Bài giảng Cơ sở Vật lý chất rắn - Bài 3: Dao động mạng tinh thể - Lê Khắc Bình

Nội dung text: Bài giảng Cơ sở Vật lý chất rắn - Bài 3: Dao động mạng tinh thể - Lê Khắc Bình

1. a. Chuỗi thẳng dài vô hạn của các nguyên tử cócùng khối lượng m d2x m n = -f[(x - x ) - (x - x )] dt 2 n n-1 n+1 n xnlàđộlệch khỏi vị trícân bằng của nguyên tửthứn f làhằng sốlực đàn hồitươngtácgiữa2 nguyêntử. Nghiệm códạng xn = A exp i ( wt +qna) q -sốsóng
2. Ở hìnhtrên, q = p/a tương ứng với l=2a. q > p/a không cóýnghĩa vật lývìkhông cónguyên tửdao động giữa một chu kỳ. Nhưvậy vectơsóngđượcphépchodaođộngmạngnằmtrongvùngBrillouin thứnhất( |q| < p/a ). Do đótấtcảcóN giátrịđược phépcủavectơsóng( vàbướcsóng) nằm trong khoảng -p/a < q < p/a. Mỗigiátrịđótươngứngvớimột mode daođộngcủamạng. Mode đóđượcgọilà mode chuẩn
3. w (4f / m)1/ 2 w qa = sin (4f / m)1/ 2 2 Vùng Brillouin thứnhất q q » 0,,l ® ¥ p q = ,l = 2a a
4. b. Chuỗi thẳng dài Lhữu hạn gồm N nguyên tửcócùng khối lượng m f x(0) x(Na) x L = Na Điều kiện biên tuần hoàn Điều kiện biên tuần hoàn : xn = xn+N Born von Karman Từ xn = A exp i ( wt +qna) expinqa= exp i(n+N)qa exp iNqa = 1 = exp i2pj 2p Nqa=2pj q = j na j làcác sốnguyên dương hoặc âm.
5. c. Chuỗi thẳng gồm2 loạinguyên tửcókhối lượng m vàM d2x m 2n+1 = -f[(x - x ) - (x - x )] dt 2 2n+1 2n 2n+2 2n+1 d2x M 2n = -f[(x - x ) - (x - x )] dt 2 2n 2n-1 2n+1 2n Nghiệm của chúng códạng x2n+1 = Am exp i [ wt + (2n+1)qa] x2n = AM exp i [ wt + (2n)qa] Thay các nghiệm này vào phương trình chuyển động tương ứng được 2 phương trình đểxác định các biên độAmvàAM.
6. ì 2 qa ü 4sin 2 ï 1 1 1 1 2 2 1/ 2 ï w = fí( + ) ± [( + ) - ] ý ï m M m M mM ï ỵ þ 2f 2f m Nhánh quang m 1 1 1 2f = + m m M Nhánh âm M q
7. 2 qa 1 1 1 1 4sin w2 = f( + ) ± [( + )2 - 2 ]1/ 2 m M m M mM f w2 = [(m + M) ± (m + M)2 - 2mM(1- cosqa)] mM Xét các trường hợp giới hạn sau : 1. q= p / a: có2 nghiệm 2f 2f w2 = w2 = - M + m · · · · · · · · · · · · · q = p/a Tần sốthấp : nguyên tửnhẹ đứng yên, nguyên tửnặng dao động · · · · · · · · · · · · · q = p/a Tần sốthấp : nguyên tửnhẹ dao động , nguyên tửnặng đứng yên
8. Nghiệm 2 : dấu -, qa nhỏ à bỏqua sốhạng q2a2 f (m + M) mM (qa)2 w 2 = {1- [1- ]} mM (m + M)2 2 2 2 q a f f w 2 = w = qa 2 m + M 2(m + M) Nghiệm tần sốthấp cóđộdốc không đổi với qa nhỏ p • • • q = · · · • • • • • • • 4a Các nguyên tửtrong ô đơn vị chuyển động đồng pha, các ô lân cận cũng đồng pha
9. Nhánh quang ngang với q = p/a ( nhẹ nặng ) · · · · · • · • • • • • • Nhánh âm ngang với q = p/a • • • • • • • • • • • • • Nếu 2 loại nguyên tửcóđiện tích trái dấu, các sóng đó làsóng phân cực
10. 2f 2f m Nhánh quang m 1 1 1 2f = + m m M Nhánh âm M q
11. 22 DaDaoo đđoộänngg cucủûaa mamạïnngg ttiinhnh tthehểå Đểtính toán dùng thếV của tinh thểlàhàm của tọa độcủa tất cảcác nguyên tửcótrong tinh thể. Khi mạng dao động, các nguyên tửlệch khỏi vị trícân bằng. Khai triển V thành chuỗi quanh vị trícân bằng 1 ¶2V r r V = Vo + å( r )o snsn' + các sốhạng bậc cao hơn 2 n,n' ¶sn¶sn' Vo làthếnăng khi tất cảcác nguyên ưửởvị trícân bằng sn làvectơ dịch chuyển của nguyên tửthứnkhỏi vị trícân bằng Khi độdịch chuyển của các nguyên tửlànhỏcóthểbỏqua các sốhạng bậc cao
12. Trong các tinh thểvới 1 nguyên tửtrong ô nguyên tốta thu được 3 phương trình tương ứng với 3 thành phần của phương trình chuyển động. ¶2V Nếu biết ( r r )o ¶sn¶sm thìvềnguyên tắc cóthểxác định các giátrị của tần sốriêng cũng nhưbiên độcủa các dao động thành phần bằng cách giải 3 phương trình nói trên. Điều kiện đểcho 3 phương trình cónghiệm không tầm thường là hệthức của các hệsốphải bằng 0 : 2 ¶ V ij r r r 2 å( r r )o exp iq(an - am ) - Mw dij = 0 n ¶sn¶sm Định thức này có9 yếu tố. Từđây suy được phương trình bậc 3 2 đối với w . Giải ra được 3 nghiệm w1, w2 , w3. w1(q), w2 (q) và w3(q) xác định 3 nhánh âm.
13. Các nhánh này tùy theo sựđối xứng của mạng tinh thể cóthểtrùng nhau theo một sốchiều nào đó(suy biến) Vài minh họa Hz) 12 V) e ( ng ï ơ ư (10 n ’ Năng l Năng n sô à Ta Vectơ sóng q rút gọn (q/qmax)
14. n ’ ô s n à Ta Vectơ sóng q rút gọn (không thứnguyên) 12 νLTO(Γ25') 15.5 10 Hz 12 Si: Tầnsốphonon νTA(X3) 4.5 10 Hz 12 12 νLAO(X1) 12.3 10 Hz ( đơnvị10 Hz ) 12 νTO(X4 ) 13.9 10 Hz T=300K 12 νTA (L3) 3.45 10 Hz 12 νLA(L2') 11.3 10 Hz 12 νLO(L1) 12.6 10 Hz 12 νTO(L3') 14.7 10 Hz
15. Ø Tinh thểcóN nguyên tửcóthểxem làmột hệđộng học . Chuyển động của nócóthểmô tảbởi N tọa độchuẩn độc lập với nhau. Mỗi tọa độchuẩn mô tảcho một cấu hình xác định của tất cảnguyên tửcủa tinh thểdao động điều hòa. && 2 Qq + wqQq = 0 Dao động tập thểđócủa tất cảcác nguyên tửcủa tinh thểđược gọi làdao động chuẩn của mạng. Ø Trong tọa độchuẩn, năng lượng toàn phần của dao động mạng códạng rất đơn giản : 3N m &2 2 2 E = å(Qi +wi Qi ) 2 i=1 trong đó wi làtần sốdao động của mode chuẩn thứi Với tọa độchuẩn, dao động của mạng trương đương với 3N dao động điều hòa độc lập ( tất nhiên, mỗi dao động tửtương ứng với một mode chuẩn khác nhau ). Một dao động bất kỳcóthểbiểu diễn bằng tổhợp tuyến tính của các dao động chuẩn.
16. Qs làtọa độsuy rộng , Es và Ys thỏa mãn phương trình 2 2 h ¶ ys 1 2 2 2 + (Es - mws Qs )ys = 0 2m ¶Qs 2 Phương trình này códạng phương trình của dao động tửđiều hòa đã được giải trong Cơ học lượng tử. Trị riêng của nólà 1 E = (n + )hw s s 2 s ns -sốnguyên dương hoặc bằng 0. Khác với cổđiển, theo lýthuyết lượng tửnăng lượng chỉcóthể lấy các giátrị gián đoạn. Năng lượng hws cóthểxem làmột lượng tửnăng lượng của dao động với tần số ws. > phonon. Nghiệm Ys(Qs) ứng với năng lượng Es biểu thị cho trạng thái có ns phonon trong dao động chuẩn thứs.
17. § Phonon được mô tảbởi các bósóng chuyển động trong mạng. Tính chất của các bósóng đórất giống tính chất của các hạt cổ điển vìcóthểgán cho nónăng lượng, xung lượng vàvận tốc. Năng lượng của phonon Ep = hws Chuẩn xung lượng của phonon Pp = hqs § Tương tác giữa 2 phonon hoặc giữa phonon vàelectron được xem nhưsựtán xạgiữa hai hạt. § Phonontuân theo phân bốBose -Einstein