Bài giảng Thủy lực 2 - Chương 7: Dòng không ổn định trong kênh hở - Nguyễn Thị Bảy

Nội dung text: Bài giảng Thủy lực 2 - Chương 7: Dòng không ổn định trong kênh hở - Nguyễn Thị Bảy

1. TS. Nguyễn Thị Bảy - ĐHBK tp HCM -Bài Giảng Thủy Lực CHƯƠNG 7 DÒNG KHÔNG ỔN ĐỊNH TRONG KÊNH HỞ DÒNG KHÔNG ỔN ĐỊNH Các đặc trưng thủy lực của dòng chảy (Q,V,A, ) thay đổi theo thời gian. VD: dòng chảy trong sông bị ảnh hưởng bởi thủy triều Giới hạn trong chương: Các đặc trưng thủy lực thay đổi chậm dần theo thời gian I. HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CƠ BẢN Hệ phương trình Saint Venant Phương trình động lượng : Phương trình liên tục : Cơ sở lý thuyết: Cơ sở lý thuyết: Phương trình động lượng được xây Phương trình liên tục được dựng dựa trên một trong hai cơ sở sau: thiết lập dựa trên định luật •* Biến thiên năng lượng của một đoạn bảo toàn khối lượng trong dòng chảy nằm giữa hai mặt cắt không gian vô cùng bé nằm giữa hai mặt cắt ướt kênh •* Phương trình biến thiên động lượng trên phương s cho thể tích nước trong đoạn kênh DÒNG KHÔNG ỔN ĐỊNH 1
2. TS. Nguyễn Thị Bảy - ĐHBK tp HCM -Bài Giảng Thủy Lực 1 Đường 2 năng, đ ộ dốc J, dòng ođ h f = Jdx αV 2 Đư 1 ∂V ờng n h = dx ăng, a 2g độ dốc g ∂t J+J ; d a òng kođ Đường αV2 ⎛ ⎛ αV2 ⎞ ⎞ mặt n ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ước, đ +⎜∂⎜ ⎟ / ∂x⎟dx ộ dốc: 2g ⎝ 2g ⎠ Js ⎝ ⎠ h h + (∂h / ∂x)dx Đáy kênh , độ dốc: i=sin(θ) idx θ dx a a + (∂a / ∂x)dx chuẩn 1 2 Cân bằng năng lượng cho 2 mặt cắt (1-1) và (2-2): αV2 ∂a ∂h αV2 ⎛ ⎛ αV2 ⎞ ⎞ 1 ∂V ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ a + h + = a + dx + h + dx + + ⎜∂⎜ ⎟ / ∂x⎟dx + dx + Jdx 2g ∂x ∂x 2g ⎝ ⎝ 2g ⎠ ⎠ g ∂t 2 ∂h αV ∂V 1 ∂V ∂a Suy ra: ∂ ⎛ αV ⎞ 1 ∂V + + = − − J ⎜a + h + ⎟ = −J − hay: ∂x ⎝ 2g ⎠ g ∂t ∂x g ∂x g ∂t ∂x ∂a da ∂h αV ∂V 1 ∂V Kênh lăng trụ, đáy cứng = = −i + + = i − J ∂x dx ∂x g ∂x g ∂t J trong phương trình Q2 Q2 V2 V V ∂h V αV ∂V α ∂V được tính gần đúng J = = = = 0 2 2 2 2 2 i − = V 2 + + như dòng đều ổn định: K A C R C R C R ∂x C R g ∂x g ∂t ∂z ∂(h+a) ∂h ∂a ∂h α ∂V ∂z αV ∂V V V Nếu thay: = = + = −i 0 + + + = 0 ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x g ∂t ∂x g ∂x C2R Với α0 – hệ số hiệu chỉnh gia tốc cục bộ. Hay dạng của P. tr. ĐL: α ∂Q ∂z α ∂ ⎛ Q 2 ⎞ Q Q 0 + + ⎜ ⎟ + = 0 ⎜ ⎟ 2 2 gA ∂t ∂x gA ∂x ⎝ A ⎠ A C R thành phần Biến thành gia tốc thiên phần đối thành quán tính mực lưu của phần ma cục bộ theo nước dọc dòng sát đáy thời gian kênh chảy DÒNG KHÔNG ỔN ĐỊNH 3
3. TS. Nguyễn Thị Bảy - ĐHBK tp HCM -Bài Giảng Thủy Lực p.tr đường dV g dh dx x + = 0 c =+ ξ =−tconst = đặc trưng 0 c dt c 0 dt có miền xác định tương dt 0 thuận ứng là hai họ đường cong mô tả bởi 2 dV g dh phương trình vi phân : dx x p.tr. đường − = 0 c =− η =+t = const đặc trưng dt c dt 0 c 0 dt 0 nghịch t gx⎛⎞ η ξ VhFt+=0 ⎜⎟ −= const cc00⎝⎠ M Suy ra: gx⎛⎞ T Vhft−=+=0 ⎜⎟ const N D cc00⎝⎠ t0 0 L x Lưới đường đặc trưng gg h T + h D c 0 VT − VD Trên đường đặc trưng thuận: VhVhMMTT+=+ h M = + cc00 2 g 2 Suy ra: gg Trên đường đặc trưng nghịch: g h T − h D VT + VD VhVhMMDD−=− V = + cc M 00 c0 2 2 và: Vft= Điều kiện biên : hai điều kiện: hftD = ( ) T () Vfx Điều kiện ban đầu : hai điều kiện: hfxt0 = ( ) và: t0 = () Thông thường cho hto=htĩnh; Vto=0 Số Froude và sự truyền sóng. 22 2⎛⎞ 2B 2 2 gA VccV−=⎜⎟ −= 1 cFr1() − Với: c = -tốc độ riêng của sóng ⎝⎠gA B Suy ra: Trườnghợpdòngchảyêm: Trườnghợpdòngchảyxiết: 2 Fr ⇒ 1 V > c Sóng truyền cả về hai phía Sóng chỉ truyền về cuối kênh nếu V>0 + dx dx + Các đường Đ.tr thuận = V + c > 0 Các đường Đ.tr thuận = V + c > 0 dt đồng biến theo t đồng biến theo t dt − dx dx − Các đường Đ.tr nghịch = V − c Vc0 dt nghịch biến theo t đồng biến theo t dt t t Fr 1 Cần hai điều (v>0) Cần hai điều kiện biên: một ở kiện biên h và đầu kênh, một ở V ở đầu kênh cuối kênh (nếu V>0 ) 0 Lx 0 L x DÒNG KHÔNG ỔN ĐỊNH 5
4. TS. Nguyễn Thị Bảy - ĐHBK tp HCM -Bài Giảng Thủy Lực Ví du 2: (GBT4-5-6-7.sls-bài 3 Trong phương pháp đường đặc trưng, các điểm tính toán cho như hình bên. Giả thiết rằng tốc độ truyền sóng không đổi là Co = 10 m/s. Điều kiện ban đầu và điều kiện biên cho như sau :t = 0 Ỵ ở điểm P : độ sâu mực nước h = 10,5 m; Vận tốc V = 1,1 m/ Ỵ ở điểm M : độ sâu mực nước h = 10,0 m;Vận tốc V = 0,9 m/s Tính độ sâu mực nước điểm N ở thời điểm 20’ Thời điểm Biên Thượng lưu Biên hạ lưu (phút) Vận tốc (m/s) Độ sâu mực nước (m) 10 1,0 t 9,5 Trên đường đặc trưng nghịch AP: N g g c0 t=20’ VA − hA = VP − hP ⇒ hA = (VA − VP ) + hP = 10.398m c0 c0 g η ξ1 2 Trên đường đặc trưng thuận BM: t=10’ B A g g g V + h = V + h ⇒ V = V + (h −h ) = 1.391m/s η 1 B B M M B M M B ξ2 c0 c0 c0 t=0 s O Từ hai đường đặc trưng thuận và nghịch NA và NB: P M L g g VA − VB c0 h A + hB VA + h A = VN + h N hN = ( ) + = 9.75m c0 c0 2 g 2 g g ⇒ g (hA − hB ) VA + VB VN − h N = VB − hB VN = + = 1.636m / s c0 c0 c0 2 2 Ví du 3: (GBT4-5-6-7.sls-bài 5 Kênh hình thang có chiều rộng đáy b=6m, hệ số mái dốc là m=1, được nối với một công trình ở thượng lưu và một dòng sông ở hạ lưu cách công trình 600m. Dòng chảy trong kênh là dòng đều có chiều sâu nước là h=2m và vận tốc V=1m/s. Công trình đột ngột tháo nước tại thời điểm t = 0 và giữ không đổi. Cũng tại thời điểm t = 0 trên mực nước sông ở hạ lưu bị dao động do thủy triều. Điểm P cách công trình ở thượng lưu 300m bắt đầu bị xáo động tại thời điểm t bằng bao nhiêu? Giải: M 80 Vẽ đường đặc trưng thuận qua gốc toạ độ 60 (0;0) và nghịch qua điểm cuối kênh (L,0), ta có các phương trình lần lượt là: 40 x 0 x 20 t = ξ + ;0 = ξ + ⇒ t = 0 c c c O L x0 x0 x0 x − x t = η − ;0 = η− L ⇒ η = L ⇒ t = L 0 100 200 300 400 500 600 c0 c0 c0 c0 Gọi M là giao điểm, ta có toạ độ của M được xác định như sau : xM xL − xM xM xL − xM xL 300 tM = ;tM = ⇒ = ⇒ xM = = 300m;⇒ tM = = 75.72s c0 c0 c0 c0 2 c0 *Như vậy , nếu điểm P nằm ở vị trí xP=300m thì sẽ bắt đầu bị xáo động lúc t=75.72s. *Trong trường hợp điểm P nằm ở nửa đầu kênh, thì sẽ bị ảnh hưởng bởi sóng ở đầu kênh trước, nên ta phải dùng ph.tr đường d.tr thuận OM để tìm thời điểm mà P bắt đầu xáo động. 150 Ví dụ x =150m thì thời điểm mà P bắt đầu xáo động sẽ là: t = = 37.86s P c *Trong trường hợp điểm P nằm ở nửa cuối kênh, thì sẽ bị ảnh hưởng0 bởi sóng ở cuối kênh trước, nên ta phải dùng ph.tr đường d.tr thuận LM để tìm thời điểm mà P bắt đầu xáo động. 600 − 400 Ví dụ xP=400m thì thời điểm mà P bắt đầu xáo động sẽ là: t = = 50.48s c0 DÒNG KHÔNG ỔN ĐỊNH 7
5. TS. Nguyễn Thị Bảy - ĐHBK tp HCM -Bài Giảng Thủy Lực IV. GIẢI HỆ PT ST.VENANT THEO SƠ ĐỒ SAI PHÂN HIỆN ∂z ∂(AV) α 0 ∂V αV ∂V ∂z V V B + = 0 + + + = 0 ∂t ∂x g ∂t g ∂x ∂x C2 R 12. . . N-1 N Kênh được chia thành các đoạn tính, bởi các mặt L s cắt. Vận tốc được tính tại các mặt cắt còn mực 0 j-1/2 j+1/2 nước được tính ở tâm của đoạn j-1 jj+1 ∆ s'j n+1 ⎛⎞∂z zzjj++1/2− 1/2 ⎛⎞∂ ()AV Aj++11VAjj −Vj = ⎜⎟BB= j+1/2 ⎜⎟ ∂∆xx ∆ s j ∆ s ⎝⎠∂∆ttj+1/2 ⎝⎠j+1/2 j+1 j+1 n+1 ∂z z n+1 − z n+1 ⎛ ∂V ⎞ Vj − Vj j j+1 / 2 j−1/ 2 = = ⎜ ⎟ ∂x ∆x' ⎝ ∂t ⎠ j ∆t j ⎡⎤VV−− V V ⎛⎞ααVV∂ jj−+11 j j V V 1 n+1 DVjjjjj==++−⎜⎟⎢⎥ V V V V = 2V V − V V gx∂∆∆2 g() x() x 2 2 ( j j j j ) ⎝⎠j ⎣⎦⎢⎥jj+1 C R C R A V − A V Sau một số biến đổi, ta suy ra: n+1 ∆t j+1 j+1 j j z j+1 / 2 = z j+1 / 2 + B j+1 / 2 ∆s j+1 Vj Vj − J j + 2 − DVj n+1 C R Vj = Vj + α 2 Vj 0 + g∆t C 2 R Điều kiện CFL (Courant-Friedrichs-Lewy): ∆≤txVcmin( ∆ ± ) IV. GIẢI HỆ PT ST.VENANT THEO SƠ ĐỒ SAI PHÂN ẨN : sơ đồ Preissmann ∂z * ∆z j+1 + ∆z j B = Bj+1 / 2 n ∂t 2∆t ∂Q ⎡ ∆Qj+1 − ∆Qj Q j+1 − Qj ⎤ = ⎢θ + ⎥ ∆t ∂x ⎣⎢ ∆x ∆x ⎦⎥ θ.∆t ∂Q ∆Q + ∆Q n-1 = j+1 j Với n+1 n ∂t 2∆t ∆f j = f j − f j ∆x/2 ∂z ⎡ ∆z j+1 − ∆z j z j+1 − z j ⎤ gA = gA* θ + Vị trí ∆x j+1/ 2 ⎢ ⎥ j ∂x ⎣ ∆x ∆x ⎦ sai phân j+1 ∂ ⎛ Q2 ⎞ 1 ⎜ ⎟ * * Sơ đồ sai phân ⎜ ⎟ = []Vj+1 ()()θ∆Q j+1 + Q j+1 − Vj θ∆Qj + Q j ∂x ⎝ A ⎠ ∆x 2 Q Q g()n j+1 / 2 ⎡θ 1 ⎤ gA = V * . ∆Q + ∆Q + Q + Q 2 4 / 3 j+1 / 2 ⎢ ()j+1 j ()j+1 j ⎥ K ()R j+1 / 2 ⎣2 2 ⎦ Thế các biểu thức trên vào hệ p.tr St-V ta thu được: ⎪⎧ ∆z j − f1∆Q j + ∆z j+1 + f1∆Q j+1 = f 2 ⎨ ()j = 1, 2, N − 1 ⎩⎪− f 4 ∆z j + f 3 ∆Q j + f 4 ∆z j+1 + f 5 ∆Q j+1 = f 6 Khử ∆Qj+1 ở phương trình thứ nhất và khử ∆zj ở phương trình thứ hai của hệ ptr trên ta được: ⎪⎧ a1 j ∆z j + b1j ∆Q j + c1j ∆z j+1 = d1j ⎨ ()j = 1, 2, N − 1 ⎩⎪a2 j ∆Q j + b2 j ∆z j+1 + c2 j ∆Q j+1 = d2 j Hệ phương trình trên có dạng hệ phương trình ba đường chéo chính, ta giải bằng phương pháp truy đuổi DÒNG KHÔNG ỔN ĐỊNH 9