu chaát trong khoâng gian W ñöôïc tính baèng: CV A X = kρdW ∫∫∫W W u dw W: theå tích kieåm soaùt X : Ñaïi löôïng caàn nghieân cöùu k : Ñaïi löôïng ñôn vò ( ñaïi löôïng X treân 1 ñôn vò khoái löôïng) Ví duï: X laø khoái löôïng: k=1 ; X = ∫∫∫ρdW W G K K X laø ñoäng löôïng: k = u X = ∫∫∫ uρdW W 2 u 2 X laø ñoäng naêng: k=u /2 ; X = ∫∫∫ ρdW W 2 . Ñònh lyù vaäntaûiReynolds-phöông phaùptheå tích kieåmsoaùt: ¾Nghieân cöùu söï bieán thieân cuûa ñaïi löôïng X theo thôøi gian khi doøng chaûy qua W dX ∂X Dieän tích = + kρu dA Dieän tích dt ∂t ∫∫ n A2 W A A 1 A B C Taïi t: löu chaát vaøo chieám ñaày theå tích n n kieåm soaùt W. Taïi t+Δt: löu chaát töø W chuyeån ñoäng ñeán vaø chieám khoaûng khoâng gian W1. W W1 dX ΔX X −X XW −XW (Xt+Δt + Xt+Δt) −(Xt + Xt ) = lim = lim t+Δt t = lim 1 = lim B C A B dt Δt→0 Δt Δt→0 Δt Δt→0 Δt Δt→0 Δt (Xt+Δt + Xt+Δt ) − (Xt + Xt ) Xt+Δt − Xt+Δt = lim B A A B + lim C A Δt→0 Δt Δt→0 Δt Xt+Δt − Xt Xt+Δt − Xt+Δt = lim W W + lim C A Δt→0 Δt Δt→0 Δt Δ t kρu dA + Δ t kρu dA ∫∫ n ∫∫ n ∂X = + lim A 2 A 1 Δ t → 0 ∂t W Δ t ∂X = + kρu dA ∫∫ n ∂t W A CH. 3 - ÑOÄNG HOÏC - trang 7
5. TS. Nguyeãn Thò Baûy, ÑHBK tp. HCM, www4.hcmut.edu.vn/~ntbay 2. PHÖÔNG TRÌNH NAÊNG LÖÔÏNG dX ∂X = + ∫∫ kρu n dA dt ∂t W A Khi X laø naêng löôïng cuûa doøng chaûy coù khoái löôïng m (kyù hieäu laø E, bao goàm noäi naêng, ñoäng naêng vaø theá naêng (theá naêng bao goàm vò naêng laãn aùp naêng), ta coù: X = E = Eu + 1/2mu2+ mgZ vôùi Z=z+p/γ 1 2 p Nhö vaäy, naêng löôïng cuûa moät ñôn vò khoái löôïng löu chaát k baèng: k = eu + u + gz + 2 ρ trong ñoù: eu laø noäi naêng cuûa moät ñôn vò khoái löôïng. 1/2u2 laø ñoäng naêng cuûa moät ñôn vò khoái löôïng. gz laø vò naêng cuûa moät ñôn vò khoái löôïng. p/ρ laø aùp naêng cuûa moät ñôn vò khoái löôïng. Ñònh luaät I Nhieät ñoäng löïc hoïc: soá gia naêng löôïng ñöôïc truyeàn vaøo chaát loûng trong moät ñôn vò thôøi gian (dE/dt) , baèng suaát bieán ñoåi trong moät ñôn vò thôøi gian cuûa nhieät löôïng (dQ/dt) truyeàn vaøo khoái chaát loûng ñang xeùt, tröø ñi suaát bieán ñoåi coâng (dW/dt) trong moät ñôn vò thôøi gian cuûa khoái chaát loûng ñoù thöïc hieân ñoái vôùi moâi tröôøng ngoaøi (ví duï coâng cuûa löïc ma saùt): dE dQ dW = − Nhö vaäy dt dt dt dQ dW ∂ 1 2 p 1 2 p Daïng toång quaùt − = ∫∫∫(eu + u +gz+ )ρdw+∫∫(eu + u +gz+ )ρundA dt dt ∂t w 2 ρ A 2 ρ cuûa P. tr NL 3. PHÖÔNG TRÌNH ÑOÄNG LÖÔÏNG G K K Khi X laø ñoäng löôïng: k = u X = ∫∫∫ uρdW W Ñònh bieán thieân ñoäng löôïng: bieán thieân ñoäng löôïng cuûa löu chaát qua theå tích W (ñöôïc bao quanh bôûi dieän tích A) trong moät ñôn vò thôøi gian baèng toång ngoaïi löïc taùc duïng leân khoái löu chaát ñoù: dX = F dt ∑ ngoaïilöïc dX ∂X Nhö vaäy, töø keát quaû cuûa pp TTKS: = + ∫∫ k ρ u n dA ; ta coù: dt ∂t W A ∂ F = (u)ρdw + (u)ρu dA Daïmg toång ∑ ngoaïilöïc ∫∫∫ ∫∫ n ∂t w A quaùt cuûa p.tr ÑL CH. 3 - ÑOÄNG HOÏC - trang 9
6. TS. Nguyeãn Thò Baûy, ÑHBK tp. HCM, www4.hcmut.edu.vn/~ntbay Chaát loûng lyù ltöôûng quay quanh truïc thaúng ñöùng (oz). Giaû söû vaän toác Ví duï 5: quay cuûa caùc phaân toá chaát loûng tyû leä nghòch vôùi khoaûng caùch töø truïc quay treânphöôngbaùnkính(V=a/r; a>0 laøhaèngsoá. Chuùngminhraèng ñaây laø moät chuyeån ñoäng theá. Tìm phöông trình caùc ñöôøng doøng Giaûi: G ⎛ ∂u ⎞ rot ( u ) = 0 y ∂ux chuyeån ñoäng khoâng quay (theá) z ⎜ − ⎟ = 0 a − y −ay −ay ∂x ∂y u = ucos(u,ox) = = = ; ⎝ ⎠ x r r r2 x2 + y2 a ⎛ x ⎞ ax ax u uy = ucos(u,oy) = ⎜ ⎟ = = Suy ra: r ⎝ r ⎠ r2 x2 + y2 ∂u ∂ ⎛ ax ⎞ a(x2 + y2 )−ax(2x) a(y2 − x2 ) y r y ⎜ ⎟ ; = ⎜ 2 2 ⎟ = 2 2 2 = 2 2 2 ∂x ∂x ⎝ x + y ⎠ (x + y ) (x + y ) O x ∂u ∂ ⎛ −ay ⎞ −a(x2 + y2 )+ ay(2y) a(y2 − x2 ) x ⎜ ⎟ = ⎜ 2 2 ⎟ = 2 2 2 = 2 2 2 ∂y ∂y ⎝ x + y ⎠ (x + y ) (x + y ) ∂u ∂u Vaäy: y − x = 0 ⇔ rot(u) = 0 ∂x ∂y z Ñaây laø chuyeån ñoäng Moät chuyeån ñoäng theá treân maët phaúng xOy − ay ax uxdy = uydx ⇔ 2 2 dy = 2 2 dx Phöông trình caùc ñöôøng doøng: x + y x + y ⇔ (x2 + y 2 ) = C CH. 3 - ÑOÄNG HOÏC - trang 11