Bài giảng Vật lý 2 - Chương VI: Cơ học lượng tử

Nội dung text: Bài giảng Vật lý 2 - Chương VI: Cơ học lượng tử

1. CHƯƠNG VI CƠ HỌC LƯỢNG TỬ
2. I. Lưỡng tính Sóng – Hạt của vật chất. 1. Lưỡng tính sóng hạt của AS Lưỡng tính sóng hạt của AS đã được Einstein nêu lên trong trong thuyết lượng tử AS.Theo thuyết này, ánh sáng cấu tạo bởi các hạt photon, mỗi hạt c mang năng lượng:  h  h   h Và động lượng: p mc c  Từ các biểu thức này ta thấy rõ những đại lượng đặc trưng cho tính chất hạt (,)  p và cho tính chất sóng (,)   của AS liên hệ trực tiếp với nhau
3. Mà : d rcos r . n n là vecto pháp tuyến đơn vị nằm theo phương truyền sóng AS Như vậy biểu thức dao động ở trên có thể viết dưới dạng: r. n acos 2 (  t )  gọi là hàm sóng phẳng đơn sắc của ánh sáng. Trong phép biểu diễn phức hàm này có dạng: r. n 2 i  t  ae 
4. • Khi biểu diễn theo vectơ sóng k với: 2  k n p  k  Khi đó hàm sóng phẳng đơn sắc còn có thể viết: i   t p.(.) r i t k r  ae ae  2 i(.) h t k r i  t k. r aeh ae
5. 3.Giả thuyết De Broglie Trên cơ sở lưỡng tính sóng hạt của ánh sáng, De Broglie đã suy rộng tính chất đó cho mọi đối tượng vật chất khác. Một vi hạt tự do có năng lượng xác định, động lượng xác định tương ứng với một sóng phẳng đơn sắc xác định. Năng lượng và động lượng của vi hạt liên hệ với tần số và bước sóng của sóng theo các hệ thức: E h 2     h 2   p p  k  
6. 4.Thực nghiệm xác nhận giả thuyết De Broglie. a)Thí nghiệm nhiễu xạ điện tử do Davisson và Germer thực hiện năm 1927. Hai ông cho một chùm điện tử có năng lượng 54 eV đập vào một2 đơn tinh thể Ni và nghiên cứu sự 1  phụ thuộc vào góc phản xạ của cường độ chùm tia phản xạ. Các ông đã thu được bức tranh nhiễu xạ điện tử. Bước sóng tính theo công thức về cực đại nhiễu xạ Vulf-Bragg rất phù hợp với bước sóng De Broglie.
7. b)Thí nghiệm 2 Cho một chùm electron qua một khe hẹp. Sau khi qua khe hẹp, các electron bị nhiễu xạ theo mọi phương và trên màn huỳnh quang cũng thu được các vân nhiễu xạ giống như trường e hợp nhiễu xạ của chùm sáng qua khe hẹp. Kết quả thí nghiệm không thay đổi nếu ta cho lần lượt các electron qua khe trong thời gian dài.
8. 2. Ý nghĩa xác xuất của sóng De Broglie: Trước khi có giả thuyết De Broglie, người ta chỉ biết hai loại sóng cơ và sóng điện từ. Hàm sóng mô tả các các loại sóng này biểu diễn sự biến thiên theo thời gian và không gian của các đại lượng đặc trưng cho chúng. Ví dụ độ lệch khỏi vị trí cân bằng trong sóng cơ, hay vecto cường độ điện trường, từ trường trong sóng điện từ. Sóng De Broglie không phải là sóng cơ và sóng điện từ. Để hiểu được ý nghĩa vật lý của sóng De Broglie, ta trở lại lưỡng tính sóng hạt của ánh sáng.
9. • Ý nghĩa xác xuất đối với các hạt vi mô Dựa trên kết quả của thí nghiệm tương tự về nhiễu xạ các hạt vi mô trên màng kim loại. Max Born đã đưa ra giả thuyết cho rằng trong biểu thức biểu diễn sóng De Broglie, bình phương biên độ sóng tại một vị trí nào đó trong không gian sẽ tỉ lệ với xác xuất tìm thấy hạt tại vị trí đó. 2  .  *gọi là mật độ xác xuất (xác xuất thấy hạt trong một đơn vị thể tích). Như vậy hàm sóng  không mô tả một sóng thực nào trong không gian như sóng cơ, sóng điện từ trong vật lý cổ điển mà chỉ cho phép ta tính xác suất tìm hạt tại một trạng thái nào đó.
10. • Cần chú ý một điểm khác nhau giữa cơ học lượng tử và vật lý phân tử. Trong vật lý phân tử, qui luật thống kê có quan hệ với tập hợp nhiều hạt (phân tử, nguyên tử) còn từng hạt riêng rẽ không có tính thống kê. Nhưng trong Cơ học lượng tử qui luật thống kê có quan hệ ngay cả với từng vi hạt riêng biệt, cũng như đối với tập hợp hạt.
11. Ví dụ: Hàm sóng của điện tử trong nguyên tử hydro ở trạng thái cơ bản có dạng :  ()r Ae r/ a0 -10 trong đó a0 = 0,529. 10 m là bán kính quỹ đạo Bohr thứ nhất. Xác định A qua điều kiện chuẩn hóa.
12. 3)Sóng phẳng và vận tốc pha: Xét một sóng đơn sắc truyền dọc theo trục x: i() t kx   oe Đại lượng:  t kx gọi là pha của sóng Giả sử tại một điểm x nào đó pha có giá trị xác định . Tọa độ của điểm này được xác định từ phương trình: t kx Theo thời gian điểm có pha dịch chuyển với một vận tốc vf được xác định từ điều kiện không đối của pha, được gọi là vận tốc pha
13. Theo TTĐ vận tốc hạt v của hạt không thể lớn hơn c, do vận tốc pha vf lớn hơn c. Điều này chứng tỏ vận tốc pha vf của sóng De Broglie không đặc trưng cho tốc độ truyền hạt, truyền năng lượng hay truyền tín hiệu. Chú ý: đối với hạt cổ điển chuyển động với v << c, thì : E mv2 v v f p2 mv 2 E mc2 Đối với photon ta có: v c f p mc Vậy vận tốc pha của sóng De Broglie có thể lớn hơn, bằng hoặc nhỏ hơn vận tốc AS
14. 4)Vận tốc nhóm Như vậy làm thế nào để duy trì việc mô tả tính chất sóng cùng với tính chất hạt? Để giải quyết vấn đề này, CHLT cho rằng chuyển động của các hạt không phải ứng với các sóng đơn sắc riêng biệt, mà là ứng với một tập hợp sóng có các tần số gần nhau gọi là bó sóng. Nếu tại một điểm nào đó mà pha của các sóng trong bó sóng gần trùng nhau thì sóng tổng hợp sẽ cực đại, điểm này chính là tâm của bó sóng, năng lượng của sóng hầu như tập trung ở tâm sóng.
15. Vận tốc nhóm được xác định từ điều kiện là tại tâm sóng pha của các sóng đều trùng nhau mà không phụ thuộc vào k d() t kx d  0 x t v t dk dk g Vậy vận tốc nhóm : d v g dk
16. IV. Hệ thức bất định Heisenberg Trong vật lý cổ điển, vị trí ban đầu của hạt và vận tốc ban đầu ( hay động lượng ban đầu) của hạt có thể đo với độ chính xác cao tuỳ ý và động tác đo hầu như không có ảnh hưởng gì đến chuyển động của hạt. Khi đó quỹ đạo của hạt được sẽ được xác định một cách chính xác từ định luật Newton. Tuy nhiên nếu áp dụng quan niệm này cho các vi hạt như electron hay photon thì tình hình không còn giống như bức tranh cổ điển.
17. b) ) Hệ thức giữa độ bất định về năng lượng và thời gian sống của vi hạt:  E. t 2 Ý nghĩa: nếu năng lượng của hệ ở một trạng thái nào đó càng bất định thì thời gian để hệ tồn tại ở trạng thái đó càng ngắn và ngược lại. Tóm lại, trạng thái có năng lượng bất định là trạng thái không bền, còn trạng thái có năng lượng xác định là trạng thái bền.
18. • Độ bất định về động lượng h h p psin x  b b x. px h x φ • Như vậy quá trình đo phù hợp dẫn tới những độ bất định phù hợp với hệ thức bất định Heisenberg
19. Ví dụ: Tính độ bất định về toạ độ ∆x của electron trong nguyên tử hidro biết rằng vận tốc của electron v = 1,5.106 m/s và độ bất định về vận tốc ∆v = 10% của v. So sánh kết quả tìm được với đường kính d của quỹ đạo Bo thứ nhất và xét xem có thể áp dụng khái niệm quỹ đạo cho trường hợp kể trên được không?
20. V. Phương trình Schroedinger: Cũng như PT Newton trong cơ học cổ điển, ta không thể dẫn ra PT Schroedinger mà chỉ có thể giả thiết nó mà thôi. PT Schroedinger tổng quát (đối với một vi hạt)  (,)r t 2 i U  (,) r t t 2 m 2  2  2 : là toán tử Laplace x2  y 2  z 2 trong hệ toạ độ Descartes
21. • Trong trường hợp vi hạt chuyển động tự do U( r ) 0 nên: 2m (r ) E  ( r ) 0 2 • Đây là phương trình Schroedinger cho vi hạt chuyển động tự do.
22. Phương trình Schroedinger trong giếng thế d2 2 m E 0 dx2 2 2m d 2 Đặt k2 E 0 k 2 0 2dx 2 Nghiệm của PT có dạng: (x) = Asin kx + Bcos kx (1)
23. Vì B = 0 nên A phải khác không (vì nếu A = 0 thì là một nghiệm tầm thường). n sinka 0 k ( n 1,2, ) Do đó : a Hằng số A được xác định từ ĐK chuẩn hóa của 2 hàm sóng: a  (x ) dx 1 0 a n 2 A2sin 2 dx 1 A 0 a a Vậy hàm sóng là: 2 n  x sin x n a a
24. • Mật độ xác xuất tìm hạt trong giếng 2 2 n x  x sin 2 n a a Ta nhận thấy khi : n = 1, XS tìm thấy hạt cực đại ở x = a/2 n =2 , XS tìm thấy hạt cực đại ở x = a/4 , 3a/4 . n = 3, XS tìm thấy hạt cực đại ở x = a/6, a/2, 5a/6.
25. 2.Hạt trong giếng thế vuông góc ba chiều có độ sâu vô cùng với các cạnh là a1, a2, a3 PT Schrodinger của hạt trong giếng: 2  2   2  2mE 2 2 2 2  0 x  y  z  Với các điều kiện biên ở thành giếng: (0,,)y z  (,,) a1 y z 0,  (,0,) x z  (, x a 2 ,) z 0, (x , y ,0)  ( x , y , a3 ) 0 Nghiệm của PT có dạng: Csin k1 x .sin k 2 y .sin k 3 z 2 2 2 2mE Trong đó: k k k 1 2 3 2
26. 3.Hiệu ứng đường ngầm Xét chuyển động của hạt trong trường có thế năng biến đổi như hình vẽ U 0khi x 0 miền I U 0 U U0 E khi0 x a miền II I II III 0 0 khi x a miền III x a Theo VL cổ điển một hạt ở trong vùng I có năng lượng toàn phần E < Uo thì không thể vượt qua hang rào thế vùng II để sang vùng III. Tuy nhiên do tính chất sóng của hạt vi mô, CHLT tiên đoán tồn tại một xác suất khác không tìm thấy hạt trong vùng III. Hiện tượng đó gọi là hiệu ứng đường ngầm.
27. Nghiệm của các PT này là: ik1 x ik 1 x 1 A 1 e B 1 e k2 x k 2 x  2 A 2 e B 2 e ik1()() x a ik 1 x a  3 A 3 e B 3 e
28. Hệ số truyền qua D được định nghĩa: 2 A3 D 2 A1 Từ các điều kiện biên: '' I(0)  II (0) ,  I (0)  II (0) '' II()(),()()a  III a  II a  III a
29. Vì 1 in 1 in và hầu hết các trường hợp có ý nghĩa thực tiễn thì k2 a > 1 nên AB 2 2 . Do đó từ hai phương trình đầu ta được: 1 1 1 in k2 a 2iA1 i A 2 i A 3 e n n 2 2 2 2 1 1 n 2k2 a 4A1 1 2 A 3 e n 4 2 A 16n2 3 2 (1 n2 ) 2 A1
30. • Từ biểu thức này ta thấy mặc dù E < U0 ; D vẫn luôn khác không, nghĩa là vẫn có hạt xuyên qua rào. Thí dụ, đối với electron, chọn U0 – E =1,28 10-31 J ,ta có bảng biểu thị sự phụ thuộc của D vào khoảng cách a a(m) 10-10 1,5.10-10 2.10-10 5.10-10 D 0,1 0,03 0,008 5.10-7 Hệ số D đáng kể khi a nhỏ, nghĩa là hiệu ứng đường ngầm chỉ xảy ra rõ rệt trong kích thước vi mô
31. 4. Dao động tử điều hoà: Vi hạt chuyển động theo phương x, trong trường 1 thế U kx 2 được gọi là dao động tử điều hoà. 2 Lúc đó chuyển động của của hạt là một dao động điều hoà với tần số k  m Phương trình Schoedinger đối với dao động tử điều hoà: d22 m m  2 x 2 2 2 E  0 dx  2
32. Ví dụ: 1) Tính bước sóng kết hợp với một khối lượng 2kg chuyển động với vận tốc 25m/s. 2) Tính bước sóng kết hợp với nơtron có động năng 0,05eV.
33. 5) Giả sử ta có thể đo được động lượng của một hạt chính xác đến phần nghìn. Xác định độ bất định cực tiểu về vị trí của hạt: a) Nếu hạt có khối lượng 5mg và vận tốc 2m/s b) Hạt là electron có vận tốc 1,8.108 m/s
34. b) Khối lượng tương đối tính của electron m m 0 v2 1 c2 h1 v2 / c 2 x 3 4 10 m0 v 6,625.10 34 1 0,6 2 2,57.10 10 m 4 10 3 .9,1.10 31 .1,8.10 8
35. 6. Ta có: h h h  p p   2    h p 10 6 p 10 6   h h  p. x x 4 4 p 4 10 6 3000.10 10 0,023m 4 10 6
36. • Theo hệ thức bất định: h h E. t E 4 4 t hc hc EE    2 • Độ bất định cực tiểu về năng lượng của một trạng thái tương ứng với thời gian sống trung bình của trạng thái ở trạng thái kích thích  nên: hc h  2   4,24.10 9 s 2 4  4 c 
37. • Gọi λ0 và λ là bước sóng De Broglie tính theo cổ điển và theo tương đối tính h h 0 p0 m 0 v h h  p mv
38.  m1 T 0 1 2 2  m0v m 0 c 1 c2 0 TT  1 2 2 m0 c  m 0 c  1T 1 2  100m0 c 100