Bài giảng môn Trường điện từ - Chương 1: Vector và trường

Nội dung chương 1:

1.1 Đại số vector.
1.2 Các hệ tọa độ.
1.3 Yếu tố vi phân và các tích phân.
1.4 Các toán tử cơ bản.
1.5 Khái niệm trường điện từ.
1.6 Các định luật cơ bản của trường điện từ.
1.7 Dòng điện dịch - Hệ phương trình Maxwell.
1.8 Điều kiện biên của trường điện từ 
 

pdf 134 trang thamphan 28/12/2022 1280
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng môn Trường điện từ - Chương 1: Vector và trường", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên.

File đính kèm:

  • pdfbai_giang_mon_truong_dien_tu_chuong_1_vector_va_truong.pdf

Nội dung text: Bài giảng môn Trường điện từ - Chương 1: Vector và trường

  1. Chương 1: Vector và Trường EM-Ch1 1
  2. 1.1 Đại số vector a) Vector (A) và Vô hướng (A): . Vector: Đại lượng vật lý, đặc trưng bởi cả độ lớn và hướng trong không gian.  Ví dụ: Vận tốc,lực . Vô hướng: Đại lượng vật lý, đặc trưng chỉ bởi độ lớn.  Ví dụ: Khối lượng, điện tích EM-Ch1 3
  3. c) Tích vô hướng: . Là một vô hướng: ABABABAB.1 1 2 2 3 3 A.B.cosθ AB AA.A2 . Rất thuận tiên khi tìm góc giữa 2 vector: 1 (A .B) θ cos AB (A.B) EM-Ch1 5
  4. e) Tích hỗn hợp có hướng: . Là vector : A (B C) . Tổng quát : A (B C) B (C A) C (A B) EM-Ch1 7
  5.  Ví dụ 1.1.1: Đại số vectơ Cho 3 vector: A 3a1 2a 2 a 3 B a1 a 2 a 3 C a1 2a 2 3a 3 a) Tính: A B 4C ? (3 1 4)a1 (2 1 8)a 2 (1 1 12)a 3 5a23 12a A B 4C 25 144 13 EM-Ch1 9
  6.  Ví dụ 1.1.1: Đại số vectơ (tt) Cho 3 vector: A 3a1 2a 2 a 3 B a1 a 2 a 3 C a1 2a 2 3a 3 c) Tính: A.C (3*1) (2*2) (1*3) 10 a1 a 2 a 3 d) Xác định: B C 1 1 1 5a1 4a 2 a 3 1 2 3 EM-Ch1 11
  7.  Ví dụ 1.1.2: Đại số vectơ Cho 2 vector: A 3ax 2a y a z B ax 3a y 2a z a) Tính: C 2A 3B b) Xác định vector đơn vị aC và góc hợp bởi nó với trục Oz ? a) Ta có: b) Vector đơn vị : EM-Ch1 13
  8. 1.2.1 Hệ tọa độ Đề các: a) Các vector đơn vị: * P(x, y, z) z * a , a, a az x y z P(x,y,z) ay A A a A a A a ax xx y y z z az z O * Luật bàn tay phải : ay y ax x a z y a x a y x EM-Ch1 15
  9. c) Vector từ P1(x1,y1,z1) đến P2(x2,y2,z2): z P2(x2, y2, z2) r12 P1(x1, y1, z1) O y x r12 (x 2 x 1 )a x ( y 2 y 1 )a y ( z 2 z 1 )a z EM-Ch1 17
  10. 1.2.2 Hệ tọa độ trụ: z * P(r, , z) a z r a * arz , a , a z P(r, ,z) a r y A Arz arz A a A a x * Luật bàn tay phải : a a z a r a r a EM-Ch1 19
  11. 1.2.4 Chuyển đổi giữa các hệ tọa độ: Đề các Trụ r x22 y y (,,)x y z tg 1 x zz xrcos yrsin (,,)rz EM-Ch1 21
  12. Ví dụ 1.2.2: Xác định x, y, z ? Chú ý: x = r cos x = r sin cos y = r sin y = r sin sin z = z z = r cos (a) Cho P(2, 5 /6, 3) trong hệ tọa độ trụ. z x 2 cos 5 6 – 3 3 1 2 y 2 sin 5 6 1 3 z 3 2 y x 5 /6 EM-Ch1 23
  13. Ví dụ 1.2.2: Xác định x, y, z ? Chú ý: x = r cos x = r sin cos y = r sin y = r sin sin z = z z = r cos (c) Cho P(4, 2 /3, /6) trong hệ tọa độ cầu. 2 z x 4 sin cos 3 36 2 2 /3 y y 4 sin sin 3 9 3 4 4 36 /6 x z 4 cos – 2 4 3 EM-Ch1 25
  14. 1.2.5 Chuyển đổi vector giữa các hệ tọa độ: Đề các Trụ Arx cos sin 0 A A sin cos 0 Ay Azz 0 0 1 A Axr cos sin 0 A Ay sin cos 0 A Azz 0 0 1 A EM-Ch1 27
  15.  Ví dụ 1.2.3: Chuyển đổi vector Cho: A ar at 2, 6, 2 ? B a at 1, 3,0 ? Đề các C a at 3, 4,3 / 2 ? Ax sin( / 6)cos( / 2) cos cos sin 1 Ay sin ( / 6)sin ( / 2) cos sin cos 0 Az cos( / 6) sin 0 0 13 A sin( / 6)ay cos( / 6)a z22 a y a z EM-Ch1 29
  16.  Ví dụ 1.2.3: Chuyển đổi vector Cho: A ar at 2, 6, 2 ? B a at 1, 3,0 ? Đề các C a at 3, 4,3 / 2 ? Ax sin cos cos cos sin(3 / 2) 0 Ay sin sin cos sin cos(3 / 2) 0 Az cos sin 0 1 C sin(3 / 2)azx a x EM-Ch1 31
  17. a) Công thức chung: dl hdua1 11 hdua 2 2 2 hdua 3 3 3 d S d S1 d S 2 d S 3 dS1 a 1 dS 2 a 2 dS 3 a 3 h2323 h du du a1 h 1313 h du du a 2 h 1212 h du du a 3 dV h1 h 2 h 3 du 1 du 2 du 3 Hệ số tọa độ h1 h2 h3 (Larmor) Đề các : 1 1 1 Trụ : 1 r 1 Cầu: 1 r rsin EM-Ch1 33
  18.  Vi phân thể tích: EM-Ch1 35
  19.  Vi phân thể tích: EM-Ch1 37
  20.  Vi phân thể tích: EM-Ch1 39
  21. i. Tích phân đường: B =Tích phân đường của E từ A đến B. UAB E.dl A . Ý nghĩa của tích phân này phụ thuộc tính chất của trường vectơ E. Ví dụ nếu E là trường lực thì tích phân cho ta công của lực. E.dl =Tích phân đường của E dọc theo đường kín C. C = còn gọi là lưu số của trường E trên đường C. EM-Ch1 41
  22.  Ví dụ 1.3.1: Tính tích phân đường (tt) . Từ (0, 0, 0) đến (1, 0, 0): z z0, y 0 dz 0, dy 0 (1, 2, 3) (1,0,0) F 0 Fdl 0 (0, 0, 0) y (0,0,0) (1, 0, 0) (1, 2, 0) x EM-Ch1 43
  23.  Ví dụ 1.3.1: Tính tích phân đườngz (tt) (1, 2, 3) . Từ (1, 2, 0) đến (1, 2, 3), (0, 0, 0) y x1, y 2 dx 0, dy 0 (1, 0, 0) (1, 2, 0) x F 2az dl (dx )ax ( dy )a y ( dz )a z ( dz )a z (1,2,3) 3 F.dl2dz Fdl 2 dz 6 (1,2,0) 0 (1,2,3) Fdl 0 0 6 6 (0,0,0) EM-Ch1 45
  24.  Ví dụ 1.3.2 : Tính tích phân mặt z Cho: , 2 A (xx )axy ( )a Tìm: AdS y S 2 2 x x 2 A (2)axy (2)a dSdydz ax 22 AdS 2dydz 8 S yz00 EM-Ch1 47
  25.  Ví dụ 1.3.3: Tính tích phân khối Mật độ electron bên trong khối cầu bán kính 2 m cho bởi qui luật: 1000 n cos (electron/m3 ) e r4 Tìm điện tích của toàn bộ khối cầu biết điện tích của electron là – 1,6.10–19 C.  Gọi N = số electron chứa trong khối cầu, ta có :  Điện tích khối cầu: Q =N*e = EM-Ch1 49
  26. a) Gradient của trường vô hướng:  Toán tử grad: 1UUU 1 1 gradU or U a1 a 2 a 3 h1 u 1 h 2 u 2 h 3 u 3 EM-Ch1 51
  27.  Các tính chất của toán tử grad: i. Biên độ của gradV bằng tốc độ tăng cực đại gradV Q của hàm V trong không gian (dV/dℓmax). dℓ ii. Hướng của gradV là hướng tăng cực đại P của hàm V trong không gian. V=const iii. GradV tại điểm P sẽ vuông góc với mặt V = const tại P. Và vectơ đơn vị pháp tuyến của mặt V = const tại P xác định theo: Vector đơn vị pháp tuyến tại P = (gradVP) / |gradVP| iv. Độ tăng của hàm V theo hướng aℓ là hình chiếu của gradV xuống hướng đó. dV gradV.a d EM-Ch1 53
  28. b) Divergence của trường vector : Định nghĩa: Là thông lượng của trường thoát khỏi một đơn vị thể tích. Fds divA or A lim S V 0 V Công thức tính: 1 ()h h A div A or A [2 3 1 ] h1 h 2 h 3 u 1 EM-Ch1 55
  29.  Định lý Divergence : div AdV Ad S VS (dS hướng ra bên ngoài mặt S ) . Vế phải của định lý là thông lượng của trường A gửi qua mặt kín S. EM-Ch1 57
  30. Ví dụ 1.4.4: Kiểm chứng định lý div (tt) Kiểm chứng tính đúng đắn của định lý Divergence bằng cách xét: A (3x )ax ( y 3)a y (2 z )a z Và S là mặt hộp giới hạn bởi : x = 0; x = 1; y = 0; y = 2; z = 0; z = 3 Trên mặt x = 1: A 3ax (yz 3)a y (2 )a z AdS 3dydz dSdydz ax 23 AdS 3dydz 18 x 1 0 0 EM-Ch1 59
  31. Ví dụ 1.4.4: Kiểm chứng định lý div (tt) Kiểm chứng tính đúng đắn của định lý Divergence bằng cách xét: A (3x )ax ( y 3)a y (2 z )a z Và S là mặt hộp giới hạn bởi : x = 0; x = 1; y = 0; y = 2; z = 0; z = 3  Trên mặt y = 2: A 3xz ax a y (2 )a z dSdxdz ay AdS dxdz 13 AdSdxdz 3 y 2 0 0 EM-Ch1 61
  32. Ví dụ 1.4.4: Kiểm chứng định lý div (tt) Kiểm chứng tính đúng đắn của định lý Divergence bằng cách xét: A (3x )ax ( y 3)a y (2 z )a z Và S là mặt hộp giới hạn bởi : x = 0; x = 1; y = 0; y = 2; z = 0; z = 3  Trên mặt z = 3: A 3xy ax ( 3)a y a z AdS dxdy dSdxdy az 12 AdSdxdy 2 z 3 0 0 EM-Ch1 63
  33.  Tổng kết: . Nếu divE > 0 : thông lượng của E hướng ra bên ngoài S. . Nếu divE < 0 : thông lượng của E hướng vào bên trong S. . Nếu divE = 0 : thông lượng của E vào và ra mặt kín S là như nhau. EM-Ch1 65
  34.  Ví dụ 1.4.5: Tính toán toán tử rot 3 2 4 Cho vector: A xza.x 2 xyza . y 2 yza . z Tìm rotA, hay A , tại điểm P(1, -1, 1) ? . Theo công thức: ax a y a z A x y z xz322 x 2 yz yz 4 4 2 2 (2z 2 xya )x (3 xza ) y ( 4 xyza ) z . Tại P(1,-1,1): A34 ayz a EM-Ch1 67
  35.  Kết luận: . Toán tử rot mô tả tính chất xoáy của trường vector. . Nếu rotE = 0 ta nói trường E là trường không xoáy, hay còn gọi là trường thế. EM-Ch1 69
  36. e) Các định thức khác: ()grad(.)fg f g f . grad () g g . grad () f (f A) div( f .A) f .div(A) A.grad( f ) (A B) div(A B) B.rot(A) A.rot(B) (f A) rot( f A) grad( f ) A f .rot(A) (AA ) div(rot ) 0 (ff ) rot(grad( )) 0 EM-Ch1 71
  37. a) Khái niệm trường : Trường là mô tả toán học, sự phụ thuộc vào không gian và thời gian của một đại lượng vật lý nào đó. EM-Ch1 73
  38. c) Trường điện:  Vector cường độ trường điện E : . Một điện tích điểm đặt F bên cạnh vật mang điện, Electric field line e chịu tác dụng một lực . E Vật MĐ q > 0  Ta nói bên cạnh vật mang điện tồn tại trường điện , xác định bởi : . Vector cường độ trường điện = löïc ñieän / ñvò ñieän tích . Fe E lim [Vm / ] q0q EM-Ch1 75
  39. . Ñoä thaåm ñieän töông ñoái (haèng soá ñieän moâi) : EM-Ch1 77
  40. Mật độ điện tích phân bố: q dq i. Mật độ điện tích dài: ρ lim [C/m] 0 d q dq 2 ii. Mật độ điện tích mặt : ρS lim [C/m ] S 0 S dS q dq 3 iii. Mật độ điện tích khối : ρV lim [C/m ] V 0 V dV . Điện tích tổng: Qρ d or ρ dS or ρ dV [C] LSVSV . Nếu phân bố đều, mật độ điện tích không phụ thuộc tọa độ. Khi đó điện tích tổng xác định : Q ρ L or ρS S or ρV V [C] EM-Ch1 79
  41.  VD 1.5.2: Tính điện tích vỏ cầu Vỏ cầu, tâm tại gốc tọa độ, bkính trong a = 2 cm , bkính -4 3 ngoài b = 3 cm, mang điện với mật độ khối V = 6r.10 C/m . Tìm Q của vỏ cầu ? Giaûi b a Ta có: QV .dV V 0 b2 Q (6r)(r24 sinθdrdθd ).10 a 0 0 6 b 2 (r44 ) ( cosθ) ( ) .10 Q 1,225 nC 4 a 00 EM-Ch1 81
  42.  Vector cường độ trường từ H : . Môi trường chân không: HB[/]1 Am 0 7 0 4 .10 [Hm / ] = hằng số từ. . Môi trường từ môi: HBM[/]1 Am 0 (Vectơ phân cực từ)  Nếu từ môi đẳng hướng và tuyến tính: MHm B00 (1mr )H H BH = 0 r = độ thẩm từ tuyệt đối của môi trường [H/m]. r = độ thẩm từ tương đối [0]. m = độ cảm từ [0]. EM-Ch1 83
  43.  Dòng điện: dq . Định nghĩa : I (A) dt . Là nguồn tạo ra trường từ. Có 2 mô hình cơ bản: EM-Ch1 85
  44. ii. Vector mật độ dòng mặt : .Đặc điểm của vectơ mật độ dòng mặt : + chiều trùng chiều dòng. + độ lớn: Js = dI/dℓ . Dòng điện chạy qua đường L : IJsdl L EM-Ch1 87
  45. 1.6.1 Luật bảo toàn điện tích : a) Phát biểu và dạng tích phân: Dòng điện thoát ra bên ngoài mặt kín S bằng tốc độ giảm của điện tích chứa bên trong mặt S. dq it() dt dq idJS S dt EM-Ch1 89
  46. 1.6.2 Luật Gauss về điện: a) Phát biểu và dạng tích phân: Thông lượng của vector cảm ứng điện thoát ra bên ngoài mặt kín S bằng tổng điện tích chứa trong miền V giới hạn bởi mặt S đó. DdS q dV SVV EM-Ch1 91
  47.  Ví dụ 1.6.1: Áp dụng luật Gauss Tìm thông lượng của vector cảm ứng điện thoát ra bên ngoài mặt S giới hạn bởi: x = 1, y = 1 và z = 1, biết mật độ điện tích khối bên trong : 2 2 2 V x, y , z0 3 x y z DSd dv SVV 1 1 1 3 x2 y 2 z 2 dx dy dz x1 y 1 z 1 0 1 1 1 83x2 y 2 z 2 dx dy dz 0 x0 y 0 z 0 111 83 0 333 16 0 EM-Ch1 93
  48. b) Dạng vi phân : Từ: BdS 0 S divB D 0 Dạng vi phân của luật Gauss về từ. EM-Ch1 95
  49. b) Dạng vi phân : Từ: Hdl I C enc . Do : Hdl = I JdS Ienc J.dS C enc S S Theo định lý Stokes: Hd l rot H d S CS rot H J (Dạng vi phân) EM-Ch1 97
  50. b) Dạng vi phân : d Từ: EBSd l d dS CSdt B(t) (C) S B rot E d S d S, S SSt B rotE E Dạng vi phân t EM-Ch1 99
  51.  Ứng dụng của luật Faraday: Máy phát DC Máy phát AC EM-Ch1 101
  52.  Kiểm chứng luật Lenz: dec B 0 . 0 t 2 3 inc. –B0 emf B0 emf 0 EM-Ch1 103
  53. Ví dụ 1.6.3: Giải a) Từ thông móc vòng qua một vòng dây : B.dS B 2 a 6 a sint . a dS 6 a2 B sin ωt m S S 00y z z d d b) emfN m 6 Na22 B sinωt 6 Nωa B cosωt dt dt 00 3 3 Khi N=10, a = 0.1 m, ω=10 rad/s and B0 = 0.2 T: emf = -377cos10 t V c) Tại t = 0, emf = -377cos103t = - 377 volts : điểm 2 có thế cao hơn điểm 1. emf 377 d) Dòng I trong mạch là : Icos1033 t 0.38cos10 t Amps R 103 EM-Ch1 105
  54. a) Dòng điện dịch:  Từ luật Ampere: rot H J div(rot H) div J V t Do div(rot H) 0 (vector analysis) V 0 t  Luật Ampere chỉ đúng với dòng điện DC !!! EM-Ch1 107
  55.  Luật Ampere-Maxwell: D HJSd l d (Dạng tích phân) C S t DD rot H J E (Dạng vi phân) tt EM-Ch1 109
  56.  Ví dụ 1.7.1: Dòng điện dịch Môi trường chân không ( = 0, = 0, = 0) tồn tại trường từ: H H0y sintz a (A/m) (Với β = const). Xác định: (a) Vector mật độ dòng dịch ? (b) Vector cường độ trường điện ? Giải D βH0 2 b) Từ câu (a) ta có: Ddt sin( t z )a (C/m ) t ω x βH0 E sin(tz )ax (V/m) ωε0 EM-Ch1 111
  57.  Ví dụ 1.7.2: Hệ phương trình Maxwell Môi trường chân không ( = 0, = 0, = 0) tồn tại trường điện: 9 E(z,t) 5cos(10tz ).ay (V/m) Dùng hệ phương trình Maxwell xác định β và vector cường độ trường từ ? Giải BH  Từ pt(2) của hệ pt Maxwell: rotE tt0 a a a H x y z rot E 0 t x y z 005cos(109 t βz) 9 5βsin(10t βz)a x 5β 9 H9 cos(10 t βz)a x μ0 .10 EM-Ch1 113
  58. 1.8 Điều kiện biên của trường điện từ : EM-Ch1 115
  59. b) ĐKB cho thành phần pháp tuyến: D2 D ( 2; 2; 2) 2n ( ; ; ) D 1 1 1 1n D 1 an DD ρ 1n 2n s ans (D12 D ) ρ (D1n D 2n ) ρsn .a B1n B 2n 0 an (B12 B ) 0 (B1n B 2n ) 0 ρs ρ JJ1n 2n t ρs s an (J12 J ) t (J1n J 2n )t .a n EM-Ch1 117
  60. d) Các trường hợp đặc biệt: EM-Ch1 119
  61. TH 2: Một môi trường là dẫn lý tưởng a n Môi trường 1 Môi trường 2 1 Điện môi ( 1 = 0) E1t 0 E2t 0 2 Dẫn lý tưởng H 0 an1HJs 2t D2n 0 ( 2 ) anD 1ρ S B2n 0 B1n 0 a n E1n H 1 1t 1 S J + + + + + + + + + + s 2 2 HJ1tS ρS E1n 1 EM-Ch1 121
  62. e) Qui trình bài toán điều kiện biên: Giả sử biết trường điện trên biên về phía môi trường 1 (E1), xác định trường điện trên biên về phía môi trường 2 (E2). 1. Xác định vector đơn vị pháp tuyến an. 2. Xác định các thành phần pháp tuyến & tiếp tuyến của E1. EEE1 1n 1t E1n (E 1 .a n ).a n EEE1t 1 1n 3. Áp dụng ĐKB tìm E2. Áp dụng ĐKB thành phần pháp tuyến xác định E2n. Áp dụng ĐKB thành phần tiếp tuyến xác định E2t. EEE2 2n 2t EM-Ch1 123
  63.  Ví dụ 1.8.1: Bài toán ĐKB (tt) Mặt phẳng z = 0 là biên của hai môi trường: môi trường 2 chiếm miền z 0 là điện môi lý tưởng có 1r = 40. Biết trường điện trên biên về phía môi trường chân không là : E2 13a x 40a y 50a z (V/m) Tìm trường điện trên biên về phía môi trường điện môi ? Giải  Các thành phần của E2 : E2n (E 2 .a n ).a n 50a z E2t E 2 E 2n 13a x 40a y EM-Ch1 125
  64.  Ví dụ 1.8.2: Bài toán ĐKB Mặt phẳng z = 0 là biên của hai môi trường: môi trường 2 chiếm miền z 0 có µ1r = 4. Biết mật độ dòng mặt trên biên là : JS (1/ 0 )a y (mA/m) và trường từ trên biên về phía môi trường 1 : 2 B1 5a x 8a z (mWb/m ) Tìm trường từ trên biên về phía môi trường 2 ? Giải z a  Xác định an: Môi trường 1 n z = 0 a a Môi trường 2 nz biên EM-Ch1 127
  65.  Ví dụ 1.8.3: Bài toán ĐKB hệ trụ Mặt trụ r = 0,1m là biên của hai môi trường. Môi trường 2 chiếm miền r 0,1m là chân không. Tìm trường từ trên biên về phía môi trường chân không ? Giải z Môi trường 1  Xác định an: a n Do vector đơn vị pháp tuyến Môi trường 2 của biên hướng từ môi trường 2 sang môi trường 1 nên ta có : biên anr a EM-Ch1 129
  66.  Ví dụ 1.8.3: Bài toán ĐKB hệ trụ (tt) Mặt trụ r = 0,1m là biên của hai môi trường. Môi trường 2 chiếm miền r 0,1m là chân không. Tìm trường từ trên biên về phía môi trường chân không ? Giải z Môi trường 1  Các thành phần của B1 dùng ĐKB : a n Môi trường 2 B1n B 2n 0 biên B1t 1 H 1t 1 H 2t J S a n μ1 B2t 0.4a μ2 B1 0.4a (T) EM-Ch1 131
  67.  Ví dụ 1.8.5: Bài toán ĐKB Cho vector cường độ trường từ phân bố trong hệ tọa độ trụ như 3 sau : ka a khi r a H 3r (Với k = const & r = kr2 bán kính hướng trục) 3 a khi r a a) Xác định vector mật độ dòng khối trong các miền ? b) Xác định vector mật độ dòng mặt trên mặt r = a ? Giải a) Theo luật Ampere: a ra a 11rz J rotH [rH ]a rrz r r z 00rH (r) 0 khi r a J kraz khi r a EM-Ch1 133