Bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Chương 4: Biểu diễn tín hiệu dùng biến đổi Fourier - Bài 7 - Trần Quang Việt

Nội dung text: Bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Chương 4: Biểu diễn tín hiệu dùng biến đổi Fourier - Bài 7 - Trần Quang Việt

1. Ch-4: Bi ểu di ễn tín hi ệu dùng bi ến đổi Fourier Lecture-7 4.1. Bi ểu di ễn tín hi ệu không tu ần hoàn dùng bi ến đổi Fourier 4.2. Các tính ch ất của bi ến đổi Fourier 4.3. Bi ến đổi Fourier của tín hi ệu tu ần hoàn Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 4.1. Bi ểu di ễn tín hi ệu không tu ần hoàn dùng bi ến đổi Fourier 4.1.1. Bi ến đổi Fourier 4.1.2. Điều ki ện tồn tại bi ến đổi Fourier 4.1.3. Bi ến đổi Fourier của một số tín hi ệu cơ bản Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 1
2. 4.1.1. Bi ến đổi Fourier
   Ti ếp tục tăng T0 T0 D n 2sin ωS 2π ω=n ω 0 = n ω T0 nω0 ω0= 2 π / T 0
   Khi T0∞, T 0Dn  hàm liên tục T /2 ∞ 0 -jn ω t  -j ωt lim[] T .D = lim f (t)e0 dt = f(t)e dt=F( ω) 0 n∫ T 0 ∫ T0→∞ T 0 →∞ -T0 /2  - ∞
   Ph ổ của tín hi ệu không tu ần hoàn: F(n ω0 ) 1 D( ω)= lim [Dn ]= lim = F( ω) lim [ ∆ω ] = 0 T→∞ T →∞∆ω → 0 0 0 T0 2 π  Ph ổ của tín hi ệu không tu ần hoàn có tính ch ất phân bố  Hàm mật độ ph ổ tín hi ệu, F( ω), được xem là ph ổ tín hi ệu Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 4.1.1. Bi ến đổi Fourier
   Tích phân Fourier ∞ ∞ jn ω0t 1 jn ∆ωt f(t)= lim f (t) = lim∑ Dn e =lim F(n ∆ω)e ∆ ω T0 ∑ T 0 →∞ T 0 →∞ ∆ω →∞ n=−∞ n=−∞ 2π 1 ∞ f(t)= ∫ F( ω)ejωt d ω 2π −∞
   Tóm lại ta có kết qu ả: f(t) ↔ F( ω ) ∞ F( ω)= f(t)e− jωt dt Ph ươ ng trình phân tích – Bi ến ∫−∞ đổi Fourier thu ận 1 ∞ f(t)=∫ F( ω)ejωt d ω Ph ươ ng trình tổng hợp – Bi ến 2π −∞ đổi Fourier ng ược Cho phép phân tích/t ổng hợp tín hi ệu f(t) thành/t ừ các thành ph ần tần số, ejωωωt Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 3
3. 4.1.3. Bi ến đổi Fourier của một số tín hi ệu cơ bản 1 F(ω ) = a2+ω 2 ∠F()ω = − tan(−1 ω /) a F(ω ) ∠F(ω ) 1/ a π / 2 ω ω −π / 2 Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 4.1.3. Bi ến đổi Fourier của một số tín hi ệu cơ bản
   f(t)=u(t): +∞ +∞ +∞ 1 F()()ω =∫ utedt−jtω = ∫ edt − jt ω =− e − jt ω = ? −∞ 0 ω j 0 u( t ) 1 −at e u( t ) ut()= lim eut−at () a→0 t 0 +∞ 1 a− j ω  ⇒ ω =−at − jω t = = F()lim∫ eutedt () lim lim 2 2  a→0−∞ a → 0a+ jω a → 0  a + ω  a 1 ⇒ F(ω )= lim 2 2 + a→0 a+ω j ω Di ện tích bằng πππ 1 ⇒ F()ω= πδ () ω + jω u() t↔πδ ()1/ ω + j ω Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 5
4. 4.2. Các tính ch ất của bi ến đổi Fourier Ví dụ: −ωτ / 2 Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 4.2. Các tính ch ất của bi ến đổi Fourier
   Phép dịch tần số (điều ch ế): ∞ f(t)↔ F( ω)= f(t)e− jωt dt ∫−∞ ∞ ∞ − − − f (t)=f(t)ejω0t↔ F ( ω)= f(t)e j ω0 t ejωt dt = f(t)ej( ω ω 0 )t dt= F( ω − ω ) 1 1 ∫−∞ ∫−∞ 0 jω0t f(t)e↔ F( ω − ω 0) 1 1 Ví dụ: f(t)cos ω t↔ F( ω −ω) + F( ω+ ω ) 02 0 2 0 1 1 f(t)sin ω t↔ F( ω −ω) − F( ω+ ω ) 0j2 0 j2 0 Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 7
5. 4.2. Các tính ch ất của bi ến đổi Fourier
   Tích ch ập trong mi ền th ời gian: f1 (t)↔ F 12 ( ω); f (t) ↔ F 2 ( ω) +∞ f(t)=f (t)∗ f (t) ↔ F( ω)= f (t) ∗ f (t)e− jωt dt 12∫−∞ 12 +∞ +∞ F( ω)= f ( τ)f (t − τ)d τ  e− jωt dt ∫−∞ ∫ −∞ 1 2  +∞ +∞ +∞ − jωt  − jωτ = f1 ( τ) f 2 (t − τ)e dt d τ = f ( τ)F ( ω)e d τ ∫-∞ ∫ - ∞  ∫−∞ 1 2 +∞ =F ( ω) f ( τ)e− jωτ d τ = F ( ω)F ( ω) 2∫−∞ 1 12 f1 (t)∗ f 2 (t) ↔ F 12 ( ω)F ( ω) 2t T ωT Ví dụ: rect(T )↔ 2 sinc ( 4 ) 2t 2tT t T 2 2 ωT Có: rect(T )∗ rect( T2T4 )= ∆( ) ↔ sinc ( 4 ) t T 2 ωT ∆( T) ↔ 2sinc ( 4 ) Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 4.2. Các tính ch ất của bi ến đổi Fourier
   Tích ch ập trong mi ền tần số: f1 (t)↔ F 12 ( ω); f (t) ↔ F 2 ( ω) +∞ 1 jωt f(t)=∫ [F1 ( ω)∗ F 2 ( ω)]e d ω 2π −∞ +∞ +∞ 1 jωt = ∫[ ∫ F1 ( τ)F 2 ( ω-τ)d τ]e d ω 2π −∞ −∞ +∞ +∞ 1 jωt = ∫F1 ( τ)[ ∫ F 2 ( ω-τ)e d ω]d τ 2π −∞ −∞ +∞ +∞ 1 jτt jxt = ∫F1 ( τ)e [ ∫ F 2 (x)e dx]d τ 2π −∞ −∞ +∞ = f (t) F ( τ)ejτt d τ = 2πf (t)f (t) 2∫−∞ 1 1 2 2πf12 (t)f (t)↔ F( 1ω) ∗ F 2 ( ω) Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 9
6. 4.2. Các tính ch ất của bi ến đổi Fourier
   Định lý Parseval: +∞ +∞ +∞ +∞ 2 * 1 jωt ∗ E= |f(t)| dt = f(t)f (t)dt = f(t)[2π F( ω)e d ω] dt f ∫−∞ ∫−∞ ∫−∞ ∫ −∞ +∞ +∞ +∞ = 1 F* ( ω)[ f(t)e -j ωt dt]d ω = 1 F* ( ω)F( ω)d ω 2π ∫−∞ ∫ −∞ 2π ∫−∞ +∞ E= 1 |F( ω)|2 d ω Định lý Parseval f 2π ∫−∞ |F( ω)| 2 Mật độ ph ổ năng lượng ω Ví dụ: f(t)=sinc(t)↔ F( ω)=2 πrect(2 ) +∞ 1 1 2 2 ω Ef = 2π 4 π rect (2 )d ω =2π dω = 4π ∫−∞ ∫−1 Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 4.3. Bi ến đổi Fourier của tín hi ệu tu ần hoàn
   Bi ểu di ễn tín hi ệu tu ần hoàn dùng chu ỗi Fourier: +∞ jn ω t 1 − f(t)= D e 0 jn ω0t ∑ n với: Dn =∫ f(t)e dt T0 n= −∞ T0
   Bi ến đổi Fourier cho tín hi ệu tu ần hoàn: +∞ f(t)↔ F( ω)=∑ 2 πDnδ(ω − nω 0 ) n= −∞
   Ví dụ 1: f ( t) T0=4S T0 1 n π +∞ nπ Dn = sinc( ) F( ω)= ∑ πsinc( ) δ(ω − nω0 ) 2 2 n= −∞ 2 Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 11