Bài giảng Vật lý chất rắn - Chương III: Dao động mạng tinh thể - Lê Khắc Bình

Nội dung text: Bài giảng Vật lý chất rắn - Chương III: Dao động mạng tinh thể - Lê Khắc Bình

1. Chöông III DAO ĐỘNG MẠNG TINH THỂ
2. Taát caû caùc ñieàu kieän treân cho pheùp ta coù : * * * a1.a1 = 2 ; a1.a2 = 0; a1.a3 = 0 * * Töông töï ta thaønh laäp caùc vectô a 2 ; a 3 sao cho: * * = a2 .a1 = 0 a3.a1 0 a* .a = 2 a* .a = 0 2 2 3 2 a1 a * * 1 a2 .a3 = 0 a3.a3 = 2 * a .a = 2  * i j ij a 1 1 neáu i = j  * a3 a3 ij = * O a 2 a2 0 neáu i j
3. 1.9 MOÄT SOÁ TÍNH CHAÁT CUÛA MAÏNG ÑAÛO (MAÏNG NGÖÔÏC) 1. Goïi V laø theå tích cuûa oâ maïng thuaän; V* theå tích cuûa oâ maïng ngöôïc, ta coù: V = a1.(a2  a3 ) * * * * V = a1.(a2  a3 ) Suy ra: V.V* = (2 )3 * * * 2.Neáu a1 ⊥ a2 ⊥ a3 thì a1 ⊥ a2 ⊥ a3 * * * Vaø a1 // a1; a2 // a2;a3 // a3
4. Vùng Brillouin ⚫ Cũng giống như với mạng thuận, trong mạng đảo, có thể xây dựng ô sơ cấp dạng đối xứng trung tâm (kiểu ô WIGNER – SEITZ của mạng thuận). Trong mạng đảo, ô này được gọi là vùng Brillouin thứ nhất ⚫ Nó được giới hạn bởi các mặt phẳng trung trực của các vectơ mạng đảo nối nút đang chọn với các nút lân cận. ⚫ Khái niệm về mạng đảo và vùng Brillouin được sử dụng rất thuận tiện để nghiên cứu các vấn đề có liên quan đến các quả trình sóng trong vật rắn như lý thuyết về cung năng lượng, lý thuyết về dao động của mạng tinh thể, hiện tượng nhiễu xạ trong tinh thể v.v
5. CAÙCH VEÕ OÂ WIGNER – SEITZ CHO MAÏNG 2 CHIEÀU
6. ⚫ Trong thực tế, thường gặp các mạng tinh thể 3 chiều. → Câu hỏi: Trong trường hợp nào thì mạng tinh thể 3 chiều được xét như mạng tinh thể 1 chiều
7. ⚫ Trong các trường hợp này, các nguyên tử nằm trên cùng một mặt phẳng tinh thể vuông góc với phương truyền sóng thì dao động giống nhau ⚫ Vì thế, thay cho nghiên cứu chuyển động của mọi nguyên tử trong tinh thể ta chỉ cần xét trên mỗi mặt phẳng tinh thể một nguyên tử. Bài toán được qui về trường hợp mạng tinh thể một chiều.
8. Trường hợp chuỗi thẳng dài vô hạn các nguyên tử có cùng khối lượng Ta có: ⚫ Với: xn – là độ lệch khỏi vị trí cân bằng của nguyên tử thứ n f – là lực đàn hồi tương tác giữa hai nguyên tử Nghiệm của phương trình trên có dạng: ⚫ Với: q – số sóng
9. ⚫ q có thứ nguyên nghịch đảo chiều dài, nên nó chính là đại lượng được xét trong không gian mạng đảo.
10. ⚫ Nếu xét tại một thời điểm, thì trạng thái dao động của tinh thể lặp lại một cách tuần hoàn trong không gian, với chu kỳ là bước sóng λ. ⚫ Ở tâm vùng Brillouin thứ nhất, tức là với qa<<1, thì ⚫ Do đó: f qa d  = 2 = const → Vận tốc v = m 2 truyền sóng p dq ⚫ Như vậy với giá trị q nhỏ, tức là với dao động có bước sóng λ rất lớn, vận tốc truyền năng lượng dao động cũng là hằng số. ⚫ Kết quả này cũng giống như đối với sóng đàn hồi truyền trong môi trường liên tục. Điều này cũng dễ hiểu vì khi bước sóng rất lớn so với hằng số mạng, thì chuỗi nguyên tử có thể coi gần đúng như một
11. ⚫ Xét giá trị q lớn, lúc này vận tốc truyền sóng không còn là hằng số d f qa v = = a cos g dq m 2 ⚫ Ở giá trị → Vận tốc truyền sóng vg = 0. Điều này chứng tỏ không có năng lượng được truyền đi, nói cách khác tại biên vùng các kiểu dao động này không đặc trưng cho sóng chuyển động mà đặc trưng cho sóng dừng trong mạng. → Như vậy ở biên vùng Brillouin vận tốc truyền sóng bằng không ứng với sự tạo thành sóng đứng.
12. ⚫ Với ⚫ Ta có min = 2a → Đó là giá trị bước sóng ngắn nhất có thể tồn tại trong mạng tinh thể. Nó ứng với trường hợp hai nguyên tử lân cận dao động ngược pha nhau. ⚫ Trong thực tế không có tinh thể lớn vô hạn mà chỉ có tinh thể chứa rất nhiều nguyên tử N >> 1. Nếu tinh thể là hữu hạn, thì các tính chất của tinh thể hữu hạn, chẳng hạn như tính đối xứng tịnh tiến không còn nữa. Ta phải xét ảnh hưởng của biên tinh thể. Trong trường hợp mạng một chiều đó chính là đầu và cuối của dãy nguyên tử. Tuy nhiên nếu mạng tinh thể đủ lớn, thì ảnh hưởng của biên là rất nhỏ, và tính chất của tinh thể cũng gần giống như khi là mạng vô hạn.
13. → Do đó, có tất cả N giá trị được phép của vector sóng (và bước sóng) nằm trong khoảng: - /a <q< /a → Mỗi giá trị đó tương ứng một mode dao động của mạng. Mode đó được gọi là mode chuẩn.
14. Điều kiện biên tuần hoàn ⚫ Để bảo toàn tính đối xứng tịnh tiến của mạng tinh thể, ta đưa ra điều kiện biên tuần hoàn Born-Karman như sau: dao động của nguyên tử ở cuối dãy (nút thứ N) giống hệt như dao động của nguyên tử ở đầu dãy (nút thứ 1). Bằng cách đó, ta coi như các dãy giống nhau được xếp kế tiếp nhau thành một dãy dài vô hạn. Cũng có thể tưởng tượng là mạng một chiều có đầu và cuối nối nhau thành một vòng kín. Giả thiết về điều kiện biên tuần hoàn giúp cho việc tính toán được thuận lợi nhưng không ảnh hưởng gì tới kết quả vật lý.
15. Hệ quả của điều kiện biên tuần hoàn ⚫ Nghiệm tổng quát thu được là: ⚫ Các giá trị này của n cho ta N giá trị khác nhau của q. Như vậy điều kiện biên tuần hoàn đã đưa đến sự gián đoạn của giá trị vectơ sóng q. ⚫ Các giá trị này cách nhau 2 /N ⚫ Trong phổ ω(q) chỉ có các giá trị của ω ứng với N giá trị đó của q.