Bài giảng Sức bền vật liệu - Chương 8: Chuyển vị của dầm chịu uốn - Lê Đức Thanh

Nội dung text: Bài giảng Sức bền vật liệu - Chương 8: Chuyển vị của dầm chịu uốn - Lê Đức Thanh

1. Bài giảng sức bèn vật liệu Chương 8 CHUYỂN VỊ CỦA DẦM CHỊU UỐN I.KHÁI NIỆM CHUNG Khi tính một dầm chịu uốn ngang phẳng, ngoài điều kiện bền còn phải chú ý đến điều kiện cứng.Vì vậy, cần phải xét đến biến dạng của dầm.Dưới tác dụng của các ngoại lực, trục dầm bị uốn cong, trục cong nầy được gọi là đƣờng đàn hồi của dầm (H.8.1). P P z z K K v v y(z) K P Đường đàn hồi K P Đường đàn hồi ’ ’ z u y y H.8.1 H.8.2 01 V(z) 02 u Xét một điểm K nào đó trên trục dầm trước khi biến dạng.Sau khi biến dạng, điểm K sẽ di chuyển đến vị trí mới K/. Khoảng cách KK’được gọi là chuyển vị thẳng của điểm K. Chuyển vị nầy có thể phân làm hai thành phần: Thành phần (v) vuông góc với trục dầm (song song với trục y) gọi là chuyển vị đứng hay độ võng của điểm K. Thành phần (u) song song với trục dầm (trục z) gọi là chuyển vị ngang của điểm K. Ngoài ra, sau khi trục dầm biến dạng, mặt cắt ngang ở K bị xoay đi một góc , ta gọi là chuyển vị góc (hay là góc xoay) của mặt cắt ngang ở điểm K.Tại K/ vẽ tiếp tuyến với đường đàn hồi và hợp với trục chưa biến dạng của dầm một góc ta dễ thấy là góc xoay của mặt cắt ngang. Ba đại lượng u, v, là ba thành phần chuyển vị của mặt cắt ngang ở điểm K. Trong điều kiện biến dạng của dầm là bé thì thành phần chuyển vị ngang u là một đại lượng vô cùng bé bậc hai so với v, do đó có thể bỏ qua chuyển vị u và xem KK’ là bằng v, nghĩa là vị trí K’ sau khi biến dạng nằm trên đường vuông góc với trục Chương 8: chuyển vị của dầm chịu uốn 1 GV: Lê đức thanh
2. Bài giảng sức bèn vật liệu hai vế của phương trình trên đều thỏa mãn. Khảo sát một đoạn dầm bị uốn cong trong hai trường hợp như z z H.8.3. Trong cả 2 trường hợp Mx Mx mômen uốn Mx và đạo hàm bậc hai M y” luôn luôn trái dấu, cho nên x Mx phương trình vi phân của đường Mx 0 y y” > 0 y y” < 0 H.8. 3 y'' M x 3 EI x 1 y'2 2 Với giả thiết chuyển vị của dầm là bé có thể bỏ qua (y’)2 so với 1 và khi đó phƣơng trình vi phân của đƣờng đàn hồi có dạng gần đúng như sau: Mx y'' (8.1) EI x trong đó: Tích số EIx là độ cứng khi uốn của dầm . III. LẬP PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG ĐÀN HỒI BẰNG PHƢƠNG PHÁP TÍCH PHÂN KHÔNG ĐỊNH HẠN Vế phải của phương trình vi phân (8.1) chỉ là một hàm số của z nên (8.1) là phương trình vi phân thường. Tích phân lần thứ nhất (8.1) phương trình góc xoay: M y' x dz C (8.2) EI x Tích phân lần thứ hai phương trình đường đàn hồi: M x y dz C dz D (8.3) EI x Trong (8.2) và (8.3), C và D là hai hằng số tích phân sẽ được xác định các điều kiện biên. Các điều kiện nầy phụ thuộc vào liên kết của dầm và phụ thuộc vào sự thay đổi tải trọng trên dầm. A A C B y = 0 b) yA = 0 A = 0 A yB = 0 a) H. 8.4 Chương 8: chuyển vị của dầm chịu uốn 3 GV: Lê đức thanh
3. Bài giảng sức bèn vật liệu < 0 chỉ rằng góc xoay của điểm A ngược kim đồng hồ. Thí dụ 2: Tính độ võng và góc xoay lớn nhất của dầm (H.8.6). Cho EIx = hằng số Giải. Phương trình mômen uốn tại mặt cắt có hoành q z độ z là: ( gốc tại A) B A qz2 M (a) x 2 z yB = B = 0 L qz 2 thế vào (8.1), y'' (b) 2EI x y H.8.6 qz3 tích phân hai lần, y' C (c) q 6EI x Mx qz 4 y C z D (d) z 24EI x hai điều kiện biên ở đầu ngàm z = L; = 0 v y = 0 cho : qL3 qL4 C ; D 6EI x 8EI x Vậy phương trình đàn hồi và góc xoay là: qz 4 qL3 qL4 y z ; 24EI x 6EI x 8EI x qz 3 qL3 6EI x 6EI x Độ võng và góc xoay lớn nhất ở đầu tự do A của dầm; ứng với z = 0, ta có: 4 qL qL3 ymax và A 8EI x 6EI x Thí dụ 3. Tính độ võng và góc xoay lớn nhất của dầm đơn giản q chịu tải phân bố đều (H.8.7).Độ cứng EIx của dầm z không đổi. A B Giải. qL/2 L/2 Phương trình mômen uốn tại mặt cắt ngang có L hoành độ z là: y q Mx qL qz2 q M z Lz z2 (a) x 2 2 2 qL z 2 thay vào (8.1), phương trình vi phân của đường đàn hồi như sau: H.8.7 Chương 8: chuyển vị của dầm chịu uốn 5 GV: Lê đức thanh
4. Bài giảng sức bèn vật liệu Giải. Dầm có hai đoạn, biểu thức mômen uốn trong hai đoạn AC và CB khác nhau nên biểu thức góc xoay và độ võng trong hai đoạn cũng khác nhau. Viết cho từng đoạn các biểu thức Mx, y’’, y’, y như sau: Mômen uốn Mx trong các đoạn sau: Pb Đoạn AC (0 z a): M z (a) 1 x(1) L 1 Pb Đoạn CB (a z2 L): M z P z a (b) x(2) L 2 2 Phương trình vi phân của đường đàn hồi trong mỗi đoạn: Pb Đoạn AC: y1 '' z1 (c) LEI x Pb P Đoạn CB: y2 '' z2 z2 a (d) LEI x EI x Tích phân liên tiếp các phương trình trình, ta được: Đoạn AC (0 z1 a): Pb 2 y1' z1 C1 (e) 2LEI x Pb 3 y1 z1 C1z1 D1 (g) 6LEI x Đoạn CB (a z2 L): Pb 2 P 2 y2 ' z2 z2 a C2 (h) 2LEI x 2EI x Pb 3 P 3 y2 z2 z2 a C2 z2 D2 (i) 6LEI x 6EI x Xác định các hằng số tích phân C1, D1, C2, D2 từ các điều kiện biên . - Ởgối tựa A, B độ võng bằng không - Ở mặt cắt ngang C nối tiếp hai đoạn, độ võng và góc xoay của hai đoạn phải bằng nhau. khi: z1 = 0; y1 = 0 z2 = 0; y2 = 0 z1 = z2 = a; y1 = y2; y1’ = y2’ Từ bốn điều kiện nầy : Chương 8: chuyển vị của dầm chịu uốn 7 GV: Lê đức thanh
5. Bài giảng sức bèn vật liệu L2 b2 z (0) (o) 1 3 Sau đó đưa vào biểu thức (l) của độ võng, giá trị lớn nhất của độ võng 3Pb L2 b2 b2 y y 1 (p) max 1 z1(0) 2 27EI x L Các hệ quả: - Nếu P đặt ở giữa nhịp dầm b L / 2 , thì từ (o) và (p) , ta được: L PL3 z1(0) 0,500L ; ymax (thƣờng dùng cần nhớ) 2 48EI x L - Khi P ở gần gối B, tức b 0 ta có: z1(0) = = 0577L 3 Như vậy, nếu tải trọng di chuyển từ trung điểm D giữa nhịp dầm đến gối tựa B (H.8.9) thì hoành độ z1(0) sẽ biến thiên từ 0,5L đến 0,577L, tức là từ điểm D đến điểm E. Trong thực tế người ta thường quy ước là khi tải trọng P tác dụng ở một vị trí nào đó thì vẫn có thể coi độ võng lớn nhất ở giữa nhịp dầm. Thí dụ: nếu tải trọng P tác dụng ở vị trí như H.8.8 thì độ võng ở giữa nhịp dầm sẽ Pb 2 2 bằng: y l 2 3L 4b 48EI x So sánh hai giá trị ymax và y l 2 thấy hai giá trị nầy khác nhau và rất ít Nhận xét: Nếu dầm có nhiều đoạn, cần phải lập phương trình vi phân đường đàn hồi cho nhiều đoạn tương ứng. Ở mỗi đoạn phải xác định hai hằng số tích phân, nếu dầm có n đoạn thì phải xác định 2n hằng số, bài toán trở nên phực tạp nếu số đoạn n cùng lớn, vì vậy phương pháp nầy ít dùng khi tải trọng phức tạp hay độ cứng dầm thay đổi. VI. XÁC ĐỊNH ĐỘ VÕNG VÀ GÓC XOAY BẰNG PHƢƠNG PHÁP TẢI TRỌNG GIẢ TẠO (PHƢƠNG PHÁP ĐỒ TOÁN)  Phần trước đã có liên hệ vi phân giữa nội lực và ngoại lực: 2 dQy dM d M q(z) , x Q , x q(z) (a) dz dz y dz 2  Đối với việc khảo sát đường đàn hồi của dầm, cũng có phương trình vi phân: 2 d y d / M x 2 y (b) dz dz EI x Đối chiếu các phương trình (a) và (b), ta thấy có sự tương tự sau: Chương 8: chuyển vị của dầm chịu uốn 9 GV: Lê đức thanh
6. Bài giảng sức bèn vật liệu Dầm thực Dầm giả tạo A B A B M = 0 y = 0 y = 0 Mgt = 0 gt 0 0 Qgt 0 Qgt 0 A B A B y = 0 y 0 Mgt = 0 Mgt 0 = 0 Qgt = 0 Qgt 0 0 A B A B y = 0 y = 0 Mgt = 0 y 0 Mgt 0 Mgt = 0 0 0 Qgt 0 0 Qgt 0 Qgt 0 Qtr = Qph tr= ph  Cách tìm tải trọng giả tạo qgt Mx Vì qgt , nên qgt bao giờ cũng ngược dấu với mômen uốn Mx. Do đó: EI x - Nếu: Mx > 0 thì qgt 0 vẽ phía dước trục thanh) thì qgt hướng xuống - Nếu: Mx 0 x q >0 Ngòai ra trong quá trình tính các nội lực Mgt, Qgt của DGT, cần phải tính hợp lực của lực phân bố qgt trên các chiều di khác nhau. Do đó, để tiện lợi ta xác định vị trí trọng tâm và diện tích  của những hình giới hạn bởi các đường cong như bảng 8.2 dưới đây: Chương 8: chuyển vị của dầm chịu uốn 11 GV: Lê đức thanh
7. Bài giảng sức bèn vật liệu B 1 PL L L 3 L 7PL3 yB M gt ( ) 2 2EI x 2 2 4 2 64EI x P A B K a) L/2 L/2 PL b) Mx PL c) 2EI x A K B DGT Thí dụ 7: P Tính chuyển vị đứng tại K,cho EI hằng số x A B Thực hiện mặt cắt qua K xét bên phải. Chia diện a) L/2 K L/2 tích hình thang ra hai hình tam giác và hình chữ nhật để biết trọng tâm b) Mx K 1 PL L 2 L y M c) PL K gt 2 2EI 2 3 2 x EI x B DGT PL L L PL3 PL3 PL3 A K Mg 2EI x 2 4 24EI x 16EI x 12EI x t PL 2 2EI x K PL PL L 3PL K Qgt ( ) EI x 2EI x 4 8EI x Thí dụ 8: M K B Tính chuyển vị đứng và góc xoay tại K cho EIx hằng số 0 A Tính phản lực gỉa tạo tại A L/2 L/2 A 1 M o 2 A M 0L M / B 0 Rgr L L L Rgt 2 EI x 3 3EI x M 0 1 M L 2 L M L L K 0 0 M 0 yK M gt ( ) B 2 2EI 2 3 2 2EI 2 4 Rgt x x EI x A 3 3 2 Rgt M 0 L L 1 M 0 L M 0 L 1 M 0 L K M gt 3EI x 2 12 EI x 6EI x 12 EI x M Góc xoay tại k chính là phản lưc giả tạo tại K 0 H.8.12 2EI x Chương 8: chuyển vị của dầm chịu uốn 13 GV: Lê đức thanh
8. Bài giảng sức bèn vật liệu Sau khi tìm được VB, dễ dàng vẽ được các biểu đồ nội lực của dầm đã cho như H.8.12 i, k. VII. PHƢƠNG PHÁP DIỆN TÍCH MÔMEN (Tự đọc thêm) 1. Nội dung phƣơng pháp M Xét dầm có biểu đồ x như H.8.10b, đường đàn hồi (nét đứt) như H.8.10a. EI x A B z a) ĐĐH zA yA yB y z z dz z B LAB zC zC A B b) M x C EI x M S AB x dz EI x H.8.10 Phương pháap diện tích mô men dz B A B y A yB A d AB d t B d AB t d z M Z B Z B M Xét đoạn dầm AB: d x dz , suy ra: d x dz Z Z A A EI x EI x B A AB S AB (8.18) M x với S AB là diện tích của biểu đồ gồm giữa hai mặt cắt A v B. EI x Định lý 1. Độ thay đổi góc xoay giữa hai mặt cắt của một dầm (thí dụ giữa A v B) thì M bằng dấu trừ diện tích của biểu đồ x giữa hai mặt cắt ấy. EI x Chương 8: chuyển vị của dầm chịu uốn 15 GV: Lê đức thanh
9. Bài giảng sức bèn vật liệu Pa 2 suy ra VB = (3L a) 2L3 Thí dụ 9. Dùng phương pháp diện tích mô men xác định góc xoay ở đầu tri A v độ võng ở điểm D giữa dầm (H.8.14). EIx = hằng số. Giải. Theo định lý 1, công thức (7.4), xét hai điểm A (z = 0) v D (z = L/2) D A S AD Chú ý rằng D = 0 vì bi tốn đối xứng và S AD có thể phân chia thành S 1 S 2 S 3 . 13 qL3 ta suy ra: A (S 1 S 2 S 3 ) 0 A S 1 S 2 S 3 648 EI x Góc xoay của mặt cắt A thuận chiều kim đồng hồ. áp dụng công thức (8.21), ta viết 3 2 L 13 qL L 1 2 3 77 qL yD y A A z C S AD 0 z C S 1 z C S 2 z C S 3 2 648 EI x 2 11664 EI x q A B D L/3 L/3 L/3 M x S1 EI x 4 qL2 S2 72 EI x 5 qL2 72 EI x Chương 8: chuyển vị của dầm chịu uốn 17 GV: Lê đức thanh