Bài giảng Cơ sở Vật lý chất rắn - Bài 5: Khí electron tự do trong kim loại - Lê Khắc Bình

Nội dung text: Bài giảng Cơ sở Vật lý chất rắn - Bài 5: Khí electron tự do trong kim loại - Lê Khắc Bình

1. Bài 5 KhKhíí eleeleccttrroonn ttựự ddoo ttrroonngg kkiimm loaloạiïi
2. Môâ hình cổå điểån vềà khí điệän tử củả Drude Cácelectron tựdo trong kim loại được xem nhưcác hạt của một chất khívàdo đó, cóthểdùng thuyết động học phân tửđểmô tả tính chất của nóvới các giảthiết cơ bản sau: •các electron trong quátrình chuyển động luôn luôn chịu va chạm • giữa các va chạm electron chuyển động theo các định luật củaNewton • thời gianbay tựdo trung bình t của các electron không phụthuộc vào vị trívàvận tốc của electron • va chạm xẩy ra tức thời làm thay đổi đột ngột vận tốc của electron vàlàcơ chếchính làm cho các electron cân bằng nhiệt với môi trường xung quanh hoặc trởlại trạng thái cân bằng khi thôi tác dụng ngoại lực.
3. E Khi không cóđiện trường, các Khi cóđiện trường : electron chuyển động nhanh 1. Vẫn cóchuyển động hỗn loạn vàthường xuyên thay đổi 2. Thêm chuyển động trung bình có chiều. hướng theo phương của điện trường
4. Phương trình chuyển động cóhướng của electron códạng r dv r 1 r m = -eE - mv dt t Nghiệm của phương trình này với điều kiệnban đầuv(0) = 0 là r r eEt t v = - (1- exp- ) m t Khi các lực tác dụng lên electron ( lực điện vàlựcma sát) bù trừnhau thìelectron chuyển động đều với vận tốc không đổi v r d r eE v = - t d m Vận tốc này cóthểđánh giátừđịnh nghĩa của mật độdòng điện j = -n e vd trong đón lànồng độelectron . 2 22 -3 -3 Với j ~ 1 A/cm , n ~ 10 cm thìvd~ 10 cm/s.
5. s r s r kim 107 10-4 kim 107 10-4 Độdẫn điện s loại (Wm)-1 Wm loại (Wm)-1 Wm vàđiện trở Li 1,07 9,32 Fe 1,02 9,8 suất r của kim Na 2,11 4,75 Ru 1,35 7,4 K 1,39 7,19 Os 1,10 9,1 loại ở295 K. Rb 0,80 12,5 Co 1,72 5,8 Cs 0,50 20,0 Rh 2,08 4,8 Be 3,08 3,25 Ir 1,96 5,1 Mg 2,33 4,30 Ni 1,43 7,0 Ca 2,78 3,6 Pd 0,95 10,5 Sr 0,47 21,5 Pt 0,96 10,4 Ba 0,26 39 Cu 5,88 1,70 Sc 0,21 46,8 Ag 6,21 1,61 Y 0,17 58,5 Au 4,55 2,20 La 0,13 79 Zn 1,69 5,92 Ti 0,23 43,1 Cd 1,38 7,27 Zr 0,24 42,4 Hg (lỏng) 0,10 95,9 Hf 0,33 30,6 Al 3,65 2,74 Cr 0,78 12,9 Ga 0,67 14,85 Mo 1,89 5,3 In 1,14 8,75 W 1,89 5,3 Tl 0,61 16,4 Mn 0,072 139 Sn (trắng) 0,91 11,0 Tc 0,7 14 Pb 0,48 21,0 Re 0,54 18,6 Bi 0,086 116 Po 0,22 46
6. Thời gian hồi phục Giảthửsau khielectron đã đạt được vận tốc dừng vd ta ngắt điện trường. Dotán xạvới mạng tinh thể,vận tốc đógiảm dần vàkhí electrondần trởlại trạng thái cân bằng.Quátrình trởvềtrạng tháibanđầu sau khi bị làm lệch khỏi trạng thái đóđược gọi là sựhồi phục. r dv 1 r Phương trình chuyển động códạng m = - mv dt t Nghiệm với điều kiện ban đầu t = 0 , v = vd v(t) = vd exp (-t/t) càng nhỏthìhệnhiễu loạn trởlại cân bằng càng nhanh. t -thời gian màsau đóvdgiảm đie = 2,718 lần, được gọi là thời gian hồi phục.
7. Định luật Ohm Trongđiệntrường, electron cóhai loại vận tốc: vT vàvd. Vìvd<< vT nên chuyển động cóhướng của tập thểelectron không ảnh hưởng đáng kểđến thời gian bay tựdo t vàdo đóđộ dẫn điện s ne2t s = m nói chung không phụthuộc điện trường ngoàiE : trong các kim loại cósựphụthuộc tuyến tính giữajvàE Đóchínhlànộidung củaĐịnh luậtOhm.
8. 33)) SSựự ddaẫnãn nnhhieiệätt cucủûaa khkhíí eelleeccttrroonn Electron trong kim loại không những làcác hạt tải dòng màcòn làhạt tải nhiệt khi cóchênh lệch nhiệt độ. cómối liên hệgiữa độdẫn điện s vàhệsốdẫn nhiệtK do electron . Mối quan hệđóđã được Wiedemann vàFranz thiết lập bằng thực nghiệm vàbằng lýthuyết bởiL. Lorentz. Sựphụthuộc của hệsốdẫn nhiệtKvào độdẫn điện s của một sốkim loại ở200C. Định luật Wiedemann–Franz : K = LT s L làmột hằng sốbằng2,3. 10-8 ( watt.W / độ2 )
9. Aùp dụng thuyết động học phân tử, hệsốdẫn nhiệt cuảkhí electron trong kim loại 1 1 3 1 K = cvL = ( nk )(v )(v t ) = nk v2t 3 3 2 B T T 2 B T Kết hợp với biểu thức của độdẫn điệnta cótỷsố 1 nk v2t K B T 3 k = 2 = ( B )2T s ne2t 2 e m Vếphải tỷlệvớiT. Hệsốtỷlệchỉphụthuộc vào các hằng sốvũ trụkBvàe vàdo đóphương trình này códạng của định luật Wiedemann-Franz với 3 k L = ( B )2 được gọi là sốLorentz. 2 e Thay sốcủa các hằng sốnày vào, ta tính đượcL = 1,11.10-8 (W.W / K2 ) tương đối phùhợp với thực nghiệm.
10. II.II. LyLýù tthuyehuyếátt vevềà khkhíí eleeleccttroronn ttựự ddoo cucủûaa SoSommmmerfeerfeldld 1. Mô hình của Sommerfeld § cácelectrontựdo trong kim loại tạo nên khíelectron . § Các electron tuân theo phân bốFermi–Dirac § Cácelectron chuyển động tựdo trong kim loại nhưng không vượt ra khỏi nó: electronđược xem làchuyển động tựdo bên trong một hốthếcóbềrộng bằng kích thước dài của tinh thể. § Trạng thái của electron được mô tảbởi phương trình Schrodinger h2 - ( )Dy = Ey 2m
11. Xét trường hợp đơn giản: tinh thểđẳng hướng códạng một khối lập phương cạnhL. r r r Từđiều kiện biên vòng y (r + L) =y (r ) suy ra exp (iki L) = 1 = exp (i2pn) Trong tinh thểhữu hạn, vec-tơ sóng lấy các giátrị gián đoạn 2p k = n i L i i = x, y, z ; ni = 0, ± 1, ± 2, ± 3, . . . vàdo đónăng lượng cũng trởnên gián đoạn h2k 2 h2 (k 2 + k 2 + k 2 ) E = = x y z 2m 2m
12. h2k2 VìgiữaE vàk cóhệthức E = 2m cóthểsuy ra sốtrạng tháiNEcónăng lượngE nằm trong khoảng từ0 đếnE bằng V 2m 3 3 N = ( ) 2 E 2 E 6p 2 h2 Suy ra h2 2p 3N 3N E = ( )2 ( E )2/3 = E ( E )2/3 2m L 4p 1 4p Nếu biểu diễnE theoNEtừcông thức này ta được đườngcong liên tục nhưởhìnhvẽtrước.
13. Hàm phân bốFermi -Dirac 1 fE()= E- E exp F+ 1 kT
14. Biếtn , cóthểtính kF . Với giátrị của kF cóthểtính vF , EF vàTFtheo các công thức h2k 2 E = F F 2m EF TF = kB hk v = F F m Kết quảcho ởBảng sau.
15. 3) ÁpÙ dụnï g lýù thuyếát Sommerfeld :: Nhiệtdungcủa khíelectron Theo lýthuyết của Sommerfeld, chỉcác electrongần mức Fermi mới tham gia vào quátrình trao đổi nhiệt. Hàm phân bốFermi-Dirac ởnhiệt độT và0oK códạng như ởhình. kT
16. 1 1 2 N h2 N k = (3p 2 ) 3 = (3p 2n) 3 E = (3p 2 ) 3 F V F 2m V 2 2m V 3N 3 / 2 h 3 / 2 2 N ( )3 / 2 = EF = ( ) (3p ) 2 2 3 / 2 2m V h p EF V 2m 3 1 g(E ) = ( ) 2 E 2 F 4p 2 h2. F 3N g(EF ) = » sốelectron dẫn/ năng lượng Fermi 4EF
17. § Đúng hơn, phải dùngf(E) làhàm phân bốFermi-Dirac. Khi đó, tính toán phức tạp hơn sẽ cho kết quả: p 2 T C = NkB 2 TF Thay các giátrị đã biết vào, nhiệtdungcủa mộtmolkhíelectron p 2 N k 2 z C = A B T = gT 2EF p 2 N k 2 z g = A B 2EF z làhóa trị của kim loại. Theo lýthuyết Sommerfeld : nhiệtdung của khíelectron phụ thuộc tuyến tính vào nhiệt độvàcóđộlớn tương đối phùhợp với thực nghiệm.
18. 2 ne t F v Tính độdẫn điện s = m tF cóýnghĩa thời gianbaytựdotrung bình các electron ởgần mức Fermi. v Tính sốLorentz trong định luật Wiedemann-Franz K p 2 k WW L = = ( B )2 = 2,45.10 -8 ( ) sT 3 e độ 2 Kết quảnày hoàn toàn phùhợp với giátrị đo được củaLcho nhiều kim loại trong khoảng nhiệt độtừ0ođến100o C . 2,3. 10-8 ( watt.W / độ2 ) Ởnhiệt độthấp( T << Q D ),sốLorentz cóxu hướng giảm. Với kim loại đồng sạch,gần15 Kgiátrị đo được củaLvào khoảng2.10-9û ( WW/độ2 ).Sựsai khác này đòi hỏi phải tính đến sựkhác nhau của thời gian hồi phục t trong các quátrình nhiệt và điện.