Bài giảng Vật lý chất rắn đại cương - Chương V: Khí điện tử tự do Fermin

Nội dung text: Bài giảng Vật lý chất rắn đại cương - Chương V: Khí điện tử tự do Fermin

1. Slide 1 Ch−ơng V Khíđiệntửtựdo Fermi ắTrong kim loại các điện tử hoá trị đ−ợc coi nh− tách khỏi nguyên tử vμ tạo ra trong tinh thể một khí điện tử, còn tại các nút mạng chỉ có các gốc ion. ắ Các khí điện tử nμyđ−ợc coi lμ tự do: -Quãng đ−ờng tự do lớn,~108-109 khoảng cách giữacác nguyên tử. - Khôngcóvachạmgiữacácđiệntử. ắ Mẫuđiệntửtựdo tồntại đ−ợc lμ nhờ các lý do sau: -Các điện tử dẫn không bị tác động của các ion, có thể coi thế Coulomb của các ion U(x)=0. -Các điện tử dẫn rất ít va chạm với nhau do chúng phải tuân theo nguyên lý Pauli. ắ Khíđiệntửkhôngt−ơng tác, tuân theo nguyên lý Pauli đ−ợc gọi lμ khíđiệntửtựdo Fermi. Slide 2 V.1. Mức năng l−ợng vμ mật độ trạng thái trong tr−ờng hợp một chiều ắGỉasửđiệntửcókhốil−ợng m chuyển động giới hạn trong đoạn dμi L, ở 2 đầu của đoạn nμycóhμng rμo thế cao vô cùng. Hμng rμonμy thay cho các t−ơng tác gĩ− điện tử ở trong tinh thể. ắHμm sóng của điện tử Ψn(x) đ−ợc xác định bởi ph−ơng trỡnh Schrodinger&& Hψ = εψ Pˆ 2 Toán tử Hamiltơn Hˆ = (bỏ qua thế nang) ˆ d 2m P= − ih trong đóPˆ lμ toán tử động l−ợng dx 2d 2ψ (x) HΨ = − h n = ε Ψ n 2m dx 2 n n Trong đó: εn-năng l−ợngđiệntửởtrạng tháin được mô tả bởi hμm sóng ψn Slide 3 -Điều kiện biên cố định: ψn(0)=0 vμ ψn(L)=0, vì có các rμothếở2 đầu. -Điềukiệnbiêntrênđ−ợc đáp ứng tự nhiên nếu hμmsóngcódạng hμm sin, còn n lμ số nửa b−ớc sóng đặt trên đoạn L. Thực vậy: ⎛ 2π ⎞ 1 2L ⎜ ⎟ ψn ~ sin⎜ x⎟ ; nλn = L hay λn = ⎝ λn ⎠ 2 n ⎛ nπ ⎞ ψn = Asin⎜ x⎟ A lμ hằng số ⎝ L ⎠ Schrodinger Hμm ψn phải đáp ứng ph−ơng trình && : 2 dψ nπ⎛ n π ⎞ d2ψ ⎛ nπ ⎞ ⎛ nπ ⎞ n = A cos⎜ x ⎟ ; n = −A⎜ ⎟ sin⎜ x ⎟ dx L ⎝ L ⎠ dx 2 ⎝ L ⎠ ⎝ L ⎠ 2 2 2 2 ⎛ nπ ⎞ nπ h ⎜ ⎟ ψ= ε ψ Hay h ⎛ ⎞ n n n εn = ⎜ ⎟ 2m ⎝ L ⎠ 2m ⎝ L ⎠ Năng l−ợng lμ hμmbậc2 củasốl−ợng tử n.
2. Slide 7 V.2. Sự phụ thuộc vμo nhiệt độ của hμmphânbốFermi-Dirac -Trạng thái cơ bản của các hệ lμ trạng thái ở độ không tuyệt đối. Các trạng thái d−ới mức Fermi bị chiếm, trên mức Fermi trống -Khinhiệt độ tăng lên, động năng của khí điện tử tăng. Điện tử có năng l−ợng cao hơn mức Fermi chiếm các trạng thái trên mức Fermi → Để lại trạng thái trống d−ới mức Fermi. -Điệntử tuân theo hμmphânbốFermi-Dirac: 1 f (ε ) = e(ε−μ ) / kB T + 1 Hμm Fermi-Dirac cho thấy xác suất điện tử chiếm trạng thái ứng với mức năng l−ợng ε ở nhiệt độ T Đại l−ợng μ gọi lμ thế hoá học, ởđộkhôngtuyệtđốithếhoá học bằng năng l−ợng Fermi. ở nhiệt độ thấp giá trị μ gần với giá trị εF. Slide 8 Nhiệt độ Fermi Slide 9 -Nh− vậy năng l−ợng Fermi lμ năng l−ợng của trạng thái cao nhất có điện tử chiếm ở không độ tuyệt đối. -Khi ε-μ >> kBT: f(ε) ≈ exp[(μ-ε)/kBT] Hμmnμygầnvớihμm phân bố Boltzmann. V.3. Khíđiệntửtựdo trongtr−ờng hợp 3 chiều V.3.1. Bμi toán ba chiều biên cố định Ph−ơng trình đối với hạt tự do trong tr−ờng hợp 3 chiều : 2⎛ ∂ 2 ∂ 2 ∂ 2 ⎞ − h ⎜ + + ⎟ψ ()()r= ψ r ⎜ 2 2 2 ⎟ k ε k k 2m ⎝ ∂ x∂ y∂ z ⎠ Nếuđiệntửbịgiớihạn trongmộtthểtíchhữuhạn códạng hộp cạnh L thì nghiệm của ph−ơng trình nμycódạng :
3. Slide 13 r → r Vận tốc hạt trong trạng thái với véctơ sóng :k v= h k / m - ở trạng thái cơ bản , các trạng thái bị chiếm đ−ợc biểu diễn bằng các điểm bên trong hình cầu trong không gian k. -Năng l−ợng ứng với bề mặt của cầu lμ năng l−ợng Fermi , các véctơ sóng có độ dμibằngkF có đầu nhọn chạm mặt cầu, mặt cầu nμyđ−ợc 2 gọi lμ mặt Fermi : ε = h k 2 F 2m F r -Mỗi trạng thái ứng với 1 thể tích (2π/L)3 trong không gian . k -Số các trạng thái cho phép bằng: 3 4π k /3 V 3 2 F = k= N (2π / L)3 3π2 F Số 2 chỉ rằng có 2 giá trị spin mS đối với mỗi giá trị cho phép k. -Tổngsốtrạng tháichobằngsốđiệntử 3/1 ⎛ 3π2 N ⎞ ⎜ ⎟ kF = ⎜ ⎟ ⎝ V ⎠ Slide 14 BánkínhcầuFermi kF chỉ phụ thuộc vμomậtđộhạt N/V mμ không phụ thuộc vμokhốil−ợng m 3/2 2⎛ 3π 2 N ⎞ = h ⎜ ⎟ ε F ⎜ ⎟ Cu có εF=7eV 2m ⎝ V ⎠ Vận tốc điện tử trên mặt Fermi 3/1 k ⎛ 3π2 N ⎞ hF h ⎜ ⎟ vF = = ⎜ ⎟ m m ⎝ V ⎠ V.3. 3. Mật độ trạng thái Mật độ trạng thái D(ε) lμ số trạng thái có trong một khoảng đơn vị năng l−ợng ε. 2 2 3/2 2/3 ⎛ 3π N ⎞ V⎛ 2 mε ⎞ = h ⎜ ⎟ hay N = F ε F ⎜ ⎟ 2⎜ 2 ⎟ 2m ⎝ V ⎠ 3π ⎝ h ⎠ Mật độ trạng thái tại mức năng l−ợng Fermi 2/3 dN V⎛ 2 m ⎞ 2/1 D()ε F = = 2⎜ 2 ⎟ ε F dε F 2π ⎝ h ⎠ Slide 15 Ta có thể thu đ−ợc kết quả đơn giản hơn: 3 dN 3 dε F ln N =lnε F + const Hay = 2 N 2 ε F dN 3N D()ε F = = dεF 2 ε F Nh− vậy mật độ trạng thái hay số trạng thái trên một khoảng đơn vị năng l−ợnggầnmứcFermi tỷlệvớitỷsốcủasốđiệntửdẫnvới năng l−ợng Fermi. V.4. Nhiệt dung của khí điện tử -Theo thuyết cổ điển nếu có N điện tử thì nhiệt dung điện tử lμ 3NkB/2. -Kết quả nμy gấp 100 lần giá trị thực nghiệm ở nhiệt độ phòng. -Nguyên lí Pauli vμ lý thuyết khí điện tử Fermi cho thấy không phải tất cảcácđiệntửcónăng l−ợng lμ kBT. -Khi nâng từ 0K lên nhiệt độ T, chỉ có các điện tử ở các trạng thái ứng với năng l−ợng trongkhoảngkBT gần mức Fermi mới bị kích thích
4. Slide 19 ∂ f ε −ε F exp[(ε −ε FB)/]k T = 2 2 ∂ T kB T {exp[(ε− ε FB) /k T ]+ 1} Đặt x ≡ (ε-εF)/kBT x ∞ 2 2 e Cele = D()ε FB k T∫ x x 2 dx −ε FB/ k T (e + 1) x Vỡ e rất nhỏ khi x=-εF/kBT vμ ở nhiệt độ thấp giới hạn d−ới của tích phân thay bằng -∞ ∞ ex π2 x2 dx = ∫ x 2 −∞ (e+ 1) 3 1 C = π 2 D()ε k2 T ele 3 FB dN 3NN3 Ta lại có D()ε F = = = ; kBFF T = ε dεF 2 ε F 2kBF T 1 2 3N 2 1 2 T Vậy Cele = π kB T = π Nk B 3 2kBF T 2 TF Slide 20 ắ Nhiệt dung của kim loại -Nhiệt dung tổng cộng của kim loại ở nhiệt độ T <<TF vμ T<< θD : C = γT+αT3 γ, α lμ các hằng số γT lμ phần nhiệt dung của điện tử ( đóng góp của điện tử ). αT3 lμ phần nhiệt dung của mạng ( đóng góp của Phonon ). -Phần nhiệt dung của điện tử tuyến tính với T nên chiếm −u thế ở nhiệt độ thấp C = γ + α T2 T -giá trị γexp đo đ−ợc bằng thực nghiệm không trùng với giá trị lý thuyết: 2 2 1 T 1 2 2 π N k z C = π2 Nk γ= πD() ε k = 0 B ; free 2 B T free FB F 3 2ε F 3 N D()ε = Trongđólấy F ; N0 lμ số Avogadro, z- hoá trị của nguyên tố. 2 ε F -Thông th−ờng ng−ời ta thay mth khối l−ợngđiệntửnhiệthiệu dụng cho khí điện tử dẫn trong kim loại: m * γ th = exp ; m γ free Slide 21
5. Slide 25 r Số gia của vận tốc δvr: δk δvr = h mr δ vr = − eE τ / m r r r dvr F − eE F= mar = m hay δ vr = δ t = δ t dt m m r Mậtđộdònggâybởiđiệntr−ờngE lμ: v r j= nq δ vr = ne2 τ E / m trong đónδ vr lμ số hạt qua đơn vị thiết diện trong đơn vị thời gian 2 Độdẫnđiệnσ theo định nghĩa lμ hệ số tỉ lệ ne τ r r σ = giữa mật độ dòngj vμ điện tr−ờng E m r r JE= σ Điện trở suất ρ lμ đại l−ợng tỷ lệ nghịch của độ dẫn điện: 1 m ρ = = σ ne2τ Slide 26 Có thể hiểu công thức trên nh− sau: -Điệntíchdịchchuyểntỷlệ với mật độ điện tích ne. -Số nhân e/m xuất hiện lμ do giatốccủađiệntíchnetrong điện tr−ờng đã cho tỷ lệ thuận với giá trị của điện tích vμ tỷ lệ nghịch với khối l−ợng. -Thông số τ gọi lμ thời gian hồi phục, đặc tr−ng cho khoảng thời gian mμ điện tr−ờng tác dụng lên hạt tải điện tích tự do. Khái niệm quãng đ−ờng tự do trung bình l của điện tử dẫn: l=vFτ vF lμ vận tốc điện tử trên bề mặt cầu Fermi. -Tất cả các va đập chỉ xảy ra đối với phần các điện tử trong không gian k nằm gần mặt Fermi Slide 27 ắKết quả thực nghiệm về điện trở của kim loại: -Trong đa số kim loại có điện trở ở300K lμ do va đập của điện tử dẫn với phonon mạng, còn ở nhiệt độ Heli lỏng (4K) do va đập với các nguyên tử tạp chất vμ các sai hỏng của mạng nh− nút khuyết, lệch mạng -Điện trở suất ρ của kim loại chứa tạp chất có thể viết d−ới dạng: ρ=ρL+ρI Trong đó ρL lμ điện trở suất do dao động mạng, ρI lμ điện trở suất do tán xạ của điện tử trên tạp chất. -Nguyên lý Matthiessen: nếu ρ tạp ít thì ρI không phụ thuộc vμo nhiệt độ. Khi ngoại suy đồ thị tới T=0K ta đ−ợc điện trở suất d−, giá trị nμy t−ơng đ−ơng với ρI vì ρ L → 0 khi T → 0K. T ρL~Tở nhiệt độ cao 0 5 ρL~T ở nhiệt độ thấp T<<θ
6. Slide 31 V.8. Phản ứng điện môi của khí điện tử . - Nếu không có va đập thì ph−ơng trình chuyển động của điện tử tự d2 x do trong điện tr−ờng có dạng: m = −e ξ dt 2 Trong đó ξ lμ điện tr−ờng xoay chiều. -x vμ ξ phụ thuộc vμo thời gian : x= X.e−i ω t ; ξ = E.e −i ω t eE − ω2mX = − eE hay X = mω2 e2 E Mô men l−ỡng cực p của điện tử p= − eX = − mω2 ne2 E Mô men phân cực của đơn vị thể tích P= − neX = − mω2 Sự liên hệ giữa điện tr−ờng vμ cảm ứng điện khi có phân cực: r r r D= ε ε0 (E + P) D(ω ) P(ω ) ne2 Hằng số điện môi: ε() ω = =1 + =1 − εE( ω ) εE( ω ) εm ω2 ε lμ hằng số điện môi. 0 0 0 Slide 32 Tần số plasma: 2 2 ne ωp = ε0m Sự phụ thuộc của hằng số điện môi vμotầnsốđiện tr−ờng của một hệ khí điện tử : ω 2 ε( ω ) = 1 − p ω2 Slide 33 ắTruyền sóng điện từ trong plasma -ở tần số nhỏ hơn ωP thì ε(ω) ωP, vì 2 2 2 2 trongvùngnμyhμmđiệnmôid−ơng: ω =ωP +c k -Một số giá trị của tần số plasma ωP vμ b−ớc sóng λP ≡ 2πc/ωP ứng vớinồngđộđiệntửn: n (số điện tử/cm3) 1022 1018 1014 1010 15 13 11 9 ωP (độ/sec) 5,7.10 5,7.10 5,7.10 5,7.10 -5 -3 λP (cm) 3,3.10 3,3.10 0,33 33
7. Slide 37 2 -Tại 0K ta có thế điện hoá μ: μ =ε 0 = h (3π 2n ) 3/2 F 2m 0 chỉ số 0 lμ tĩnh điện khi ch−a có q. -ở vùng điện tích mẫu có thế tĩnh điện bằng ϕ(r) : 2 μ =ε ()()r − eϕ r ≈ h [3π 2n ( r )] 2/3 − eϕ ( r ) F 2m Đây lμ biểu thức gần đúng Thomas-Fermi. -Gần đúng Thomas-Fermi cho rằng thế hoá định xứ có thể đ−ợc xác định nh− hμm của nồng độ điện tử tại điểm đó. Nó có thể áp dụng cho thếtĩnhđiện, nếunóítbiếnđổitrongkhoảngcáchcỡb−ớc sóng điện tử. -Nếu thế điện hoá giữ nguyên giá trị khi thế tĩnh điện thay đổi thì ta có: 2 2 h [3π 2n ( r )] 2/3 − eϕ ( r ) = h [3π 2n ] 3/2 =ε = μ 2m 2m 0 F Slide 38 Coi [n(r)-n0] lμ số gia của n vμ phân tích biểu thức trên thμnh chuỗi Taylor : dεF r r [n(r)− n]0 ≈ e ϕ (r) dn0 2 ε =h (3 π2 n ) 3/2 F 2m 0 Lấy đạo hμm hai vế 3 eϕ (r)r dεF 2 εF r = n(r)− n 0 ≈ n 0 2 ε dn0 n3 0 F 3n e2 Ph−ơng trỡnh Poisson ∇2 ϕ = 0 ϕ = λ2 ϕ 2ε0ε F 3 n e2 4n 3/1 λ2 = 0 ≈0 =4 π e2 D( ε ) F a -bánkínhBohr 2ε0 ε F a0 0 qe−λr -Ph−ơng trỡnh trên có nghiệm dạng: ϕr)r( = r Slide 39
8. Slide 43 4 2 Nếu ε1 ứng với 1K, εF ứng với 5.10 K thì (ε1/εF) ≈ 4.10-10. Giá trị nμy đặc tr−ng cho độ giảm va đập do nguyên lý Pauli. -Khi ởnhiệt độ thấp kBT Động l−ợng điện tử thay đổi nhiều hơn trong quá trình N tán xạ điện tử-phonon thông th−ờng ở nhiệt độ thấp. r r r k+ qr + G = k' góc tán xạ có thể đạt tới π Khi mặt Fermi không cắt biên vùng Brillouin, có một số véctơ sóng q0 cực tiểu của phonon đối với quá trình tán xạ nhảy ng−ợc
9. Slide 49 ⎛ d 1 ⎞ r r m⎜ + ⎟δvr = − e( E + δ vr ì B) ⎝ dt τ ⎠ Đại l−ợng vận tốc δvr lμ giá trị trung bình lấy trên mặt Fermi. V.12.1.Tần số Cyclotron Xét ph−ơng trình chuyển động đối với tr−ờng hợp từ tr−ờng B dọc theo trục z, để đơn giản ta coi τ=∞ vμ E=0. Ph−ơng trình đ−ợc viết d−ới dạng thμnh phần: d d eB m δv = − eB δ v δv = − δv dt x y dt x m y d d eB m δv = eB δ v δv y = δv x dt y x dt m δv= v cosω t Nghiệm của chúng có dạng x 0 C δvy = v 0 sin ω C t eB Tần số ω gọi lμ tần số Cyclotron ω ≡ C C m đối với điện tử tự do. Slide 50 -Đối với điện tử tự do ở từ tr−ờng 1Tesla có: 11 ωC=1,76.10 Rad/sec. -Nếu thời gian hồi phục trong Cu tinh khiết bằng 2.10-4s ở -9 -3 2 300K vμ 2.10 s ở 4K thì ωCτ=3,5.10 vμ 3,5.10 chứng tỏ rằng không thể hình thμnh đ−ợc quỹ đạo Cyclotron ở nhiệt độ phòng, còn ở nhiệt độ Heli tr−ớc khi va đập điện tử thực hiện nhiều vòng theo quỹ đạo. ωτ = 3510,. −3 C 300K ωτ = 3510,. 2 C 4 K -điều kiện điện tử chuyển động theo vòng xoắn. ωCτ > (2π) hay fCτ >1 Slide 51 V.12.2.Từ điện trở tĩnh: ⎛ d 1 ⎞ Tr−ờng hợp từ tr−ờng 1 chiều m⎜ + ⎟δvx = − e() Ex + B δ v y ⎝ dt τ ⎠ B h−ớng dọc theo trục z, lúc ⎛ d 1 ⎞ m⎜ + ⎟δvy = − e() Ey − B δ v x đó ph−ơng trình chuyển ⎝ dt τ ⎠ động đối với các điện tử có ⎛ d 1 ⎞ m⎜ + ⎟δvz = − eEz dạng: ⎝ dt τ ⎠ eτ δv = − E− ω τδ v Trong điều kiện tĩnh đạo x m x C y eτ hμmtheothờigianbằng0 δv = − E+ ω τδ v y m y C x eτ δv = − E z m z Giải ph−ơng trình eτ / m δv = − E( − ω τ E ) theo δvx vμ δvY x 2 x C y 1+ ( ωC τ ) eτ / m δv = − E( + ω τ E ) y 1+ ( ω τ )2 y C x C
10. Slide 55 σ0 eBτ m jx = 2 E( x− ω C τ E y ) E y = − EEx Suy ra x = − Ey 1+ ( ωC τ ) m eBτ E E R =y = y H σ jx B 0 2 E( x− ω C τ E y )B 1+ ( ωC τ ) eB τ 1 ωC τ m 1 RH = − = −2 = − R = − σ B ne τ ne H 0 B ne m 2 với ωC=eB/m; σ0=ne τ/m -RH âm nếu coi e lμ điện tích d−ơng -Nồngđộhạt dẫncμng nhỏ thì hằng số Hall cμng cao. Vì vậy đo RH có thể xác định đ−ợc nồng độ hạt dẫn. Slide 56 -Nếu thời gian hồi phục τ đối với tất cả các điện tử phụ thuộc vμo vận tốc thì biểu thức tính RH có thêm một hệ số gần 1 trong tr−ờng hợp có 2 loại hạt dẫn lỗ vμ hạt. -Có thể xảy ra tr−ờng hợp thu đ−ợc các RH d−ơng ởmột số kim loại chuyển tiếp, chính giá trị d−ơng của RH lμ bằng chứng của sự t ồ n t ạ i l ỗ t rố n g . -24 -24 -Vật dẫn RH (10 đv CGS) Vật dẫn RH (10 đv CGS) Li -1,89 Ag -1,0 Cu -0,6 In +1,714 Au -0,8 As +50