Bài tập Vật lý chất rắn - Đề 4 - Đỗ Nguyễn Quỳnh Ngân

Nội dung text: Bài tập Vật lý chất rắn - Đề 4 - Đỗ Nguyễn Quỳnh Ngân

1. VẬT LÝ CHẤT RẮN 1512119_ĐỖ NGUYỄN QUỲNH NGÂN HOMEWORK 4 Câu 1: Xét một sóng dọc có phương trình sóng: u x = ucos(흎t – sKa) biểu diễn sóng truyền trong mạng tinh thể đơn nguyên tử cùng nằm trên một đường thẳng và cách đều nhau khoảng a, trong đó khối lượng các nguyên tử là như nhau và bằng M ; C biểu diễn sự tương tác giữa các nguyên tử gần nhất trong mạng. a/ Chứng minh rằng tổng năng lượng của sóng trên là: E = 푴∑( 풅풖풔 ) + 푪∑( 풖 ― 풖 ) . 풅풕 풔 풔+ s s Với s chạy trên toàn bộ các nguyên tử của mạng. b/ Bằng cách thay thế u s trong biểu thức trên, chứng minh rằng tổng năng lượng trung bình theo thời gian của mỗi nguyên tử là: + ( 1 – cosKa )u2 = . ퟒ푴흎 풖 푪 푴흎 풖 Trong đó, K: số sóng trong mạng. Trả lời: a/ Ta có: 2 풅풖풔 ❖ Động năng của mỗi nguyên tử là : E1 = 푴v = 푴( ) . [1.1] 풅풕 ❖ Nếu xem các nguyên tử được nối với nhau bởi các lò xò có độ cứng C như nhau  Thế năng đàn hồi của mỗi nguyên tử : E = x2 = ( . [1.2] 2 푪 푪 풖풔 ― 풖풔+ ) ❖ Khối lượng các nguyên tử là như nhau và bằng M. ❖ Vậy tổng năng lượng của hệ khi xét trên toàn mạng tinh thể sẽ là: 풅풖풔 E = ∑ 푬 + ∑ 푬 = E = 푴∑( ) + 푪∑( 풖 ― 풖 ) . [1.3] 풅풕 풔 풔+ s s s s 1
2. VẬT LÝ CHẤT RẮN 1512119_ĐỖ NGUYỄN QUỲNH NGÂN Ta luôn có: ∫sin2(ωt- sKa)dt = ∫cos2(ωt- sKa)dt = ∫cos2(ωt- (s+1)Ka)dt = . [1.6] Dựa trên công thức lượng giác (biến đổi tích thành tổng) : ∫cos(ωt - sKa)cos(ωt - (s+1)Ka)dt= ∫[ cos[(ωt- sKa) + (ωt - (s+1)Ka)] + cos[(ωt- sKa) - (ωt- (s+1)Ka)]dt = cos(Ka). [1.7] Khi đấy, thay [1.6] và [1.7] vào [1.5], ta nhận được: = Mω2u2 + C(1-cosKa)u2. [1.8] ퟒ ퟒ푪 4 1 Từ hệ thức tán sắc, ta có: ω2 = sin2( Ka) = (1-cosKa). 푴 2  1-cosKa = Mω2/(2C). [1.9] Sau cùng, khi thay [1.9] vào [1.8], ta sẽ có: = + ( 1 – cosKa )u2 = . ퟒ푴흎 풖 푪 푴흎 풖 Vậy biểu thức được chứng minh. Câu 2: Xét các mode của một dãy tuyến tính các nguyên tử, trong đó hằng số đàn hồi giữa các nguyên tử gần nhất lần lượt là C và 10C. Cho rằng khối lượng của các nguyên tử là như nhau và khoảng cách giữa hai nguyên tử gần nhất là a/2. 흅 Tìm 흎(K) tại K = 0 và K = . Phác họa lại chúng trong hệ thức tán sắc. Đây là vấn đề mô phỏng lại tinh thể của các phân tử cấu tạo chỉ bởi hai nguyên tử, ví dụ như H2. 3
3. VẬT LÝ CHẤT RẮN 1512119_ĐỖ NGUYỄN QUỲNH NGÂN Như vậy: ✓ Tại K = 0, ta có: ω = 0 hoặc ω = 푪 . 흅 ✓ Tại K = , ta có: ω = 푪 hoặc ω = 푪 . Phác họa lại trong hệ thức tán sắc: Fig.3 from Dr. Ray Kwok, Homework 4, chapter 4 Kittel, Problem 5, Phys 175A Tài liệu tham khảo: [1] Dr. Ray Kwok, Homework #4, chapter 4 Kittel, Probs #1-7, Phys 175A [2] Solid State Physics, Section 4: Latice Vibrations. 5