Bài giảng Vật lý 1 - Chương 4: Cơ học vật rắn

Nội dung text: Bài giảng Vật lý 1 - Chương 4: Cơ học vật rắn

1. LOGO CƠ HỌC VẬT RẮN
2. LOGO Chuyển động của vật rắn Chuyển động Chuyển động tịnh tiến quay Chứng minh: Tổng hợp '' 2 O” v0 chuyển động của vật rắn đƣợc chứng minh qua O v chuyển động song phẳng, 0 O’ chuyển động trong đó mọi điểm của vật rắn đƣợc dịch Hình 4.1: Sự lăn của hình chuyển trong những mặt trụ theo mặt phẳng là một phẳng song song với một mặt chuyển động song phẳng phẳng cố định
3. CÁC DẠNG CHUYỂN ĐỘNG CỦA VẬT RẮN LOGO 4.1.1. Chuyển động tịnh tiến 1) Định nghĩa: Chuyển động tịnh 2 t t + t tiến là chuyển động B B’ mà trong đó đoạn thẳng nối hai điểm A A’ bất kỳ của vật rắn luôn song song với Hình 4.2 chính nó.
4. CÁC DẠNG CHUYỂN ĐỘNG CỦA VẬT RẮN LOGO AB luôn luôn song song với chính nó, nên: dAB 0 dt dr dr Vậy: B A v v dt dt B A z Vì A, B là hai điểm bất kỳ A nên có thể suy ra: rA B rB vA vB vC 4.1 O y x Vậy: mọi điểm trên vật rắn Hình 4.3 Chuyển động tịnh đều có cùng véctơ vận tốc!!! tiến của vật rắn
5. CÁC DẠNG CHUYỂN ĐỘNG CỦA VẬT RẮN LOGO 3) Khối tâm vật rắn: a) Định nghĩa:Xem vật rắn nhƣ một hệ gồm n chất điểm. C đƣợc gọi là khối tâm của vật rắn nếu vị trí của C thoả công thức: n m r Trong đó:  i i - m và r lần lƣợt là OC r i 1 i i C n khối lƣợng và véctơ m  i vị trí của chất điểm i 1 thứ i. n n 1 - m  m i là khối rC miri 4.3 i 1 m i 1 lƣợng vật rắn.
6. CÁC DẠNG CHUYỂN ĐỘNG CỦA VẬT RẮN LOGO  Nếu chọn gốc tọa độ trùng với khối tâm C thì r C = 0 và từ (4.3) ta suy ra: n miri 0 4.5a 2 i 1 rdm 0 4.5b m Trong đó: r i là bán kính vectơ nối liền khối tâm với chất điểm mi.
7. CÁC DẠNG CHUYỂN ĐỘNG CỦA VẬT RẮN LOGO  Gia tốc khối tâm n n n d vC 1 d vi 1 1 a C mi mi a i Fi dt m i 1 dt m i 1 m i 1 n Với: F  F i là lực tổng hợp tác dụng lên vật rắn i 1 F maC 4.7 Vậy phƣơng trình chuyển động của vật rắn bằng tích số của khối lƣợng vật rắn với gia tốc của khối tâm vật rắn đó.
8. CÁC DẠNG CHUYỂN ĐỘNG CỦA VẬT RẮN LOGO 4.1.2. Chuyển động tổng quát của vật rắn Xét chuyển động song phẳng bất kỳ của vật rắn Gọi C là khối tâm của vật rắn, M là một điểm bất kỳ của vật rắn nằm trong tiết diện S. 2 Gọi O là gốc tọa độ, r C và r M là hai bán kính vectơ xác định vị trí của C và M. Theo qui tắc cộng vectơ, ta có: rM rC r r là bán kính vectơ nối từ C tới M.
9. CÁC DẠNG CHUYỂN ĐỘNG CỦA VẬT RẮN LOGO Vận tốc của điểm M trong chuyển động song phẳng bất kì. vM vC ω r Ý nghĩa Chuyển2 động song phẳng bất kỳ của vật rắn bao giờ cũng có thể phân thành hai chuyển động thành phần: . Chuyển động tịnh tiến của khối tâm của vật rắn. . Chuyển động quay của vật rắn quanh trục quay đi qua khối tâm.
10. CÁC DẠNG CHUYỂN ĐỘNG CỦA VẬT RẮN LOGO 4.1.3. Chuyển động quay quanh trục của vật rắn  1) Định nghĩa: Là chuyển động mà các chất điểm của vật rắn có quĩ đạo là những vòng vi O Ri tròn tâm nằm trên trục  m quay và bán kính bằng i khoảng cách từ chất điểm đến trục quay. Hình 4.6: Chuyển động quanh trục của vật rắn
11. CÁC DẠNG CHUYỂN ĐỘNG CỦA VẬT RẮN LOGO Do góc quay bằng nhau nên: d1 d2 d3 → 1 2 3 dt dt dt Với trục quay cố định thì véctơ vận tốc góc cũng bằng nhau: 2 1 2 3 (4.9) Lưu ý: Khi quay chất điểm nào càng xa trục thì vận tốc dài càng lớn, chất điểm nằm trên trục thì vận tốc dài bằng không. vi R ii R i
12. LOGO 4.2 PHƢƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA VẬT RẮN QUAY QUANH TRỤC CỐ ĐỊNH
13. PHƢƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA VẬT RẮN QUAY QUANH TRỤC CỐ ĐỊNH LOGO F F// Ft Fn Không thể làm cho vật rắn quay, nó chỉ có Không thể làm cho tác dụng làm cho vật vật rắn quay, nó chỉ có rắn trƣợt dọc theo trục tác dụng làm vật rắn dời quay, chuyển động này khỏi trục quay, điều này không thể có vì theo cũng không thể có. giả thiết thì vật rắn chỉ quay quanh trục quay.
14. PHƢƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA VẬT RẮN QUAY QUANH TRỤC CỐ ĐỊNH LOGO 4.2.1. Mômen động lƣợng của vật rắn quay  Mômen động lƣợng của chất điểm thứ i đối với trục quay là: M Li R i x pi  . p i m i v i hƣớng theo  Li phƣơng tiếp tuyến. Ri F mi p i . R i hƣớng theo phƣơng i bán kính. L i hƣớng theo trục quay Hình 4.8
15. PHƢƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA VẬT RẮN QUAY QUANH TRỤC CỐ ĐỊNH LOGO n 2 . Đặt: I miRi 4.12 i 1 Mômen quán tính của vật rắn đối với trục quay Vậy: L Iω 4.13 (Do L và ω cùng phƣơng)
16. PHƢƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA VẬT RẮN QUAY QUANH TRỤC CỐ ĐỊNH LOGO 4.2.3. Phƣơng trình cơ bản của vật rắn quay quanh trục cố định quay  Cho vật rắn quay quanh trục, ta có: Li R i pi dL dp dR i R i i p R F v mv dt i dt dt i i i i i dL  Vậy: i M dt i
17. PHƢƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA VẬT RẮN QUAY QUANH TRỤC CỐ ĐỊNH LOGO  Theo (4.13): L Iω  Vậy: M Iβ 4.15 Phƣơng trình cơ bản của chuyển động quay của vật rắn quanh một trục cố định.
18. MÔMEN QUÁN TÍNH CỦA MỘT VÀI VẬT RẮN ĐƠN GIẢN LOGO 4.3.1. Công thức  Mômen quán tính với một trục quay xác định cho vật rắn gồm các chất điểm phân bố rời rạc: n 2 I  mi R i i 1  Khi vật rắn gồm các chất điểm phân bố liên tục: I R 2dm (4.16) m
19. MÔMEN QUÁN TÍNH CỦA MỘT VÀI VẬT RẮN ĐƠN GIẢN LOGO GIẢI Chọn dm nhƣ hình vẽ. Gọi là khối lƣợng riêng của thanh thì dm = Sdx. Thay vào (4.16), với R = x, ta có: I x 2dm dm m  x x+ dx 2 1 o I ρSx2dx ρSl3  12 2 Với Sl = m là khối lƣợng thanh. Hình 4.10: Mômen quán tính của thanh 1 Vậy: I ml2 4.17 12
20. MÔMEN QUÁN TÍNH CỦA MỘT VÀI VẬT RẮN ĐƠN GIẢN LOGO GIẢI Chia vòng tròn ra làm nhiều phần nhỏ có khối lƣợng dm, vì ở trên vòng tròn nên dm cách tâm O một khoảng bằng bán kính R. Vậy theo (4.16) ta có: O R dm I R 2dm I R 2 dm mR2 m m Hình 4.11: Mômen quán tính của vòng tròn Vậy: I mR 2 4.18
21. MÔMEN QUÁN TÍNH CỦA MỘT VÀI VẬT RẮN ĐƠN GIẢN LOGO GIẢI Chia đĩa thành nhiều vành có bề rộng rất nhỏ sao cho dr vành tròn tƣơng đƣơng những vòng tròn và lấy vành bất kỳ có bán kính trong r, bán kính r ngoài r + dr, diện tích của vành R là dS = 2 rdr và khối lƣợng Hình 4.13: Mômen quán của nó là dm = dS, với  là tính của đĩa tròn khối lƣợng trên đơn vị diện tích.
22. MÔMEN QUÁN TÍNH CỦA MỘT VÀI VẬT RẮN ĐƠN GIẢN LOGO 4.3.1.4/ Mômen quán tính của trụ rỗng, trụ đặc Trụ rỗng Chia trụ rỗng thành n vòng tròn, mỗi vòng có mômen quán tính 2 2 Ii mi R i mi R Mômen quán tính của trụ rỗng: n n n 2 2 2 I Ii mi R i R mi mR i 1 1 1 i 1 Vậy: I mR2 (4.20)
23. MÔMEN QUÁN TÍNH CỦA MỘT VÀI VẬT RẮN ĐƠN GIẢN LOGO 4.3.1.5/ Mômen quán tính của các vật tròn xoay Khái niệm: Vật tròn xoay là những vật mà bề mặt của chúng đƣợc tạo thành bởi sự quay của một đƣờng cong phẳng quanh một trục nằm trong mặt phẳng chứa đƣờng cong đó. Bài toán Tính mômen quán tính của vật tròn xoay đối với trục Oz khi biết sự phụ thuộc hàm r(z) và mật độ .
24. MÔMEN QUÁN TÍNH CỦA MỘT VÀI VẬT RẮN ĐƠN GIẢN LOGO Hình nón  Đối với hình nón thì hàm r(z) có dạng: R r z H z R  Thay r vào (4.22), ta có: H A 4 H 4 1 R 1 R H5 r I πρ z4dz πρ z 2 H 0 2 H 5  Khối lƣợng hình nón: m = R2H O 3 Hình 4.14  Vậy: I mR2 4.23 10
25. MÔMEN QUÁN TÍNH CỦA MỘT VÀI VẬT RẮN ĐƠN GIẢN LOGO 4.3.2. Định lý Steiner – Huyghens cho mômen quán tính I đối với một trục bất kỳ không qua khối tâm Định lý Steiner – Huyghens 2 I IC ma (4.25) Với : trục quay bất kỳ không qua khối tâm c: trục quay qua khối tâm của vật và song song với I : mômen quán tính của vật rắn đối với trục Ic: mômen quán tính của vật rắn đối với trục ∆c m : khối lƣợng của vật rắn a : khoảng cách giữa hai trục và ∆c
26. MÔMEN QUÁN TÍNH CỦA MỘT VÀI VẬT RẮN ĐƠN GIẢN LOGO Từ hình vẽ ta có: r r -a Do đó: r 2 r 2 a2 - 2ar = ma2  Thay vào (4.16), ta có: I r 2 dm r2dm a2 dm - 2a rdm Mômen quán tính của vật đối với trục đi qua A Mômen quán tính I của vật C 2a mr đối với trục đi C qua khối tâm C
27. LOGO 4.4 ĐỘNG NĂNG CỦA VẬT RẮN QUAY QUANH MỘT TRỤC CỐ ĐỊNH
28. ĐỘNG NĂNG CỦA VẬT RẮN QUAY QUANH MỘT TRỤC CỐ ĐỊNH LOGO  Động năng tịnh tiến: 1 K mv 2 2 C  Nếu vật lăn: vừa tịnh tiến vừa quay thì: K K tt K q 1 1 K mv2 I2 2 C 2 vC Hình 4.18: Chuyển động quay và tịnh tiến của vật rắn
29. ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN MÔMEN ĐỘNG LƢỢNG CỦA VẬT RẮN QUAY LOGO 4.5.1 Trƣờng hợp một vật rắn  Cho vật rắn quay quanh một trục cố định. Vật rắn cô lập thì mômen lực tác dụng lên nó bằng không nên: dL M 0 dt  Vậy L I const Khi vật rắn không bị tác dụng của ngoại lực hay tổng mômen ngoại lực tác dụng lên nó bằng không thì mômen động lƣợng của nó đƣợc bảo toàn.
30. ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN MÔMEN ĐỘNG LƢỢNG CỦA VẬT RẮN QUAY LOGO R tăng R giảm I tăng I giảm Quay chậm Quay nhanh ω giảm Hình 4.19: Ví dụ định luật bảo toàn momen động lượng ω tăng quay chậm quay nhanh
31. ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN MÔMEN ĐỘNG LƢỢNG CỦA VẬT RẮN QUAY LOGO  Gọi M là mômen lực toàn phần tác dụng lên vật rắn. n M  Mi i 1 d L Ta có: M dt dL Vì: M 0 0 L const dt n Vậy: L Iiωi const 4.29 i 1 Nếu hệ cô lập hay mômen lực tổng hợp tác dụng lên hệ vật bằng không thì mômen động lƣợng của hệ đƣợc bảo toàn.
32. ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN MÔMEN ĐỘNG LƢỢNG CỦA VẬT RẮN QUAY LOGO Giải thích Theo định luật bảo toàn mômen động lƣợng I11 I22 0 I1 là mômen quán tính của vành xe, I2 là mômen quán tính của ngƣời và ghế. I1 Ta suy ra: 2 1 I2 Dấu trừ trong biểu thức trên chứng tỏ ngƣời và ghế quay ngƣợc chiều so với chiều quay của vành xe nhƣ thực nghiệm đã xác nhận.
33. CON QUAY LOGO 4.6.1 Định nghĩa Con quay là một vật rắn đối xứng tròn xoay có thể quay nhanh chung quanh trục đối xứng của nó. Thông thƣờng, ngƣời ta chế tạo con quay dƣới dạng một cái vô lăng. Tùy theo yêu cầu sử dụng, ngƣời ta có thể làm cho trục con quay hoàn toàn cố định hoặc có một điểm cố định hoặc hoàn toàn tự do. Một con quay Nhật Bản
34. CON QUAY LOGO Ý nghĩa:Vectơ vận tốc góc ω const , mà ω trùng với trục quay nên trục quay định hƣớng cố định trong không gian. Ứng dụng: la bàn cơ học, đạn pháo xoáy, ngƣ lôi xoáy, máy bay trinh sát không ngƣời lái bay theo tuyến định sẵn. La bàn cơ học
35. CON QUAY LOGO Chứng minh Trong khoảng thời gian ta có: L M t M OA mg m là khối lƣợng của con quay  Áp dụng quy tắc vặn nút chai, ta thấy M hƣớng vào trong, do đó L cũng hƣớng vào trong. Nghĩa là đầu A gắn chặt với L sẽ quay từ từ vào trong với vận tốc góc Ω.
36. CON QUAY LOGO 4.6.4. Con quay đối xứng Trên đây là con quay về nguyên tắc. Thực tế, để khỏi có đối trọng B làm cân bằng, ngƣời ta chế tạo con quay đối xứng nằm trong giá các đăng. Hình 4.23
37. CON QUAY LOGO Theo định luật bảo toàn mômen động lƣợng thì chừng nào chƣa có ngoại lực tác dụng thì trục con quay AA’ giữ phƣơng không đổi trong không gian (vì phƣơng của L hay ω không đổi). Nếu giá đỡ lệch khỏi hƣớng đã định thì trục con quay vẫn giữ nguyên phƣơng đã có. Hiệu ứng con quay hồi chuyển tự do đƣợc ứng dụng để điều chỉnh tự động đƣờng đi của máy bay, tàu thủy, tên lửa, theo phƣơng đã định.