Bài giảng Vật lý 2 - Chương IV: Thuyết tương đối hẹp

Nội dung text: Bài giảng Vật lý 2 - Chương IV: Thuyết tương đối hẹp

1. CHƯƠNG IV THUYẾT TƯƠNG ĐỐI HẸP
2. TTĐ Einstein gồm hai phần: + TTĐ hẹp ra đời 1905 nghiên cứu các HQC quán tính. + TTĐ rộng ra đời 1916 nghiên cứu các HQC không quán tính. Trong phần này chúng ta chỉ nghiên cứu thuyết tương đối hẹp. I. Nguyên lý Galilê, phép biến đổi Galilê
3. Phép biến đổi Gallilée dẫn đến một số KQ sau: 2 2 2 a) Gọi l ()()() x1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2 là khoảng cách giữa hai điểm 1, 2 trong hệ K; khoảng cách tương ứng trong hệ K’ là: 2 2 2 l'('')('')('') x1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2 Ta có : l ' l : khoảng cách giữa hai điểm là đại lượng bất biến . Lấy đạo hàm các hệ thức trên theo thời gian ux u';';' x v u y u y u z u z Các hệ thức này là phép cộng vận tốc cổ điển.
4. 3) Thí nghiệm Michelson - Morly G2 2 S G 1 G1 T
5. • Thời gian ánh sáng đi trên đoạn đường GG1 G: l l2 l 1 t (1) 1 c v c v c v2 1 c2 • Thời gian ánh sáng đi trên đoạn đường GG2 G: 2l 2 l 1 t2 (2) c2 v 2c v 2 1 c2
6. • Hiệu quang lộ của hai tia đó là: 2 1 L 1 L 2 c() t 1 t 2 l  • Bây giờ quay giao thoa kế một góc 900 sao cho G2 G trùng còn G1 G vuông góc với phương chuyển động của Trái Đất. Hiệu quang lộ của hai tia sẽ là 2 2 l 
7. • Vậy hiệu quang lộ đã thay đổi một lượng là: 2 2  1 2l  • Hệ thống vân sẽ dịch chuyển đi một đoạn là: 2l 2 m khoảng vân  Trong thí nghiệm Michelson l = 11m; λ = 0,59µm, ta suy ra m = 0,37 khoảng vân. Tuy nhiên làm TN nhiều lần trong suốt thời gian một năm rưỡi, Michelson không phát hiện được độ dịch chuyển đó. Điều này hoàn toàn mâu thuẩn với giả thiết tồn tại ête.
8. III. Phép biến đổi Lorentz Giả sử có hai HQC K và K’, K’chuyển động đối với vận tốc v không đổi như hình vẽ. Giả sử lúc ban đầu O và O’ trùng nhau. Gọi xyzt và x’y’z’t’ là các tọa độ không gian và thời gian trong các hệ K và K’. y y’ ’ x’ O O x’ x x z z’
9. Vì các tọa độ y và z biến đổi độc lập với x và t nên các tọa độ x và t cũng biến đổi độc lập với y và z. Trong các công thức biến đổi của x và t không có mặt y và z. Như vậy x và t có thể là các hàm tuyến tính chỉ của x’ và t’. Gốc tọa độ O’ của hệ K’ có tọa độ x’ = 0 trong hệ K’ và x = Vt trong hệ K. Do đó biểu thức x – Vt phải triệt tiêu đồng thời với tọa độ x’. Muốn vậy phép biến đổi tuyến tính phải có dạng: x'  ( x vt ) (1)
10. Nhân (1) với (2) x.''' x  2 x vt x vt  2(xx ' xvt ' vtx ' vtt 2 ')  2(xx ' ctvt ' vtct ' vtt 2 ') c2 tt'()'  2 c 2 v 2 tt
11. Thay vào (1) và (2) ta được: x vt x'' vt x' (3) ; x (4) v2 v 2 1 1 c2 c 2 Từ (3) và (4) ta tính được: v v t 2 x t'' 2 x t'; c t c v2 v 2 1 1 c2 c 2
12. • Từ K’ K x'' vt x ;' y y v 2 1 c 2 v t'' 2 x z z'; t c v 2 1 c 2
13. III. Các hệ quả của phép biến đổi Lorentz. 1.Tính tương đối của sự đồng thời – Quan hệ nhân quả. Giả sử trong hệ K có hai biến cố A(x1,t1) và B(x2,t2) xảy ra. Khoảng thời gian giữa hai biến cố đó trong hệ K’ là: v t t x x 2 1c2 2 1 t''' t2 t 1 v2 1 c2
14. • Quan hệ nhân quả: Giả sử biến cố A là một phát súng nổ tại một điểm có tọa độ (x1 , y1 , z1 ) vào thời điểm t1 và biến cố B là viên đạn trúng đích tại điểm có tọa độ (x2 , y2 , z2 ) vào thời điểm t2 . Đó là hai biến cố có quan hệ nhân quả: A là nguyên nhân, B là kết quả. Coi hai biến cố đều xảy ra trên trục x. Trong hệ K t2 > t1 .Gọi u là vận tốc trung bình của viên đạn và giả sử x2 > x1 . Ta có: x x u 2 1 t2 t 1
15. 2.Sự co ngắn Lorentz Giả sử có một thanh nằm yên trong hệ K’ dọc theo trục x’. Gọi x’1 và x’2 là tọa độ hai đầu thanh, lo là chiều dài của thanh trong hệ K’, ta có: lo = x’2 – x’1 Muốn xác định chiều dài của thanh trong hệ K ta phải xác định tọa độ hai đầu thanh trong hệ K tại cùng thời điểm. Theo biến đổi Lorentz ta có: v v x t x t 2c2 2 1 c 2 1 x''2 x 1 v2 v 2 1 1 c2 c 2
16. 3.Sự chậm trễ của đồng hồ chuyển động. Tại một điểm cố định A’ trong hệ K’ xảy ra hai biến cố 1 và 2. Chẳng hạn biến cố 1 là kim của đồng hồ đặt tại A’, chỉ thời điểm t’1 , còn biến cố 2 là kim của cùng đồng hồ ấy chỉ thời điểm t’2 Khoảng thời gian giữa hai biến cố trong hệ K’ là t0 t'' 2 t 1 được gọi là thời gian riêng của K’ Bây giờ giả sử ta muốn đo khoảng thời gian giữa hai biến cố này trong hệ K. Rõ ràng không thể so sánh các số chỉ của đồng hồ A’ với số chỉ một đồng hồ nào đó trong hệ K. Vì vậy ta phải tiến hành phép đo như sau.
17. t chính là khoảng thời gian giữa hai biến cố 1 và 2 đo được từ hệ K. Vì t t 0 nên đồng hồ chuyển động chạy chậm hơn đồng hồ đứng yên. Giả sử một hạt chuyển động với vận tốc v theo chiều dương của trục x trong hệ qui chiếu quán tính K. Thời gian ghi được trên đồng hồ gắn liền với hạt gọi là thời gian riêng τ của hạt. Vậy khoảng thời gian ∆τ của quá trình xảy ra trên hạt và khoảng thời gian ∆t của quá trình đó trong hệ K liên hệ như sau  t 1 v2 / c 2
18. Theo phép biến đổi Lorentz, ta có: v t x x v t 2 x';';';' y y z z t c v2 v 2 1 1 c2 c 2 Do đó ∆S = ∆S’ nên khoảng là đại lượng bất biến. Vậy các đại lượng bất biến của thuyết tương đối là: vận tốc ánh sáng c, thời gian riêng, độ dài riêng, khoảng
19. Khoảng Δt này không phải thời gian giữa hai lần người quan sát trên mặt đất nhìn thấy các tia sáng. Vì sau khi phát ra, các tia sáng phải vượt qua các khoảng cách r1 và r2 để tới được mắt người quan sát . x1 x2 θ r2 r1
20. f0 1/  là tần số riêng trong hệ qui chiếu của nguồn sáng. Các trường hợp đặt biệt: a)Nguồn sáng ở rất xa và đang tiến lại gần : θ = 00 f 1  f 0 f (1  )0 1  Như vậy các nguồn sáng đang tiến lại gần sẽ có màu xanh hơn, hiện tượng này được gọi là dịch chuyển xanh (blue - shifted)
21. Ví dụ: 1. Một hình tam giác vuông cân đứng yên trong hệ qui chiếu K, có diện tích bằng S. Tìm diện tích của tam giác này và các góc của nó trong hệ qui chiếu K’ chuyển động đối với hệ K với vận tốc bằng 4/5 c theo phương song song với cạnh huyền của tam giác.
22. h2 h 2h tg 0 l/ 2 l 0,6 l0 2h 2 0 tg450 1,67 1,2l0 / 2 1,2  590 Vậy 2 góc là 590 h và một góc là 620 l
23. • Độ dài riêng của thanh: 2 2 l0 l 0x l 0 y • Theo phép biến đổi Lorentz 2 v lx lx l0 x1 2 l 0 x c v2 1 c2 l cos ;l0 y l y l sin v2 1 c2
24. 3. Thời gian sống riêng của một hạt không bền nào đó là  o 10 ns . Tìm quãng đường hạt đi được trước khi phân rã trong hệ qui chiếu phòng thí nghiệm, trong đó thời gian sống của hạt là t 20 ns
25. VI. Phép biến đổi vận tốc Gọi u ( u x , u y , u z ),'(',',') u u x u y u z là vận tốc chất điểm trong hệ K và K’ Theo định nghĩa vậndx' tốc ta có: dx u' x dt', u x dt v dt dx dx vdt 2 dx';' dt c 1 v2 / c 2 1 v 2 / c 2
26. Trong phép biến đổi ngược lại từ K’ K . Ta được: v2 u ' 1 u' v y 2 u x ; u c xv y v 1 u ' 1 u ' c2x c 2 x v2 u 'z 1 2 ; u c z v 1 u ' c2 x
27. a) Chọn HQC K và K’ với trục x và x’ cùng phương với phương chuyển động của hai hạt, chiều dương là chiều chuyển động của hạt 1. Gắn HQC K’ với hạt 2. Vậy vận tốc của hạt 1 đối với hạt 2 chính là vận tốc của hạt 1 trong HQC K’. Theo công thức biến đổi vận tốc ta có: v2 u 1 u v y 2 u';' x u c xv y v 1 u 1 u c2x c 2 x
28. b) Chọn HQC K và K’ với trục x và x’ cùng phương chiều với hạt 2. Gắn HQC K’ với hạt 2. Vậy vận tốc của hạt 1 đối với hạt 2 chính là vận tốc của hạt 1 trong HQC K’. Theo công thức biến đổi vận tốc ta có: v2 u 1 u v y 2 u';' x u c xv y v 1 u 1 u c2x c 2 x
29. IV. Động lực học tương đối tính: 1. Khối lượng tương đối tính: theo cơ học cổ điển, khối lượng của một vật là hằng số không phụ thuộc vật đứng yên hay chuyển động, tuy nhiên theo thuyết tương đối thì: m m o 1 v2 / c 2 m là khối lượng chất điểm trong hệ mà nó chuyển động với vận tốc v gọi là khối lượng tương đối, mo là khối lượng chất điểm đo được trong hệ mà nó đứng yên gọi là khối lượng nghĩ.
30. 4. Năng lượng tương đối Theo ĐL bảo toàn năng lượng, độ tăng năng lượng của vật bằng công của ngoại lực tác dụng lên vật. Giả sử lực tác dụng và phương chuyển động cùng hướng theo chiều dương của trục x. d dE dA dE Fdx () mv dx dt dx d()() mv mdv vdm v dt mo 2 2 2 2 2 Mà m m c m v mo c 1 (v2 / c 2 )
31. 5.Hệ quả: a) Năng lượng nghĩ của vật: 2 Eo m o c mo là khối lượng lúc vật đứng yên b)Động năng tương đối 2 2 2 1 T mc mo c m o c 1 v2 1 c2
32. d) Từ m o m v2 1 c2 Ta suy ra nếu vật có khối lượng nghĩ mo khác không thì phải chuyển động với vận tốc nhỏ hơn c. Hạt photon chuyển động với vận tốc bằng c nên khối lượng nghĩ của nó bằng không.
33. 1. Động lượng TĐT và động lượng Newton m0 v p ; p0 m 0 v v2 1 c2 2 m0 v v 1 n. m0 v 1 2 2 v2 c n 1 c2 c c 3 v n2 1 n 2
34. 3. Một hạt có khối lượng nghĩ mo , tại thời điểm t = 0 bắt đầu chuyển động dưới tác dụng của lực F không đổi. a) Tìm sự phụ thuộc theo thời gian t của vận tốc của hạt và của quãng đường mà hạt đi được. b) Nếu hạt chuyển động dọc theo trục x theo phương trình x A 2 c 2 , tìm lực tác dụng lên hệ.
35. b) x A2 c 2 t 2 dx c2 t m v m c2 t v p 0 0 dtA2 c 2 v 2 A 1 c2 dp m c2 F 0 dt A
36. 6. Xuất phát từ phương trình cơ bản động học tương đối tính, tìm: a) Trong những trường hợp nào gia tốc của hạt trùng phương với lực F tác dụng lên hạt b) Các hệ số tỉ lệ giữa lực F và gia tốc a trong các trường hợp mà F thẳng góc v và F song song v, trong đó v là vận tốc hạt
37.   3 F  m a m v(.) v a 0 0 c2 Vậy lực F chỉ song songvới gia tốc trong hai trường hợp duy nhất là khi v  a và khi v a b)   F v v  a F  m0 a   v2 F v v  a F  m a  3 m a 0 0 c2  2 3 1 v 3 F  m0 a 2 2  m 0 a  c