Bài giảng Vật lý chất rắn - Chương VI: Năng lượng của điện tử trong trường tuần hoàn của tinh thể - Lê Khắc Bình

Nội dung text: Bài giảng Vật lý chất rắn - Chương VI: Năng lượng của điện tử trong trường tuần hoàn của tinh thể - Lê Khắc Bình

1. CHƯƠNG VI NĂNG LƯỢNG CỦA ĐIỆN TỬ TRONG TRƯỜNG TUẦN HOÀN CỦA TINH THỂ
2. Không thể giải bài toán tổng quát và chính xác. Các phép gần đúng : ➢ Phép gần đúng đoạn nhiệt ➢ Phép gần đúng một electron A. PHÉP GẦN ĐÚNG ĐOẠN NHIỆT Coi các hạt nhân đứng yên khi xét chuyển động của các electron và coi các electron tạo ra một trường trung bình khi xét chuyển động của các hạt nhân → hàm sóng có thể viết được dưới dạng: (ri ,R ) = (R ).Y(ri ,R )
3. B. PHÉP GẦN ĐÚNG MỘT ĐIỆN TỬ KHÁI NIỆM VỀ TRƯỜNG TỰ HỢP Trường do các electron khác gây ra tại vị trí của electron thứ i 1 e2 i (ri ) =  2 2 j i rij  2 − i + i (ri ) + Vi (ri ) = Hi i 2m i Nghiệm của phương trình Schrodinger có thể viết: Y(ri ) = Y1(r1).Y2 (r2 ) =  Yi (ri ) i Suy ra hệ phương trình độc lập dạng: 2  2 − i + Ui (ri ) Yi (ri ) = EiYi (ri ) 2m U(ri ) = i (ri ) + Vi (ri )
4. r + n HÀM SÓNG  CỦA ELECTRON TRONG TRƯỜNG THẾ TUẦN HOÀN ˆ Gọi T(n) là toán tử tịnh tiến. Ta có thể viết hàm Bloch dưới dạng ˆtoán tử: T(n )U( r) = U(r + n) Như vậy các vị trí r và r + ntương đương nhau về phương diện vật lí Hàm sóng có thể viết dưới dạng: Hàm sóng của electron trong trường thế tuần hoàn có dạng Y(r + n) = CnY(r) Cn : thừa số.
5. Mà : HTY(r) = HY(r + n) = eiknHY(r) = THY(r) Toán tử và giao hoán với nhau → Chúng có chung hệ hàm riêng. e−ik(r+n)Y(r + n) = e−ikr .e−ikn .eikn Y(r) = e−ikr .Y(r) −ikr Đặt uk (r) = e .Y(r) −ik(r+n) uk (r + n) = e .Y(r + n) −ikr −ikn ikn = e .e .e Y(r) = uk (r) Uk (r + R) = Uk (r) = hàmBloch
6. NĂNG LƯỢNG ELECTRON TRONG TINH THỂ Hàm sóng là một hàm của k nên trị riêng E của Hamiltonian (năng lượng của hệ) cũng phụ thuộc vào k : E = E(k) TÍNH CHẤT CỦA HÀM E = E(k) ❖ E là một hàm chẵn của k : E(-k) = E(k) Thay hàm Bloch vào phương trình Schrodinger ta có: 2  2 − ( + ik) + U(r) uk (r) = E(k)uk (r) 2m
7. ❖E(k) là một hàm tuần hoàn với chu kỳ của mạng đảo. E(k + G) = E(k) Y (r + n) = eiknY (r) k k Thay k'= k + G G = l1b1 + l2b2 + l3b3 eik'n = ei(k+G)n = eikn .eiGn = eikn a .b = 2  i j ij G.n = (n1h + n2k + n3l).2 = 2 n , với n Z eiG.n =1 eik'n = ei(k+G)n = eikn .eiGn = eikn
8. Trong các vùng Brillouin: E là hàm đa trị của k. Ứng với một giá trị của k có vô số giá trị của E trong từng vùng. Do đó phải có thêm chỉ số n đặc trưng cho giá trị khác nhau của vùng. → Đặc trưng En(k) → n : chỉ số vùng. → Tập hợp các vùng năng lượng ứng với n khác nhau xác định cấu trúc vùng năng lượng của chất rắn.
9. Electron tự do được mô tả bởi sóng chạy dạng (r) = Ceikr Hàm sóng truyền trong môi trường có tính tuần hoàn (tinh thể ). Do đó sẽ có phản xạ Bragg khi thỏa mãn điều kiện 2dsin = n Khi electron chuyển động vuông góc với mặt phẳng nguyên tử  = 900 và d = a, phương trình Bragg thành 2 k = = n  a
10. i x -i x Với sóng chạy:  * = e a . e a =1 có thể tìm thấy điện tử tại mọi nơi trong tinh thể. Với sóng đứng: 2 + 2 ❖ Sóng  : + = Y+ ~ cos x =1 a cos x = 1 x = n ; n Z a a x = na Các electron tập trung quanh các ion + tại x = 0, a, 2a, Thế tuần hoàn một chiều
11. NHẬN XÉT + Năng lượng của electron trong tinh thể bị gián đoạn khi k = m Các vùng năng lượng được phép xen kẽ giữa acác vùng cấm năng lượng. + Với k = m hình thành sóng đứng . a Do sóng đứng không truyền năng lượng nên vận tốc nhóm: d 1 dE v = = = 0 g dk  dk hàm E ( k ) đạt cực trị tại: k = m a Năng lượng của electron trong tinh thể
12. + Khi k 0 , → . Các electron có bước sóng rất dài không cảm thấy sự thay đổi tuần hoàn của trường thế năng của tinh thể : E ( k ) có dạng như của electron tự do, nghĩa là: k 0 , E(k) ~ k2 Năng lượng của electron tự do
13. II. Phép gần đúng liên kết mạnh * Phương trình cho bài toán không nhiễu loạn được lấy là phương trình của electron trong nguyên tử 2  2 −  + V(r) a(r) = Eaa(r) 2m trong đó V (r) là thế năng của electron trong nguyên tử * Thế năng của trường tinh thể U (r) được xem là nhiễu loạn trong phép gần đúng này.
14. đẩy 2 nguyên tử Na Na+Na Năng lượng Năng Na2 hút Khoảng cách giữa hai nguyên tử Sự phủ của các hàm sóng làm tách các trạng thái : ▪ Trạng thái hút: mật độ electron giữa các nguyên tử cao hơn , chắn nhiều hơn ▪ Trạng thái đẩy: mật độ electron giữa các nguyên tử nhỏ hơn , chắn ít hơn.
15. Phép gần đúng liên kết mạnh N nguyên tử Khảo sát định tính Giả sử ban đầu có N nguyên tử được sắp xếp một cách tuần hoàn nhưng ở khá xa nhau Bỏ qua tương tác giữa chúng. Mỗi nguyên tử có năng lượng của một nguyên tử riêng biệt. Hệ nguyên tử này có các mức năng lượng giống như của một nguyên tử, nhưng mỗi mức có độ suy biến bậc N.
16. + Độ rộng các vùng năng lượng được xác định nhờ nguyên lí bất định: .   Khi nguyên tử ở xa nhau, mức năng lượng của điện tử xác định và điện tử định xứ trong nguyên tử  = 0  → . Thời gian các điện tử tồn tại trên các mức đó là vô hạn. Khi nguyên tử tiến lại gần nhau để tậo thành tinh thể, mức năng lượng của điện tử bị tách ra  tăng tạo thành vùng  giảm. Thời gian cacù điện tử tồn tại trên các mức đó là hữu hạn và các điện tử có thể di chuyển từ nguyên tử này sang nguyên tử khác.
17. Độ rộng của một vùng năng lượng: E = Emax - Emin E = phụ thuộc vào độ lớn của tích phân trao đổi. Các mức nguyên tử có năng lượng càng cao thì hàm sóng của các điện tử phủ nhau càng nhiều, tức là A càng lớn. Giữa các vùng năng lượng được phép là các vùng cấm năng lượng. Khi năng lượng tăng, độ rộng của các vùng cấm giảm. Khi thay đổi nhiệt độ của tinh thể, nén hay kéo dãn tinh thể, khoảng cách giữa các nguyên tử trong tinh thể thay đổi mức độ phủ nhau của các hàm sóng thay đổi A thay đổi Độ rộng của các vùng năng lượng hay vùng cấm đều hay đổi.
18. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER 2 PHƯƠNG PHÁP PENNEY  2 - KRONIG −  + U(x) Y(x) = EY(x) Trường hợp thế năng của trường2m tinh thể có dạng đơn giản: U0,0− b x Ux()= 0,0 xa ' trong đó a = a’ + b
19. 2 Giải (I1): 11(xx) +  ( ) =0 Đặt: xx2 11( x) = e ( x) =  e (1) 2exx + 2 e = 0  2 = − 2  = i −i x i x 11−+ =ee; = i x− i x nghiệm tổng quát: 1 =+Ae Be 2 Giải (II2): 22(xx) −   ( ) =0 xx2 Đặt: 22( x) = e ( x) =  e (2) 2eexx −  2 = 0  2 =  2  =  −xx 22−+ =ee; = xx− nghiệm tổng quát: 2 =+Ce De
20. Theo tính chất hàm Block: ika ika 2( x+ a) =  2( x) e  2( x) =  2 ( x − a) e =+eika( Ce (xa− ) De−− () x a ) Từ (3) suy ra: i a,,−− i a ika  b  b Ae+ Be = e Ce + De (c) Từ (4) ta cĩ: i a,,−− i a ika  b  b i Ae− i Be = e  Ce −  De (d)
21. Để hệ phương trình trên cĩ nghiệm khơng tầm thường, thì định thức của chúng phải bằng khơng: 1 1 -1 -1 iα -iα -β β ,, =0 eiαa e -iαa -e ika e -βb -e ika e βb ,, iαeiαa -iαe -iαa -βe ika e -βb βe ika e βb
22. Việc tính toán trên khá phức tạp, Penney và Kronig đã giải gần đúng bằng cách giảm độ rộng của hàng rào thế cho b → 0 và tăng độ cao của thế U0 → sao cho bU0 = const. Gọi T là độ trong suốt T của hàng rào thế đối với điện tử có năng lượng E = hệ số truyền qua: 2 −−b2 m( U0 E) TT= e 0
23. PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ Khi b→0 sh(b) → b Uo →0 ; /<<1 2 22−  (b) 2P b P sh() b b = = = 2  2 2 b a,, 2 b a Khi b →0 thì ch(b) →1, do đĩ b →0 và Uo→ sao cho Uob = const thì phương trình (e) trở thành: sin a, ( ) ,, P, +=cos( a) cos( ka ) a
24. * Từ đồ thị ta nhận thấy:hịanh độ giao điểm của các đường với đường F(E) chỉ tập trung vào một số vùng nhất định. Các vùng nhất định này là vùng năng lượng hay dãy năng lượng. Xen kẽ các vùng năng lượng là các vùng cấm hay khe năng lượng, nơi mà E khơng nhận giá trị nào tại các vùng này. Do đĩ phổ năng lượng của điện tử trong trường tuần hịan cĩ cấu trúc vùng.
25. MỘT VÀI TRƯỜNG HỢP RIÊNG 1/ Khi P→ : hố thế năng khơng trong suốt, điện tử liên kết rất mạnh với hạt nhân: a, → 0 Nên F(0) P+1 → Nên F( a,) giảm rất nhanh theo a, suy ra độ rộng của các vùng năng lượng giảm, vùng cấm tăng rút về dạng các mức năng lượng của nguyên tử riêng biệt.
26. n En = A n +( −1) B n cos( ka) 2 2 2 2 An = A0 1− n ;Bn = A0 n P P Từ cơng thức En này , một lần nữa ta cĩ thể kiểm lại tính chất của hàm E như sau: * E là hàm tuần hịan theo k với chu kỳ là 2 /a. * E là hàm chẵn của k , n đĩng vai trị chỉ số vùng.
27. CẤU TRÚC VÙNG NĂNG LƯỢNG CỦA Ge , Si VÀ GaAs Si GaAs Ge Vectơ sóng k
28. F = m* a Có dạng của phương trình chuyển động của hạt tự do với khối lượng m*. Với khối lượng hiệu dụng, phương trình Schrodinger cho electron trong trường tinh thể có dạng phương trình của electron tự do : 2 − 2 Y(x) = EY(x) 2m * Như vậy, trong phép gần đúng khối lượng hiệu dụng: electron chuyển động trong trường tinh thể có thể xem như electron tự do nếu gán cho nó khối lượng hiệu dụng m* .
29. + m* phụ thuộc vào cấu trúc của vùng năng lượng, chính xác hơn là phụ thuộc vào độ dốc của vùng năng lượng. + m* có thể dương, âm, có thể lớn hơn hay nhỏ hơn khối lượng m của điện tử tự do. Trường hợp 3 chiều: 2 2  E  E 2E 2 2  kx kxky kxkz 2 2 2E  E  E 2E = k2 k k 2 2 y x  ky kykz 2 2E 2E  E 2 2 kzkx kzky  kz
30. Trong trường hợp tinh thể không hoàn toàn đẳng hướng, năng lượng của electron gần điểm cực trị ko có thể viết dưới dạng 2 2 2 2 2 2  (kx − kox )  (ky − koy )  (kz − koz ) E(k) − E(ko ) = + + 2m1 2m2 2m3 m1 , m2 và m3 là khối lượng hiệu dụng tương ứng dọc theo trục x , y và z.
31. Tập thể electron ởù trong vùng hóa trị chỉ còn một mức trống có tác dụng dẫn điện như một hạt tích điện dương : lỗ trống. Nếu vùng hóa trị đã hoàn toàn đầy thì khi tác dụng ngoại lực F lên hệ, gia tốc tổng cộng của các electron trong vùng đó bằng 0. Gia tốc của tập thể electron trong một vùng hoàn toàn đầy trừ một mức trống : d k d k d k F a =   s =   s −  i = − dt s i m * (k s ) dt mọi.sm * (k s ) dt m * (k i ) m * (k i ) Tập hợp các electron đó được gia tốc như khi hệ chỉ có một hạt (lỗ trống) với vectơ sóng ki và với khối lượng hiệu dụng bằng và ngược dấu với khối lượng hiệu dụng của electron khuyết .
32. Các lỗ trống xuất hiện ở các đỉnh của vùng năng lượng . Ở đó khối lượng hiệu dụng của electron là âm : lỗ trống có khối lượng hiệu dụng dương. Năng lượng của lỗ trống được tính theo chiều ngược với chiều của electron Lỗ trống có spin = 1/2 và tuân theo các phương trình chuyển động như electron . Liên kết bị gãy
33. Thế năng Năng Động năng của điện tử lượng của của điện tử điện tử Động năng của lỗ trống Thế năng Năng của lỗ trống lượng của lỗ trống Chiều tăng năng lượng của điện tử và lỗ trống
34. Cộng hưởng Cyclotron các mặt năng lượng của vùng dẫn và vùng hóa trị gần biên vùng eB m* là khối lượng hiệu dụng c = m cyclotron Lỗ trống Electron Lỗ trống nhẹ Tinh thể nặng (me/m) (mlh/m) (mhh/m) GaAs 0.066 0.5 0.082 InAs 0.026 0.39 0.025 Cu2O 0.99 0.58
35. PHÂN BIỆT CÁC CHẤT BÁN DẪN ĐIỆN - KIM LOẠI VÀ ĐIỆN MÔI DỰA VÀO CẤU TRÚC VÙNG NĂNG LƯỢNG CỦA CHÚNG ▪ Dòng điện là dòng chuyển động có hướng của các hạt mang điện dưới tác dụng của điện trường ngoài. ▪Vận tốc của tập thể electron dưới tác dụng của điện trường ngoài phải có thành phần khác 0 dọc theo phương của điện trường. ▪ Trong một vùng hoàn toàn đầy electron, các electron chỉ có thể thay đổi vị trí cho nhau và dọc theo một chiều nào đó, vectơ vận tốc tổng cộng bằng 0.
36. ▪Năng lượng dao động nhiệt của mạng tinh thể có thể cung cấp năng lượng cho electron nhảy từ một vùng đầy lên vùng trống ở trên. ▪ Ở một nhiệt độ T nào đó, động năng trung bình của các nguyên tử bằng 3kT/2 ( khoảng 0,037 eV ) ở nhiệt độ phòng. ▪ Trên thực tế bao giờ cũng có các nguyên tử có năng lượng rất lớn hơn giá trị trung bình đó. Theo phân bố Boltzmann, xác suất để nguyên tử dao động có năng lượng bằng E tỷ lệ với exp(-Eg/kT) .
37. KIM LOẠI 1. Chất có vùng hóa trị chỉ đầy một phần(kim loại kiềm) hay đã đầy hoàn toàn nhưng có một phần trùng với vùng nằm ở trên (kim loại kiềm thổ) . Dưới tác dụng của điện trường ngoài, các electron có thể chuyển động dễ dàng trong phạm vi của vùng hóa trị.
38. KIM LOẠI KIỀM Na11 : . . . 3s1
39. VÍ DỤ Mg12 : 1s22s22p63s2 Cả hai vùng này đều có electron và còn nhiều mức trống. Kim loại kiềm thổ dẫn điện tốt.
40. Nếu Eg khá lớn và ở nhiệt độ không quá cao thì số electron nhảy được lên vùng trên không đáng kể và chất như vậy trên thực tế là một chất không dẫn điện. Thườøng quy ước : chất có cấu trúc vùng với Eg 3 eV là chất cách điện. Nếu Eg < 3 eV, khi nhiệt độ không quá thấp thì số electron có đủ năng lượng để vượt qua vùng cấm khá nhiều Chất bán dẫn Số electron từ vùng hóa trị nhảy lên vùng trên (được gọi là vùng dẫn) trong một đơn vị thời gian bằng Aexp(-Eg / kT) với A là một hệ số tỷ lệ không phụ thuộc nhiệt độ.
41. Nguyên tố a ( nm) Eg C (kim cương) 0,356 5 eV Si 0,543 1,1 eV Ge 0,566 0,7 eV Thiếc 0,646