Bài giảng Digital Signal Processing - Chapter 3: Discrete-Time Systems - Nguyen Thanh Tuan

Nội dung text: Bài giảng Digital Signal Processing - Chapter 3: Discrete-Time Systems - Nguyen Thanh Tuan

1. Chapter 3 Discrete-Time Systems Nguyen Thanh Tuan, ClickM.Eng. to edit Master subtitle style Department of Telecommunications (113B3) Ho Chi Minh City University of Technology Email: nttbk97@yahoo.com
2. 1. Discrete-time signal  The discrete-time signal x(n) is obtained from sampling an analog signal x(t), i.e., x(n)=x(nT) where T is the sampling period.  There are some representations of the discrete-time signal x(n): x(n)  Graphical representation: 4  Function: 1for n 1,3 1 1 xn() 42for n -1 0 1 2 3 0 elsewhere 4 n n -2 -1 0 1 2 3 4 5  Table: x(n) 0 0 0 1 4 1 0 0  Sequence: x(n)=[ 0, 0, 1, 4, 1, 0, ]=[0, 1, 4, 1] Digital Signal Processing 3 Discrete-Time Systems
3. 2. Input/output rules  A discrete-time system is a processor that transform an input sequence x(n) into an output sequence y(n). Fig: Discrete-time system  Sample-by-sample processing: that is, and so on.  Block processing: Digital Signal Processing 5 Discrete-Time Systems
4. Example 1  Let x(n)={1, 3, 2, 5}. Find the output and plot the graph for the systems with input/out rules as follows: a) y(n)=2x(n) b) y(n)=x(n-4) c) y(n)=x(n+4) d) y(n)=x(n)+x(n-1) Digital Signal Processing 7 Discrete-Time Systems
5. 3. Linearity and time invariance  A linear system has the property that the output signal due to a linear combination of two input signals can be obtained by forming the same linear combination of the individual outputs. Fig: Testing linearity  If y(n)=a1y1(n)+a2y2(n)  a1, a2 linear system. Otherwise, the system is nonlinear. Digital Signal Processing 9 Discrete-Time Systems
6. 3. Linearity and time invariance  A time-invariant system is a system that its input-output characteristics do not change with time. Fig: Testing time invariance  If yD(n)=y(n-D)  D time-invariant system. Otherwise, the system is time-variant. Digital Signal Processing 11 Discrete-Time Systems
7. 4. Impulse response  Linear time-invariant (LTI) systems are characterized uniquely by their impulse response sequence h(n), which is defined as the response of the systems to a unit impulse (n). Fig: Impulse response of an LTI system Fig: Delayed impulse responses of an LTI system Digital Signal Processing 13 Discrete-Time Systems
8. 6. FIR versus IIR filters  A finite impulse response (FIR) filter has impulse response h(n) that extend only over a finite time interval, say 0 n M. Fig: FIR impulse response  M: filter order; Lh=M+1: the length of impulse response  h={h0, h1, , hM} is referred by various name such as filter coefficients, filter weights, or filter taps. M  FIR filtering equation: y(n) h(n) x(n) h(m)x(n m) m 0 Digital Signal Processing 15 Discrete-Time Systems
9. 6. FIR versus IIR filters  A infinite impulse response (IIR) filter has impulse response h(n) of infinite duration, say 0 n . Fig: IIR impulse response  IIR filtering equation: y(n) h(n) x(n) h(m)x(n m) m 0  The I/O equation of IIR filters are expressed as the recursive difference equation. Digital Signal Processing 17 Discrete-Time Systems
10. Example 7  Assume the IIR filter has a casual h(n) defined by 2 for n 0 h(n) n 1 4(0.5) for n 1 a) Find the I/O difference equation ? b) Find the difference equation for h(n)? Digital Signal Processing 19 Discrete-Time Systems
11. Example 8  Consider the causality and stability of the following systems: a) h(n)=(0.5)nu(n) b) h(n)=(-0.5)nu(-n-1) Digital Signal Processing 21 Discrete-Time Systems
12. 9. Interconnection of discrete time systems  Cascade (series):  LTI systems:  Parallel: Digital Signal Processing 23 Discrete-Time Systems
13. 11. Periodic versus Aperiodic signals  Periodic:  Otherwise, the signal is nonperiodic or aperiodic. Digital Signal Processing 25 Discrete-Time Systems
14. 13. Crosscorrelation and Autocorrelation  Crosscorrelation:  Autocorrelation: Digital Signal Processing 27 Discrete-Time Systems
15. Homework 1 Digital Signal Processing 29 Discrete-Time Systems
16. Homework 3 Digital Signal Processing 31 Discrete-Time Systems
17. Homework 5 Digital Signal Processing 33 Discrete-Time Systems
18. Homework 7 Digital Signal Processing 35 Discrete-Time Systems
19. Homework 9 Digital Signal Processing 37 Discrete-Time Systems
20. Homework 11 Cho hệ thống rời rạc tuyến tính bất biến có đáp ứng xung h(n)={0↑, @, -1}. a) Xác định phương trình sai phân vào-ra của hệ thống trên. b) Vẽ 1 sơ đồ khối thực hiện hệ thống trên. c) Tìm giá trị của mẫu tín hiệu ngõ ra y(n = 1) khi tín hiệu ngõ vào x(n) = {1, 0↑, -1}. d) Tìm giá trị của mẫu tín hiệu ngõ ra y(n = 2) khi tín hiệu ngõ vào x(n) = δ(n) – δ(n–2). e) Tìm giá trị của mẫu tín hiệu ngõ ra y(n = 3) khi tín hiệu ngõ vào x(n) = u(n) – u(n–3). f) Tìm giá trị của mẫu tín hiệu ngõ ra y(n = 4) khi tín hiệu ngõ vào x(n) = u(n+4) – u(n–4). g) Tìm giá trị của mẫu tín hiệu ngõ ra y(n = 5) khi tín hiệu ngõ vào x(n) = u(–n) – u(–n–5). Digital Signal Processing 39 Discrete-Time Systems
21. Homework 13 Cho hệ thống rời rạc tuyến tính bất biến nhân quả có phương trình sai phân vào-ra y(n) = 2x(n–2) – y(n–1). a) Vẽ 1 sơ đồ khối thực hiện hệ thống trên với số bộ trễ là ít nhất có thể. b) Tìm giá trị của đáp ứng xung h(n = @). c) Tìm giá trị mẫu ngõ ra y(n = @) khi ngõ vào x(n) = 2δ(n). d) Tìm giá trị mẫu ngõ ra y(n = @) khi ngõ vào x(n) = δ(n–2). e) Tìm giá trị mẫu ngõ ra y(n = @) khi ngõ vào x(n) = δ(n)–δ(n–2). f) Tìm giá trị mẫu ngõ ra y(n = @) khi ngõ vào x(n) = u(n)–u(n-2). g) Tìm giá trị mẫu ngõ ra y(n = @) khi ngõ vào x(n) = u(n). h) Tìm giá trị mẫu ngõ ra y(n = @) khi ngõ vào x(n) = u(–n). i) Tìm giá trị mẫu ngõ ra y(n = @) khi ngõ vào x(n) = u(–n–1). j) Tìm giá trị mẫu ngõ ra y(n = @) khi ngõ vào x(n) = 1. Digital Signal Processing 41 Discrete-Time Systems
22. Homework 15 Kiểm tra tính chất tuyến tính, bất biến, nhân quả, ổn định, tĩnh của các hệ thống rời rạc sau: 1) y(n) = cos{x(n)}. 2) y(n) = cos{x(2n)}. 3) y(n) = cos{x2(n)}. 4) y(n) = cos2{x(n)}. 5) y(n) = cos(n)x(n). 6) y(n) = cos{nx(n)}. 7) y(n) = cos(n) + x(n). 8) y(n) = x(n) + 2x(n – 3) – 3x(n + 2). 9) y(n) = 2x(n) + y(n – 1). 10) y(n) = x(n) + 2y(n – 1). 11) y(n) = x(n) + y(n – 1)/2. 12) y(n) = y(n – 1) – y(n – 2). Digital Signal Processing 43 Discrete-Time Systems
23. Homework 17 Xác định và vẽ tín hiệu ngõ ra tương ứng với tín hiệu ngõ vào x(n) = {0, 4, 5, @} của các hệ thống rời rạc sau: 1) y(n) = nx(n). 2) y(n) = x(n – 2). 3) y(n) = x(n + 2). 4) y(n) = x(n) + 2. 5) y(n) = x(2n). 6) y(n) = x(2n – 1). 7) y(n) = x(– n). 8) y(n) = x(2 – n). 9) y(n) = x2(n). 10) y(n) = x(n) + x(n + 2). 11) y(n) = x(n) – x(n – 2). 12) y(n) = x(n) + x(–n). Digital Signal Processing 45 Discrete-Time Systems
24. Homework 19 Xác định và vẽ tín hiệu ngõ ra tương ứng với tín hiệu ngõ vào x(n) = @δ(n) + 2δ(n – 2) – 3δ(n + 3) của các hệ thống rời rạc sau: 1) y(n) = nx(n). 2) y(n) = x(n – 2). 3) y(n) = x(n + 2). 4) y(n) = x(n) + 2. 5) y(n) = x(2n). 6) y(n) = x(2n – 1). 7) y(n) = x(– n). 8) y(n) = x(2 – n). 9) y(n) = x2(n). 10) y(n) = x(n) + x(n + 2). 11) y(n) = x(n) – x(n – 2). 12) y(n) = x(n) + x(–n). Digital Signal Processing 47 Discrete-Time Systems
25. Homework 21 Vẽ dạng sóng của các tín hiệu rời rạc sau: 1) x(n) = δ(n) – δ(n – 2). 2) x(n) = 2δ(n – 2) – δ(n + 2). 3) x(n) = u(n) – u(n – 2). 4) x(n) = u(–n). 5) x(n) = u(2 – n). 6) x(n) = u(2 + n). 7) x(n) = u(n) + u(–n). 8) x(n) = u(– n) – u(–n – 1). 9) x(n) = nu(n). 10) x(n) = nu(–n – 1). 11) x(n) = u(n) – 1. 12) x(n) = 1 – u(–n – 1). Digital Signal Processing 49 Discrete-Time Systems