Bài giảng môn Trường điện từ - Chương 1: Vector và trường

Nội dung text: Bài giảng môn Trường điện từ - Chương 1: Vector và trường

1. Chương 1: Vector và Trường EM-Ch1 1
2. 1.1 Đại số vector a) Vector (A) và Vô hướng (A): . Vector: Đại lượng vật lý, đặc trưng bởi cả độ lớn và hướng trong không gian.  Ví dụ: Vận tốc,lực . Vô hướng: Đại lượng vật lý, đặc trưng chỉ bởi độ lớn.  Ví dụ: Khối lượng, điện tích EM-Ch1 3
3. c) Tích vô hướng: . Là một vô hướng: ABABABAB.1 1 2 2 3 3 A.B.cosθ AB AA.A2 . Rất thuận tiên khi tìm góc giữa 2 vector: 1 (A .B) θ cos AB (A.B) EM-Ch1 5
4. e) Tích hỗn hợp có hướng: . Là vector : A (B C) . Tổng quát : A (B C) B (C A) C (A B) EM-Ch1 7
5.  Ví dụ 1.1.1: Đại số vectơ Cho 3 vector: A 3a1 2a 2 a 3 B a1 a 2 a 3 C a1 2a 2 3a 3 a) Tính: A B 4C ? (3 1 4)a1 (2 1 8)a 2 (1 1 12)a 3 5a23 12a A B 4C 25 144 13 EM-Ch1 9
6.  Ví dụ 1.1.1: Đại số vectơ (tt) Cho 3 vector: A 3a1 2a 2 a 3 B a1 a 2 a 3 C a1 2a 2 3a 3 c) Tính: A.C (3*1) (2*2) (1*3) 10 a1 a 2 a 3 d) Xác định: B C 1 1 1 5a1 4a 2 a 3 1 2 3 EM-Ch1 11
7.  Ví dụ 1.1.2: Đại số vectơ Cho 2 vector: A 3ax 2a y a z B ax 3a y 2a z a) Tính: C 2A 3B b) Xác định vector đơn vị aC và góc hợp bởi nó với trục Oz ? a) Ta có: b) Vector đơn vị : EM-Ch1 13
8. 1.2.1 Hệ tọa độ Đề các: a) Các vector đơn vị: * P(x, y, z) z * a , a, a az x y z P(x,y,z) ay A A a A a A a ax xx y y z z az z O * Luật bàn tay phải : ay y ax x a z y a x a y x EM-Ch1 15
9. c) Vector từ P1(x1,y1,z1) đến P2(x2,y2,z2): z P2(x2, y2, z2) r12 P1(x1, y1, z1) O y x r12 (x 2 x 1 )a x ( y 2 y 1 )a y ( z 2 z 1 )a z EM-Ch1 17
10. 1.2.2 Hệ tọa độ trụ: z * P(r, , z) a z r a * arz , a , a z P(r, ,z) a r y A Arz arz A a A a x * Luật bàn tay phải : a a z a r a r a EM-Ch1 19
11. 1.2.4 Chuyển đổi giữa các hệ tọa độ: Đề các Trụ r x22 y y (,,)x y z tg 1 x zz xrcos yrsin (,,)rz EM-Ch1 21
12. Ví dụ 1.2.2: Xác định x, y, z ? Chú ý: x = r cos x = r sin cos y = r sin y = r sin sin z = z z = r cos (a) Cho P(2, 5 /6, 3) trong hệ tọa độ trụ. z x 2 cos 5 6 – 3 3 1 2 y 2 sin 5 6 1 3 z 3 2 y x 5 /6 EM-Ch1 23
13. Ví dụ 1.2.2: Xác định x, y, z ? Chú ý: x = r cos x = r sin cos y = r sin y = r sin sin z = z z = r cos (c) Cho P(4, 2 /3, /6) trong hệ tọa độ cầu. 2 z x 4 sin cos 3 36 2 2 /3 y y 4 sin sin 3 9 3 4 4 36 /6 x z 4 cos – 2 4 3 EM-Ch1 25
14. 1.2.5 Chuyển đổi vector giữa các hệ tọa độ: Đề các Trụ Arx cos sin 0 A A sin cos 0 Ay Azz 0 0 1 A Axr cos sin 0 A Ay sin cos 0 A Azz 0 0 1 A EM-Ch1 27
15.  Ví dụ 1.2.3: Chuyển đổi vector Cho: A ar at 2, 6, 2 ? B a at 1, 3,0 ? Đề các C a at 3, 4,3 / 2 ? Ax sin( / 6)cos( / 2) cos cos sin 1 Ay sin ( / 6)sin ( / 2) cos sin cos 0 Az cos( / 6) sin 0 0 13 A sin( / 6)ay cos( / 6)a z22 a y a z EM-Ch1 29
16.  Ví dụ 1.2.3: Chuyển đổi vector Cho: A ar at 2, 6, 2 ? B a at 1, 3,0 ? Đề các C a at 3, 4,3 / 2 ? Ax sin cos cos cos sin(3 / 2) 0 Ay sin sin cos sin cos(3 / 2) 0 Az cos sin 0 1 C sin(3 / 2)azx a x EM-Ch1 31
17. a) Công thức chung: dl hdua1 11 hdua 2 2 2 hdua 3 3 3 d S d S1 d S 2 d S 3 dS1 a 1 dS 2 a 2 dS 3 a 3 h2323 h du du a1 h 1313 h du du a 2 h 1212 h du du a 3 dV h1 h 2 h 3 du 1 du 2 du 3 Hệ số tọa độ h1 h2 h3 (Larmor) Đề các : 1 1 1 Trụ : 1 r 1 Cầu: 1 r rsin EM-Ch1 33
18.  Vi phân thể tích: EM-Ch1 35
19.  Vi phân thể tích: EM-Ch1 37
20.  Vi phân thể tích: EM-Ch1 39
21. i. Tích phân đường: B =Tích phân đường của E từ A đến B. UAB E.dl A . Ý nghĩa của tích phân này phụ thuộc tính chất của trường vectơ E. Ví dụ nếu E là trường lực thì tích phân cho ta công của lực. E.dl =Tích phân đường của E dọc theo đường kín C. C = còn gọi là lưu số của trường E trên đường C. EM-Ch1 41
22.  Ví dụ 1.3.1: Tính tích phân đường (tt) . Từ (0, 0, 0) đến (1, 0, 0): z z0, y 0 dz 0, dy 0 (1, 2, 3) (1,0,0) F 0 Fdl 0 (0, 0, 0) y (0,0,0) (1, 0, 0) (1, 2, 0) x EM-Ch1 43
23.  Ví dụ 1.3.1: Tính tích phân đườngz (tt) (1, 2, 3) . Từ (1, 2, 0) đến (1, 2, 3), (0, 0, 0) y x1, y 2 dx 0, dy 0 (1, 0, 0) (1, 2, 0) x F 2az dl (dx )ax ( dy )a y ( dz )a z ( dz )a z (1,2,3) 3 F.dl2dz Fdl 2 dz 6 (1,2,0) 0 (1,2,3) Fdl 0 0 6 6 (0,0,0) EM-Ch1 45
24.  Ví dụ 1.3.2 : Tính tích phân mặt z Cho: , 2 A (xx )axy ( )a Tìm: AdS y S 2 2 x x 2 A (2)axy (2)a dSdydz ax 22 AdS 2dydz 8 S yz00 EM-Ch1 47
25.  Ví dụ 1.3.3: Tính tích phân khối Mật độ electron bên trong khối cầu bán kính 2 m cho bởi qui luật: 1000 n cos (electron/m3 ) e r4 Tìm điện tích của toàn bộ khối cầu biết điện tích của electron là – 1,6.10–19 C.  Gọi N = số electron chứa trong khối cầu, ta có :  Điện tích khối cầu: Q =N*e = EM-Ch1 49
26. a) Gradient của trường vô hướng:  Toán tử grad: 1UUU 1 1 gradU or U a1 a 2 a 3 h1 u 1 h 2 u 2 h 3 u 3 EM-Ch1 51
27.  Các tính chất của toán tử grad: i. Biên độ của gradV bằng tốc độ tăng cực đại gradV Q của hàm V trong không gian (dV/dℓmax). dℓ ii. Hướng của gradV là hướng tăng cực đại P của hàm V trong không gian. V=const iii. GradV tại điểm P sẽ vuông góc với mặt V = const tại P. Và vectơ đơn vị pháp tuyến của mặt V = const tại P xác định theo: Vector đơn vị pháp tuyến tại P = (gradVP) / |gradVP| iv. Độ tăng của hàm V theo hướng aℓ là hình chiếu của gradV xuống hướng đó. dV gradV.a d EM-Ch1 53
28. b) Divergence của trường vector : Định nghĩa: Là thông lượng của trường thoát khỏi một đơn vị thể tích. Fds divA or A lim S V 0 V Công thức tính: 1 ()h h A div A or A [2 3 1 ] h1 h 2 h 3 u 1 EM-Ch1 55
29.  Định lý Divergence : div AdV Ad S VS (dS hướng ra bên ngoài mặt S ) . Vế phải của định lý là thông lượng của trường A gửi qua mặt kín S. EM-Ch1 57
30. Ví dụ 1.4.4: Kiểm chứng định lý div (tt) Kiểm chứng tính đúng đắn của định lý Divergence bằng cách xét: A (3x )ax ( y 3)a y (2 z )a z Và S là mặt hộp giới hạn bởi : x = 0; x = 1; y = 0; y = 2; z = 0; z = 3 Trên mặt x = 1: A 3ax (yz 3)a y (2 )a z AdS 3dydz dSdydz ax 23 AdS 3dydz 18 x 1 0 0 EM-Ch1 59
31. Ví dụ 1.4.4: Kiểm chứng định lý div (tt) Kiểm chứng tính đúng đắn của định lý Divergence bằng cách xét: A (3x )ax ( y 3)a y (2 z )a z Và S là mặt hộp giới hạn bởi : x = 0; x = 1; y = 0; y = 2; z = 0; z = 3  Trên mặt y = 2: A 3xz ax a y (2 )a z dSdxdz ay AdS dxdz 13 AdSdxdz 3 y 2 0 0 EM-Ch1 61
32. Ví dụ 1.4.4: Kiểm chứng định lý div (tt) Kiểm chứng tính đúng đắn của định lý Divergence bằng cách xét: A (3x )ax ( y 3)a y (2 z )a z Và S là mặt hộp giới hạn bởi : x = 0; x = 1; y = 0; y = 2; z = 0; z = 3  Trên mặt z = 3: A 3xy ax ( 3)a y a z AdS dxdy dSdxdy az 12 AdSdxdy 2 z 3 0 0 EM-Ch1 63
33.  Tổng kết: . Nếu divE > 0 : thông lượng của E hướng ra bên ngoài S. . Nếu divE < 0 : thông lượng của E hướng vào bên trong S. . Nếu divE = 0 : thông lượng của E vào và ra mặt kín S là như nhau. EM-Ch1 65
34.  Ví dụ 1.4.5: Tính toán toán tử rot 3 2 4 Cho vector: A xza.x 2 xyza . y 2 yza . z Tìm rotA, hay A , tại điểm P(1, -1, 1) ? . Theo công thức: ax a y a z A x y z xz322 x 2 yz yz 4 4 2 2 (2z 2 xya )x (3 xza ) y ( 4 xyza ) z . Tại P(1,-1,1): A34 ayz a EM-Ch1 67
35.  Kết luận: . Toán tử rot mô tả tính chất xoáy của trường vector. . Nếu rotE = 0 ta nói trường E là trường không xoáy, hay còn gọi là trường thế. EM-Ch1 69
36. e) Các định thức khác: ()grad(.)fg f g f . grad () g g . grad () f (f A) div( f .A) f .div(A) A.grad( f ) (A B) div(A B) B.rot(A) A.rot(B) (f A) rot( f A) grad( f ) A f .rot(A) (AA ) div(rot ) 0 (ff ) rot(grad( )) 0 EM-Ch1 71
37. a) Khái niệm trường : Trường là mô tả toán học, sự phụ thuộc vào không gian và thời gian của một đại lượng vật lý nào đó. EM-Ch1 73
38. c) Trường điện:  Vector cường độ trường điện E : . Một điện tích điểm đặt F bên cạnh vật mang điện, Electric field line e chịu tác dụng một lực . E Vật MĐ q > 0  Ta nói bên cạnh vật mang điện tồn tại trường điện , xác định bởi : . Vector cường độ trường điện = löïc ñieän / ñvò ñieän tích . Fe E lim [Vm / ] q0q EM-Ch1 75
39. . Ñoä thaåm ñieän töông ñoái (haèng soá ñieän moâi) : EM-Ch1 77
40. Mật độ điện tích phân bố: q dq i. Mật độ điện tích dài: ρ lim [C/m] 0 d q dq 2 ii. Mật độ điện tích mặt : ρS lim [C/m ] S 0 S dS q dq 3 iii. Mật độ điện tích khối : ρV lim [C/m ] V 0 V dV . Điện tích tổng: Qρ d or ρ dS or ρ dV [C] LSVSV . Nếu phân bố đều, mật độ điện tích không phụ thuộc tọa độ. Khi đó điện tích tổng xác định : Q ρ L or ρS S or ρV V [C] EM-Ch1 79
41.  VD 1.5.2: Tính điện tích vỏ cầu Vỏ cầu, tâm tại gốc tọa độ, bkính trong a = 2 cm , bkính -4 3 ngoài b = 3 cm, mang điện với mật độ khối V = 6r.10 C/m . Tìm Q của vỏ cầu ? Giaûi b a Ta có: QV .dV V 0 b2 Q (6r)(r24 sinθdrdθd ).10 a 0 0 6 b 2 (r44 ) ( cosθ) ( ) .10 Q 1,225 nC 4 a 00 EM-Ch1 81
42.  Vector cường độ trường từ H : . Môi trường chân không: HB[/]1 Am 0 7 0 4 .10 [Hm / ] = hằng số từ. . Môi trường từ môi: HBM[/]1 Am 0 (Vectơ phân cực từ)  Nếu từ môi đẳng hướng và tuyến tính: MHm B00 (1mr )H H BH = 0 r = độ thẩm từ tuyệt đối của môi trường [H/m]. r = độ thẩm từ tương đối [0]. m = độ cảm từ [0]. EM-Ch1 83
43.  Dòng điện: dq . Định nghĩa : I (A) dt . Là nguồn tạo ra trường từ. Có 2 mô hình cơ bản: EM-Ch1 85
44. ii. Vector mật độ dòng mặt : .Đặc điểm của vectơ mật độ dòng mặt : + chiều trùng chiều dòng. + độ lớn: Js = dI/dℓ . Dòng điện chạy qua đường L : IJsdl L EM-Ch1 87
45. 1.6.1 Luật bảo toàn điện tích : a) Phát biểu và dạng tích phân: Dòng điện thoát ra bên ngoài mặt kín S bằng tốc độ giảm của điện tích chứa bên trong mặt S. dq it() dt dq idJS S dt EM-Ch1 89
46. 1.6.2 Luật Gauss về điện: a) Phát biểu và dạng tích phân: Thông lượng của vector cảm ứng điện thoát ra bên ngoài mặt kín S bằng tổng điện tích chứa trong miền V giới hạn bởi mặt S đó. DdS q dV SVV EM-Ch1 91
47.  Ví dụ 1.6.1: Áp dụng luật Gauss Tìm thông lượng của vector cảm ứng điện thoát ra bên ngoài mặt S giới hạn bởi: x = 1, y = 1 và z = 1, biết mật độ điện tích khối bên trong : 2 2 2 V x, y , z0 3 x y z DSd dv SVV 1 1 1 3 x2 y 2 z 2 dx dy dz x1 y 1 z 1 0 1 1 1 83x2 y 2 z 2 dx dy dz 0 x0 y 0 z 0 111 83 0 333 16 0 EM-Ch1 93
48. b) Dạng vi phân : Từ: BdS 0 S divB D 0 Dạng vi phân của luật Gauss về từ. EM-Ch1 95
49. b) Dạng vi phân : Từ: Hdl I C enc . Do : Hdl = I JdS Ienc J.dS C enc S S Theo định lý Stokes: Hd l rot H d S CS rot H J (Dạng vi phân) EM-Ch1 97
50. b) Dạng vi phân : d Từ: EBSd l d dS CSdt B(t) (C) S B rot E d S d S, S SSt B rotE E Dạng vi phân t EM-Ch1 99
51.  Ứng dụng của luật Faraday: Máy phát DC Máy phát AC EM-Ch1 101
52.  Kiểm chứng luật Lenz: dec B 0 . 0 t 2 3 inc. –B0 emf B0 emf 0 EM-Ch1 103
53. Ví dụ 1.6.3: Giải a) Từ thông móc vòng qua một vòng dây : B.dS B 2 a 6 a sint . a dS 6 a2 B sin ωt m S S 00y z z d d b) emfN m 6 Na22 B sinωt 6 Nωa B cosωt dt dt 00 3 3 Khi N=10, a = 0.1 m, ω=10 rad/s and B0 = 0.2 T: emf = -377cos10 t V c) Tại t = 0, emf = -377cos103t = - 377 volts : điểm 2 có thế cao hơn điểm 1. emf 377 d) Dòng I trong mạch là : Icos1033 t 0.38cos10 t Amps R 103 EM-Ch1 105
54. a) Dòng điện dịch:  Từ luật Ampere: rot H J div(rot H) div J V t Do div(rot H) 0 (vector analysis) V 0 t  Luật Ampere chỉ đúng với dòng điện DC !!! EM-Ch1 107
55.  Luật Ampere-Maxwell: D HJSd l d (Dạng tích phân) C S t DD rot H J E (Dạng vi phân) tt EM-Ch1 109
56.  Ví dụ 1.7.1: Dòng điện dịch Môi trường chân không ( = 0, = 0, = 0) tồn tại trường từ: H H0y sintz a (A/m) (Với β = const). Xác định: (a) Vector mật độ dòng dịch ? (b) Vector cường độ trường điện ? Giải D βH0 2 b) Từ câu (a) ta có: Ddt sin( t z )a (C/m ) t ω x βH0 E sin(tz )ax (V/m) ωε0 EM-Ch1 111
57.  Ví dụ 1.7.2: Hệ phương trình Maxwell Môi trường chân không ( = 0, = 0, = 0) tồn tại trường điện: 9 E(z,t) 5cos(10tz ).ay (V/m) Dùng hệ phương trình Maxwell xác định β và vector cường độ trường từ ? Giải BH  Từ pt(2) của hệ pt Maxwell: rotE tt0 a a a H x y z rot E 0 t x y z 005cos(109 t βz) 9 5βsin(10t βz)a x 5β 9 H9 cos(10 t βz)a x μ0 .10 EM-Ch1 113
58. 1.8 Điều kiện biên của trường điện từ : EM-Ch1 115
59. b) ĐKB cho thành phần pháp tuyến: D2 D ( 2; 2; 2) 2n ( ; ; ) D 1 1 1 1n D 1 an DD ρ 1n 2n s ans (D12 D ) ρ (D1n D 2n ) ρsn .a B1n B 2n 0 an (B12 B ) 0 (B1n B 2n ) 0 ρs ρ JJ1n 2n t ρs s an (J12 J ) t (J1n J 2n )t .a n EM-Ch1 117
60. d) Các trường hợp đặc biệt: EM-Ch1 119
61. TH 2: Một môi trường là dẫn lý tưởng a n Môi trường 1 Môi trường 2 1 Điện môi ( 1 = 0) E1t 0 E2t 0 2 Dẫn lý tưởng H 0 an1HJs 2t D2n 0 ( 2 ) anD 1ρ S B2n 0 B1n 0 a n E1n H 1 1t 1 S J + + + + + + + + + + s 2 2 HJ1tS ρS E1n 1 EM-Ch1 121
62. e) Qui trình bài toán điều kiện biên: Giả sử biết trường điện trên biên về phía môi trường 1 (E1), xác định trường điện trên biên về phía môi trường 2 (E2). 1. Xác định vector đơn vị pháp tuyến an. 2. Xác định các thành phần pháp tuyến & tiếp tuyến của E1. EEE1 1n 1t E1n (E 1 .a n ).a n EEE1t 1 1n 3. Áp dụng ĐKB tìm E2. Áp dụng ĐKB thành phần pháp tuyến xác định E2n. Áp dụng ĐKB thành phần tiếp tuyến xác định E2t. EEE2 2n 2t EM-Ch1 123
63.  Ví dụ 1.8.1: Bài toán ĐKB (tt) Mặt phẳng z = 0 là biên của hai môi trường: môi trường 2 chiếm miền z 0 là điện môi lý tưởng có 1r = 40. Biết trường điện trên biên về phía môi trường chân không là : E2 13a x 40a y 50a z (V/m) Tìm trường điện trên biên về phía môi trường điện môi ? Giải  Các thành phần của E2 : E2n (E 2 .a n ).a n 50a z E2t E 2 E 2n 13a x 40a y EM-Ch1 125
64.  Ví dụ 1.8.2: Bài toán ĐKB Mặt phẳng z = 0 là biên của hai môi trường: môi trường 2 chiếm miền z 0 có µ1r = 4. Biết mật độ dòng mặt trên biên là : JS (1/ 0 )a y (mA/m) và trường từ trên biên về phía môi trường 1 : 2 B1 5a x 8a z (mWb/m ) Tìm trường từ trên biên về phía môi trường 2 ? Giải z a  Xác định an: Môi trường 1 n z = 0 a a Môi trường 2 nz biên EM-Ch1 127
65.  Ví dụ 1.8.3: Bài toán ĐKB hệ trụ Mặt trụ r = 0,1m là biên của hai môi trường. Môi trường 2 chiếm miền r 0,1m là chân không. Tìm trường từ trên biên về phía môi trường chân không ? Giải z Môi trường 1  Xác định an: a n Do vector đơn vị pháp tuyến Môi trường 2 của biên hướng từ môi trường 2 sang môi trường 1 nên ta có : biên anr a EM-Ch1 129
66.  Ví dụ 1.8.3: Bài toán ĐKB hệ trụ (tt) Mặt trụ r = 0,1m là biên của hai môi trường. Môi trường 2 chiếm miền r 0,1m là chân không. Tìm trường từ trên biên về phía môi trường chân không ? Giải z Môi trường 1  Các thành phần của B1 dùng ĐKB : a n Môi trường 2 B1n B 2n 0 biên B1t 1 H 1t 1 H 2t J S a n μ1 B2t 0.4a μ2 B1 0.4a (T) EM-Ch1 131
67.  Ví dụ 1.8.5: Bài toán ĐKB Cho vector cường độ trường từ phân bố trong hệ tọa độ trụ như 3 sau : ka a khi r a H 3r (Với k = const & r = kr2 bán kính hướng trục) 3 a khi r a a) Xác định vector mật độ dòng khối trong các miền ? b) Xác định vector mật độ dòng mặt trên mặt r = a ? Giải a) Theo luật Ampere: a ra a 11rz J rotH [rH ]a rrz r r z 00rH (r) 0 khi r a J kraz khi r a EM-Ch1 133