Bài giảng Thủy lực môi trường - Chương 4: Động lực học lưu chất - Nguyễn Thị Bảy

Nội dung text: Bài giảng Thủy lực môi trường - Chương 4: Động lực học lưu chất - Nguyễn Thị Bảy

1. TS. Nguyễn Thị Bảy, ĐHBK tp. HCM, www4.hcmut.edu.vn/~ntbay CHƯƠNG V PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHO CHẤT LỎNG LÝ TƯỞNG CHUYỂN ĐỘNG (P.Tr EULER) ⎧ 1 ∂p du ∂u ∂u ∂u ∂u ⎫ F − = x = x + u x + u x + u x (1) ⎪ x ρ ∂x dt ∂t x ∂x y ∂y z ∂z ⎪ G ⎪ ⎪ 1 du ⎪ 1 ∂p du y ∂u y ∂u y ∂u y ∂u y ⎪ F − grad(p) = ⇔ F − = = + u + u + u (2) ρ dt ⎨ y x y z ⎬ ⎪ ρ ∂y dt ∂t ∂x ∂y ∂z ⎪ ⎪ ⎪ 1 ∂p du z ∂u z ∂u z ∂u z ∂u z ⎪Fz − = = + u x + u y + u z (3) ⎪ ⎩ ρ ∂z dt ∂t ∂x ∂y ∂z ⎭⎪ ∂u ¾Dạng Lamb-Gromeco của phương trình Euler: y ∂u z ± u y và ± u z Sau khi sắp xếp, trên phương x ta được: ∂x ∂x 2 2 2 1 ∂p ∂u ∂ ⎛ u u y u ⎞ ⎛ ∂u ∂u ⎞ ⎛ ∂u y ∂u ⎞ F − = x + ⎜ x + + z ⎟ + u ⎜ x − z ⎟ − u ⎜ − x ⎟ x ⎜ ⎟ z y ⎜ ⎟ ρ ∂x ∂t ∂x ⎝ 2 2 2 ⎠ ⎝ ∂z ∂x ⎠ ⎝ ∂x ∂y ⎠ 2 ∂u ∂ ⎛ u ⎞ = x + ⎜ ⎟ + u rot(u) − u rot(u) ⎜ ⎟ z y y z ∂t ∂x ⎝ 2 ⎠ Ta biến đổi tương tự cho p.tr (2) và (3). CH. 4 - ĐỘNG LỰC HỌC - trang 1
2. TS. Nguyễn Thị Bảy, ĐHBK tp. HCM, www4.hcmut.edu.vn/~ntbay •Trong trường hợp dòng chảy lưu chất không nén được, ổn định với rot(u)≠0, xét trên phương pháp tuyến n với đường dòng: Nếu lực khối là một hàm có thế, ta đưa hàm thế π vào với định nghĩa sau: ∂π ∂π ∂π G F = − ;F = − ;F = − hay F = −gradπ x ∂x y ∂y z ∂z Viết lại phương trình vi phân dạng Lamb-Gromeco: 1 ∂u ⎛ u2 ⎞ G G ⎜ ⎟ − gradπ − gradp = + grad⎜ ⎟ + rot(u) ∧ u ρ ∂t ⎝ 2 ⎠ Trên phương pháp tuyến n với đường dòng (ngược chiều với phương bán kính r): ∂ ⎛ p ⎞ ∂ ⎛ u2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ π + ⎟ = − ⎜ ⎟ − 2 ω. u.sin(ω, u) 2 ∂n ⎝ ρ ⎠ ∂n ⎝ 2 ⎠ ∂ ⎛ p ⎞ u ⇒ ⎜ π + ⎟ = ∂r u2 u2 u2 u2 ∂r ⎝ ρ ⎠ r = −uω − 2 = − 2 = − ∂n r r r r ∂ ⎛ p ⎞ u 2 Nếu lưu chất chịu tác dụng của lực trọng trường: ⇒ ⎜ gz + ⎟ = ∂r ⎝ ρ ⎠ r Nhận xét: p ¾Theo phương r (hướng từ tâm quay ra): r càng lớn, z + càng lớn γ áp suất phân bố trên mặt cắt ướt theo p quy luật thủy tĩnh (khi ấy các đường ¾Khi r→∝; z + = const dòng song song và thẳng, m/c ướt là mặt γ phẳng) - đây là trường hợp chất lỏng chuyển động đều hoặc biến đổi dần •Ý nghĩa năng lượng của phương trình Bernoulli: p z + : là thế năng của một đơn vị trọng lượng lưu chất γ (bao gồm vị năng đơn vị z và áp năng đơn vị p/γ). 2 u : là động năng của một đơn vị trọng lượng lưu chất. 2 g CH. 4 - ĐỘNG LỰC HỌC - trang 3
3. TS. Nguyễn Thị Bảy, ĐHBK tp. HCM, www4.hcmut.edu.vn/~ntbay 1.Đối với dòng ổn định, không có sự trao đổi nhiệt với môi trường bên ngoài: dW 1 p − = (e + u2 + gz + )ρu dA ∫∫ u n chú ý rằng: dt A 2 ρ Z = z+p/γ là thế năng đơn vị dW 1 ⇒ e ρu dA + = − ( u 2 + gZ)ρu dA ∫∫ u n ∫∫ n A dt A 2 Nhận xét thấy: dW là phần biến đổi năng lượng do ∫∫euρundA + chuyển A dt động của các phần tử bên trong khối lưu chất gây ra và do ma sát của khối lưu chất với bên ngoài. Đại lượng này khó xác định được bằng lý thuyết, thông thường, nó được tính từ thực nghiệm, tuỳ theo trường hợp cụ thể. Ta đặt: dW + = ρ đây chính là năng lượng bị mất đi của lưu chất qua ∫∫ euu ndA ghf Q A dt thể tích W trong một đơn vị thời gian. hf là mất năng trung bình của một đơn vị trọng lượng lưu chất. 1 ⇒ γQh = − ( u 2 + gZ)ρu dA f ∫∫ n A 2 ™Nếu xét cho một đoạn dòng chảy vào mặt cắt 1-1 và ra tại m/c 2-2 (ρ=const) ⎛ 1 1 ⎞ ρgh Q = −⎜ ( u2 + gZ)ρu dA − ( u2 + gZ)ρu dA⎟ f ⎜ ∫∫ 2 2n ∫∫ 2 1n ⎟ ⎝ A2 A1 ⎠ Ta tính riêng các tích phân: •Nếu trên m/c ướt A, áp suất p phân bố theo quy luật thủy ∫∫(gZ)ρdQ = gZρQ = (gz + )ρQ tĩnh. A ρ •Tích phân thành phần 1 2 1 2 ∫∫ u ρundA = ĐNthật > V ρQ = ĐNV động năng:. A 2 2 Đưa vào hệ số hiệu chỉnh động năng α: 1 2 1 2 ∫∫ u ρundA = ĐNthật = αV ρQ = αĐNV A 2 2 với αtầng =2; αrối=1,05 - 1,1 1 2 1 2 Như vậy: ρgh Q = ( α V + gZ )ρQ − ( α V + gZ )ρQ f 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 p1 α1V1 p 2 α 2 V2 hay: z + + = z + + + h 1 γ 2g 2 γ 2g f1−2 Đây chính là ph.tr. năng lượng cho toàn dòng chảy ổn định chất lỏng thực không nén được nằm trong trường trọng lực từ m/c/1 tới m/c 2 (không có nhập hoặc tách lưu) CH. 4 - ĐỘNG LỰC HỌC - trang 5
4. TS. Nguyễn Thị Bảy, ĐHBK tp. HCM, www4.hcmut.edu.vn/~ntbay Ví dụ 2: Đo Lưu lượng qua ống Ventury 1 Áp dụng p. tr năng lượng cho dòng chảy D 2 từ m/c 1-1 đến 2-2 (bỏ qua mất năng): d 1 2 2 2 γd p1 α 1V1 p 2 α 2 V2 z1 + + = z 2 + + γ n 2g γ n 2g γ n A h (α1,α2=1): Suy ra: B Q 2 ⎛ 1 1 ⎞ ⎛ p ⎞ ⎛ p ⎞ ⎜ − ⎟ = ⎜z + 1 ⎟ − ⎜z + 2 ⎟ ⎜ 2 2 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ 2 ⎟ 2g ⎝ A 2 A1 ⎠ ⎝ γ n ⎠ ⎝ γ n ⎠ Hay: ⎛ A2A2 ⎞ ⎛ γ ⎞ Q = ⎜ 2 1 ⎟ 2gh⎜1− d ⎟ ⎜ 2 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ A1 − A2 ⎠ ⎝ γn ⎠ Lưu lượng Q ở trên tính được không kể tới tổn thất năng lượng, Thực tế lưu lượng Qthực nhỏ hơn, nên cần hiệu chỉnh lại lưu lượng sau khi tính Qtính Hiệu chỉnh bằng công thức trên như sau: Qthực = CQtính với C<1 là hệ số hiệu chỉnh Ventury (do mất năng sinh ra). Ví dụ 3: Dòng chảy ổn định qua lỗ thành mỏng: 0 0 p α V 2 p α V 2 z + 0 + 0 0 = z + c + c c + h 0 γ 2g c γ 2g f H Năng lượng của dòng chảy từ bình ra ngoài chủ c A yếu bị mất đi là do co hẹp khi qua lỗ, đây là loại c 2 mất năng cục bộ, nó tỷ lệ với Vc tại mặt cắt co hẹp c-c (học trong chương đường ống). Ta có thể viết lại: p α V 2 p α V 2 V 2 z + 0 + 0 0 = z + c + c c + ξ c 0 γ 2g c γ 2g 2g ⎛ 1 ⎞ V =0, p =0; Suy ra: V = ⎜ ⎟ 2gH = C 2gH 0 0 c ⎜ ⎟ V ⎝ α + ξ⎠ với CV < 1 gọilàhệsốlưutốc. ⎛ 1 ⎞ Lưu lượng: Q = AcVc = Ac ⎜ ⎟ 2gH = AcCV 2gH = εCVA 2gH = CdA 2gH ⎝α + ξ⎠ Với A là diện tích lỗ tháo, ε là hệ số co hẹp, Cd (<CV) là hệ số lưu lượng CH. 4 - ĐỘNG LỰC HỌC - trang 7
5. TS. Nguyễn Thị Bảy, ĐHBK tp. HCM, www4.hcmut.edu.vn/~ntbay Ví dụ 6: Dòng chảy không ổn định ra ngoài bình: A Q = Cda 2gh dh trong đó h giảm theo thời gian H Sau thời gian dt, thể tích trong bình giảm: h dW = −Adh = Qdt = C d a 2gh dt a A dt = − dh Cda 2gh Vậy thời gian để nước chảy hết bình là: 0 0 A A A T = − dh = − 2 h = 2 H ∫ C a 2gh C a 2g C a 2g H d d H d Ví dụ 7a: Dòng chảy qua máy thủy lực: 22 p α V 2 p α V 2 z + 0 + 0 0 = z + 1 + 1 1 + h 0 γ 2g 1 γ 2g f 0 −1 1 B p0=0; V0=0; z0=0 H 1 Suyratạimặtcắt1-1 trướcbơm 0 0 chuẩn có áp suất chân không: p α V 2 1 = − (z + 1 1 + h ) < 0 γ 1 2 g f p α V 2 p α V 2 z + 0 + 0 0 + H = z + 2 + 2 2 + h 0 γ 2g B 2 γ 2g f 0 − 2 Suy ra: HB = H + hf0−2 Công suất hữu ích của bơm: N = γQHB γQHB Hiệu suất bơm: η = Ntruc CH. 4 - ĐỘNG LỰC HỌC - trang 9
6. TS. Nguyễn Thị Bảy, ĐHBK tp. HCM, www4.hcmut.edu.vn/~ntbay Q Q 2 Q 1 1 1 Q Q 1 h Q bom 2 2 2 CH. 4 - ĐỘNG LỰC HỌC - trang 11
7. TS. Nguyễn Thị Bảy, ĐHBK tp. HCM, www4.hcmut.edu.vn/~ntbay Ví dụ10: Xác định lưu lượng Q và tổn thất năng lượng khi dòng chảy ra ngoài không khí. Bỏ qua co hẹp 1 1 2 2 p 1 α 1V1 p 2 α 2 V2 z 1 + + = z 2 + + + h f γ 2g γ 2g H=6m h=5.75m 2 V1 = 0; p 1 = 0; p 2 = 0 2 d=0.08 V 2 α 2 2 m ⇒ H = + h f 2g 2 α V Mặt khác tia nước bắn ra với động năng2 2 đập vào ống nghiệm, 2g dừng lại, vậy toàn bộ động năng này chuyển hoá thành áp năng đẩy cột nước trong ống nghiệm lên một độ cao h=5,75m. α V 2 Vậy: h = 2 2 ⇒ V = 2 gh = 10.62m/s 2 g 2 πd 2 π * 0.08 2 ⇒ Q = AV = V = *10 .62 = 0.0534m 3 /s 4 4 Và: h f = 6 − 5.75 = 0.25 m nướùc Ví dụ10b: Bên hông một bình chứa nước có hai lỗ tháo nước A và B như hình vẽ. Lỗ A nằm dưới mặt thoáng nước một độ sâu HA; lỗ B nằm dưới mặt thoáng nước một độ sâu HB. Tia nườc bắn ra từ hai lỗ giao nhau tại O. Giả sử hệ số lưu tốc của hai lỗ là như nhau và bằng CV. Tìm khoảng cách x từ O đến thành bình Giải: phương trình đường quỹ đạo của tia nước Pa bắn ngang ra khỏi lỗ với vận tốc V cho dưới HA 2 2 A dạng: x =2V y/g; với gốc tọa độ tại lỗ, x hướng H ngang và y hướng xuống, g là gia tốc trọng B B y trường. Suy ra: A 2 2 y 2V y 2V y B x 2 = A A = B B O g g x 4C2 gH y 4C2 gH y ⇒ x 2 = V A A = V B B g g ⇒ HA yA = HB yB Mặt khác ta có: HA+yA=HB+yB Giải ra được: HA=yB ;HB=yA Suy ra: x = 2CV HAHB CH. 4 - ĐỘNG LỰC HỌC - trang 13
8. TS. Nguyễn Thị Bảy, ĐHBK tp. HCM, www4.hcmut.edu.vn/~ntbay VII. ÁP DỤNG PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LƯỢNG (∑ F)s = ρQ(α02V2s − α01V1s ) = ĐL ra/ s − ĐL vào / s Phân tích ngoại lực, thông thường gồm có các lực sau đây: ¾Trọng lực G ¾Lực ma sát Fms giữa chất lỏng với thành rắn. ¾Phản lực N vuông góc và từ thành rắn tác dụng vào khối lưu chất. ¾Áp lực Fi từ các phía tác dụng vào các m/c (mà dòng chảy ra hoặc vào khối thể tích kiểm soát. (tính như áp lực thuỷ tĩnh). Hai lực giữa (Fms và N) thông thường gom chung thành một lực R gọi là phản lực của thành rắn tác dụng vào khối lưu chất. Lực trọng trường G thông thường bị triệt tiêu khi chiếu lên phương nằm ngang (vì G theo phương thẳng đứng), hoặc giả thiết nhỏ nên không tính tới (trừ trường hợp có giá trị lớn đáng kể và khi chiếu p.tr ĐL lên phương thẳng đứng) Ví dụ (tự giải): Lưuchấtkhốilượng riêng ρ chảy trong trong ống trònbánkínhro có phân bố vậntốcnhư sau: ⎛ r 2 ⎞ u = u ⎜1− ⎟ max ⎜ 2 ⎟ ⎝ ro ⎠ Trong đó umax là vậntốccực đđạitạitâmống. Tìm động lượng đi qua mặtcắt thẳng góc vớidòngchảy trong đơnvị thời gian: 2 2 ĐS= ρumax πro /3 CH. 4 - ĐỘNG LỰC HỌC - trang 15
9. TS. Nguyễn Thị Bảy, ĐHBK tp. HCM, www4.hcmut.edu.vn/~ntbay Ví dụ 13. Lực của dòng chảy tác dụng lên đập tràn: Áp dụng p. tr ĐL cho thể tích KS như hình vẽ: Rx = ρQ(Vc − V1) − F1 + F2 (∗) F1=p1A1=[γ(H+L2)/2]A1; F2=p2A2=[γ(hc)/2]A2 Bỏ qua mất năng: 1 p α V 2 p α V 2 H z + 1 + 1 1 = z + c + c c 1 γ 2g c γ 2g F1 F 2 2 L c α1Q α cQ 1 L2 ⇔ H + L1 + = h c + F 2 2 hc 2 2gA 1 2gA c 1 c 2 2 A c A 1 ⇔ Q = 2 2 2g(H + L 1 − h c ) A 1 − A c Sau khi tính được lưu lượng ta tính Vc =Q/Ac ; V1=Q/A1; Sau đó thế vào p.tr (*) để tìm Rx; và F=-Rx. Ví dụ 14. . Lực tác dụng của tia nước đập vào cánh gáo a.Khi giữ xe đứng yên, A 1V Lực tác dụng lên xe Fx = -Rx 1 u* 2 Fx R Q( V V ) F F x = ρ − 2 − 1 − 1 − 2 2 V = ρVA(−V − V) = −2ρV 2 A F1và F2 đều bằng 0 vì đây là dòng tia, chung quanh đều là áp suất khí trời b. Khi xe chuyển độngtớivớivậntốc u*, Lực tác dụng Fx=-Rx vào xe sẽ nhỏ hơn và bằng: 2 Rx = ρ(V − u*)A(−(V − u*) − (V − u*)) = −2ρ(V − u*) A ∗ * 2 ∗ Như vậy, công suất hấp thụ bởi gầu bằng: Ngầu = Fxu = 2ρ(V − u ) Au V2 V3 Công suất cung ứng bởi vòi nước: Nvoi = ρQ = ρA 2 2 2 N 2ρ(V − u* )2 Au* u* ⎛ V − u* ⎞ Hiệu suất cả hệ thống η = gầu = = 4 ⎜ ⎟ = 4x(1− x)2 3 ⎜ ⎟ (đặt x=u*/V): Nvòi ρAV / 2 V ⎝ V ⎠ Khảosáthàmsốtrên, tathấyη dạt giá trị cực đại khi x=1(loại bỏ) và x=1/3. CH. 4 - ĐỘNG LỰC HỌC - trang 17
10. TS. Nguyễn Thị Bảy, ĐHBK tp. HCM, www4.hcmut.edu.vn/~ntbay Ví dụ 17 . V=30m/s. Tính lực nằn ngang cần giữ cho xe đứng yên Nếu để xe chạy tới với u=5m/s, thì lực tác động vào xe là bao nhiêu? Tìm hiệu suất πD2 Q = VA = V = 0.059m 3 / s 1 4 V R = ρQ(−V cos(300 )) x 1 1 D=50mm 0 0 R x =1000*0.059*(−30cos(30 )) = -1530.39N 30 Vậy lực Fx để giữ xe đứng yên là 1530N Khi xe chuyển động tới với vận tốc u=5 m/s, thì ph. Tr ĐL sẽ viết lại như sau: x 0 R x = −ρQ[V1 cos(30 ) − u] = −1000 *0.059 *(30 *cos(30 0 ) − 5) = 1235.8689N V 2 V 3 Công suất tia nước: N = ρQ = ρA = 26507.19W tia 2 2 Công suất xe: Nxe = Fxu =1235.8689*5 = 6179.345W N η = xe = 0 . 233 Hiệu suất: N tia 3 Ví dụ 18 . D=1,2m; d=0.85m, Q2=Q3=Q1/2; Q1=6 m /s; p1=5Mpa Bỏ qua mất năng. Xác định lực nằm ngang tác dụng lên chạc ba 1 2 V2 Q1 R V = =5.305m/s;V = V = 5.287m/s F1 D x d F 1 3 2 450 2 A1 V1 y 2 (∑F)s = ∑ ĐLra / s − ∑ ĐLvào / s 1 R Ry x 0 0 3 (ρQ2V2 + ρQ3V3 cos(45 )) −ρQ1V1 = R x + F1 − F2 − F3 cos(45 ) d V 0 0 3 F 3 −ρQ3V3 sin(45 ) = R y + F3 sin(45 ) 3 p p V 2 − V 2 ρ V 2 − V 2 2 = 1 + 1 2 ⇔ p = p + ( 1 2 ) = 5000097Pa ⇒ p = p γ γ 2g 2 1 2 3 2 F1 = p1A1 = 5654867N; F3 = F2 = p2A2 = 2837306N; 0 0 ⇒ R x = (ρQ2V2 + ρQ3V3 cos(45 )) −ρQ1V1 − F1 + F2 + F3 cos(45 ) 0 0 R y = −ρQ3V3 sin(45 ) − F3 sin(45 ) Thế số: Rx=-816,038KN; Ry=-2017,493 KN; R=2176,281 KN CH. 4 - ĐỘNG LỰC HỌC - trang 19