Hướng dẫn học tập Xử lý tín hiệu số - Đặng Hoài Bắc

Nội dung text: Hướng dẫn học tập Xử lý tín hiệu số - Đặng Hoài Bắc

1. Chương 9: Lọc số nhiều nhịp π một bộ lọc có tần số cắt ω = . Trong miền n bộ lọc này có nhiệm vụ nội suy ra các mẫu biên c L độ 0, còn trong miền tần số nó làm nhiệm vụ loại bỏ các ảnh phụ của phổ cơ bản. ↑ L yn↑L ( ) yn↑LH ( ) π ωc = M a. Biểu diễn trong miền n Các quan hệ toán học trong bộ lọc nội suy ở miền n được thực hiện như sau. ↑LH x()nynyn⎯⎯→⎯⎯↑↑LLH( ) → ( ) ⎧ ⎛⎞n ⎪x⎜⎟ nLL=±±0, , 2 , yn↑L ()= ⎨ ⎝⎠L ⎪ ⎩0 n ≠ y↑↑LH()nynhnhnyn== L( ) ( ) ( ) ↑ L ( ) ∞∞⎛⎞k , (9.21) y↑↑LH()n=−=−∑∑ y L ()( khnk ) x⎜⎟ hnk() kk=−∞ =−∞ ⎝⎠L kLL=±±0, , 2 , k Đổi biến số: rkrL= →= ta có: L ∞ (9.22) y↑LH ()nxrhnrL=−∑ ()( ) r=−∞ Ví dụ 9.13 Cho x()nrectn= 3 () ⎧ n ⎪104−≤≤n hn()= ⎨ 4 ⎪⎩0 n ≠ Tính yn↓2H ()= ? Giải: Qua bộ nội suy với n = 2 thì cứ 2 điểm ta chèn 1 điểm 0 224
2. Chương 9: Lọc số nhiều nhịp y 01= ↑2H ( ) yk↑2 ( ) 3 y ()1 = 1 ↑2H 4 6 y ()2 = ↑2H 4 y ()31= ↑2H -1 0 1234 5 k 6 y ()4 = ↑2H 4 y ()51= ↑2H h(0-k) 1 y ()6 = ↑2H 2 1 1 y ()7 = ↑2H 4 y↑2H ()80= -4 -3 -2 -1 0 1234 k h(1-k) 1 -4 -3 -2 -1 0 1234 k y↑2H (n) 2 1 -4 -3 -2 -1 0 1234 5 678n Hình 9.8 Kết quả phép chập trong ví dụ 9.13 b. Biểu diễn trong miền z Các quan hệ toán học trong bộ lọc nội suy ở miền z được thực hiện như sau. ↑L Hz( ) X ()zYzYz⎯⎯→↑↑LLH( ) ⎯⎯⎯→ ( ) L Yz↑L ()= Xz( ) L YzYzHzXzHz↑↑LH()== L ( ) ( ) ( ) ( ) (9.23) Ví dụ 9.14 Cho x()nrectn= 3 () 226
3. Chương 9: Lọc số nhiều nhịp X (e jω ) 1 −3π −2π −π 0 π 2π 3π ω jjω 2ω ye↑2 ( ) = Xe( ) Qua néi suy 1 π π −3π −2π −π − π 2π 3π ω 2 0 2 He( jω ) Qua läc th«ng thÊp 1 π π −3π −2π −π − π 2π 3π ω 2 0 2 jjjω 2ωω Ye↑2H ( ) = XeHe( ). ( ) 1 π π −3π −2π −π − π 2π 3π ω 2 0 2 Hình 9.9 Minh họa ví dụ 9.15 9.2.3. Bộ lọc biến đổi nhịp lấy mẫu Bộ lọc biến đổi nhịp lấy mẫu hệ số M/L sẽ hình thành khi ta sẽ ghép 2 bộ lọc phân chia và bộ lọc nội suy với nhau, để khỏi chồng phổ thì cho tín hiệu đi qua bộ lọc phân chia trước, nghĩa là chúng ta sẽ co tín hiệu trước sau đó mới giãn sau như sơ đồ dưới đây. ↑ L hnL ( ) hnM ( ) ↓ M { Từ đây ta có: jjjω ωω He()= HLM( e). H( e ) jjjωωω He()= HLM( e) . H( e ) (9.25) jω π jω π Với HeLc(): ω = và HeMc(): ω = L M Ví dụ 9.16 Cho 2 bộ lọc như sau hãy ghép chúng vào với nhau 228
4. Chương 9: Lọc số nhiều nhịp Như vậy phải ta phải dùng các bộ lọc và các bộ phân chia, tín hiệu khi xử lý được chia thành 2 nhánh, năng lượng mỗi nhánh giảm xuống còn ½ so với ban đầu như hình vẽ x1 (n) hnLp ( ) ↓2 ↑2 hnLp ( ) x2 ()n hnHp () ↓2 ↑2 hnHp () { { Hình 9.12 Sơ đồ mã hóa băng con 2 băng lọc Mã hóa băng con rất thuận tiện cho việc nén tiếng nói vì đối với tiếng nói, phổ năng lượng phân bố tập trung ở miền tần số thấp ta phải mã hóa tín hiệu với số bit lớn, còn ở miền tần số cao, năng lượng của tiếng nói rất nhỏ nên ta chỉ cần một số bit ít hơn. Kỹ thuật mã hóa băng con hiện nay còn được ứng dụng nén tín hiệu ảnh, ta cũng có thể chia với số kênh nhiều hơn 2 để mã hóa băng con. TÓM TẮT VÀ HƯỚNG DẪN HỌC TẬP CHƯƠNG 9. Trong chương 9, chúng ta đã đề cập đến các vấn đề liên quan đến lọc số nhiều nhịp, phép phân chia, nội suy; bộ lọc phân chia, nội suy; các phép biến đổi nhịp lấy mẫu hệ số M/L và bộ lọc biến đổi nhịp lấy mẫu M/L; mã hóa băng con. Kỹ thuật lọc số nhiều nhịp ngày càng được ứng dụng trong lĩnh vực xử lý tín hiệu số để tăng tốc độ tính toán, giảm số phép nhân phải thực hiện trong một giây. Hai ứng dụng nổi bật của lọc số nhiều nhịp là mã hóa băng con và phân đường dùng cho Viễn thông. Các nội dung chính cần nhớ bao gồm. 1. Các định nghĩa và ký hiệu về phép phân chia, nội suy và các định nghĩa về bộ phân chia, bộ nội suy. Bộ phân chia: ↓ M yn( ) ↓M Ký hiệu toán tử: ↓=M ⎣⎦⎡⎤xn( ) y↓M (n) ↓M x()n ⎯⎯→ y↓M ()n Bộ nội suy ↑ L 230
5. Chương 9: Lọc số nhiều nhịp Sơ đồ 1: Biểu diễn trong miền n ↓M ↑ L yn( ) ynM ( ) ↓M ↓↑ L F L F FFLFF′′′′===s s ssssMM T ′ M TTMTTT′′′===s s ss sLL s ↓↑ML xn()⎯⎯→ y () n ⎯⎯→ yM () n ↓M ↓↑ L Biểu diễn trong miền z L 2π M −1 ⎛⎞− jl L 1 MM YzYzM ()==↓M Xze⎜⎟ ↓↑ () ∑ L M l=0 ⎝⎠ Biểu diễn trong miền tần số ω ωπLl−2 M −1 ⎛⎞j jω 1 M YeMM()== Yz() ∑ Xe⎜⎟ ↓↑ ↓↑ M LLze= jω l=0 ⎝⎠ Sơ đồ 2: Biểu diễn trong miền n ↑ L ↓ M ynM () yn↑L ( ) ↑↓ L F ′ L FFLFF′′′===s F s ss sMM s TM TT′′′′===s TMTT s ssssL L ↑↓LM xn()⎯⎯→⎯⎯→ yL () n yM () n ↑ ↑↓ L Biểu diễn trong miền z 12ππL 2 MM−−11⎛⎞−−jl ⎛ jLl ⎞ 11MM MM YzM ()== Yze⎜⎟ Xze ⎜ ⎟ ↑↓ ∑∑↑L L MMll==00⎝⎠ ⎝ ⎠ Biểu diễn trong miền tấn số ω ωπLLl−2 M −1 ⎛⎞j jω 1 M YeMM()== Yz() ∑ Xe⎜⎟ ↑↓ ↑↓ M LLze= jω l=0 ⎝⎠ 5. Bộ lọc phân chia 232
6. Chương 9: Lọc số nhiều nhịp Sơ đồ: ↑ L hnL ( ) hnM ( ) ↓ M { Với đáp ứng tần số bộ lọc biến đổi nhịp lấy mẫu như sau: jjjω ωω He()= HLM( e). H( e ) 8. Mã hoá băng con Chúng ta kết hợp các phép toán và các bộ lọc phân chia, nội suy để thao tác vào phổ tín hiệu chẳng hạn như phân chia tần số tín hiệu thành các băng con rồi truyền đi như sơ đồ sau: x1 (n) hnLp ( ) ↓2 ↑2 hnLp ( ) x2 ()n hnHp () ↓2 ↑2 hnHp ( ) { { Đây chính là sơ đồ mã hoá tín hiệu thành 2 băng con. Lưu ý: Khi thao tác phân chia hay nội suy tín hiệu ta nhớ rằng khi chiều dài tín hiệu tăng lên thì phổ của tín hiệu giảm đi và ngược lại. Đây là một chương khá quan trọng để thao tác và biến đổi tín hiệu theo các mong muốn người thiết kế, do vậy trong chương này các bạn cần nắm chắc các kỹ thuật, các phép toán biến đổi về phân chia nội suy tín hiệu như đã tổng kết ở trên. CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP CHƯƠNG 9 Bài 9.1 Cho tín hiệu: ⎧ n ⎪106−≤≤n xn()= ⎨ 6 ⎪⎩0 n ≠ Hãy xác định tín hiệu khi đi qua bộ phân chia với hệ số M=2 Bài 9.2 X ()zz=+−−−−−−−1234567232 z + z + z ++ z 32 z + z Hãy xác định tín hiệuYz↓M () với M=2 234
7. Chương 9: Lọc số nhiều nhịp Hz( ) ↑L X ()zYzYz⎯⎯⎯→⎯⎯H () → HL↑ ( ) Hãy chứng minh 2 sơ đồ tương đương. Bài 9.8 Cho tín hiệu: X ( zzzzzzz) =+1234567−−12 + + −− 34 + + − 5 + − 6 2 2 Tín hiệu này đi qua bộ lấy mẫu ↓↑ và ↑↓ . Tìm Yz2 ( ) = ? và Yz2 ()= ? ↓↑ ↑↓ 3 3 3 3 Bài 9. 9 Cho x()nrectn= 2 () ⎧ n ⎪103−≤≤n hn()= ⎨ 3 ⎩⎪0 n ≠ Tính yzH ↓2 ()= ? Bài 9. 10 Cho x()nrectn= 2 () ⎧ n ⎪103−≤≤n hn()= ⎨ 3 ⎩⎪0 n ≠ Tính Yz↑2H ()= ? 236
8. Đáp án và hướng dẫn giải Bài 1.6 Ta xác định u(n-2) và u(n-5) sau đó thực hiện phép trừ thu được kết quả x(n) = u(n-5)-u(n-2) = rect3(n-2) xn()= rect3 ( n− 2) 1 0 12234 5 n Bài 1.7 Theo định nghĩa ∞ ∞ −1 2n E = x()n 2 = ()1 + 32n ∑ ∑ 2 ∑ n=−∞ n=0 n=−∞ ∞ 1 2n = + ()1 = 4 + 9 −1 = 35 1− 1 ∑ 3 3 8 24 4 n=1 Vì năng lượng E là hữu hạn nên tín hiệu x(n) là tín hiệu năng lượng. Bài 1.8 Đáp số: Năng lượng của tín hiệu bằng vô hạn. jnω0 22 2 Chú ý Ae=+= A[os( cωω00 n ) sin( n )] A Bài 1.9 Xác định công suất trung bình của tín hiệu nhảy bậc đơn vị u(n) Giải Ta có: N 1 P = lim u 2 ()n N →∞ 2N +1∑ n=0 N +1 1+1 N 1 = lim = lim = N →∞ 2N +1 N →∞ 2 +1 N 2 Do đó, tín hiệu nhảy bậc đơn vị là một tín hiệu công suất. 238
9. Đáp án và hướng dẫn giải Bài 1.14 Nhận xét: Hệ thống nhân quả h(n) và x(n) đều nhân quả nnk yn()==∑∑ baknk−− a n () ba. 1 kk==00 n 1− xn+1 Có dạng: ∑ xk = k =0 1− x n+1 ⎧ 1.− ()ba−1 ⎪ann ≥ 0 yn()= ⎨ 1.− ()ba−1 ⎪ ⎩⎪00n < Bài 1.15 a) Đối với các chuỗi xung đầu vào x1(n) và x2 (n), tín hiệu ra tương ứng là: y1()n = nx1 ()n y2 ()n = nx2 ()n Liên hợp tuyến tính hai tín hiệu vào sẽ sinh ra một tín hiệu ra là: y ()n = H[]a x ()n + a x (n) = n[a x (n)+ a x (n)] 3 1 1 2 2 1 1 2 2 = a1nx1()n + a2nx2 ()n Trong khi đó liên hợp hai tín hiệu ra y1 y2 tạo nên tín hiệu ra: a1y1(n)()+ a2 y2 n = a1nx1(n)+ a2nx2 (n) So sánh 2 phương trình ta suy ra hệ là tuyến tính. b) Đầu ra của hệ là bình phương của đầu vào, (Các thiết bị điện thường có qui luật như thế và gọi là thiết bị bậc 2). Đáp ứng của hệ đối với hai tín hiệu vào riêng rẽ là: 2 y1()n = x1 ()n 2 y2 ()n = x2 ()n Đáp ứng của hệ với liên hợp tuyến tính hai tín hiệu là: y ()n = H[]a x ()n + a x ()n = [a x ()n + a x ()n ]2 3 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 = a1 x1 ()n + +2a1a2 x1 ()n x2 ()n + a2 x2 ()n Ngược lại, nếu hệ tuyến tính, nó sẽ tạo ra liên hợp tuyến tính từ hai tín hiệu, tức là: 2 2 a1y1()n + a2 y2 ()n = a1x1 ()n + a2 x2 ()n 240
10. Đáp án và hướng dẫn giải Thực hiện h2(n) + h3(n) rồi sau đó lấy kết quả thu được chập với h1(n): h(n) = h1(n) * [h2(n) + h3(n)] Bài 1.22 Áp dụng các công cụ thực hiện hệ thống ta vẽ được hệ thống như sau: b 0 bx0 ( n) b 1 bx1 ( n−1) b 2 bx2 ( n−2) b 4 bx4 ( n−4) Bài 1.23 Ta chú ý rằng tín hiệu y()n đạt được từ x(n) bằng cách lấy mỗi một mẫu khác từ x(n), bắt đầu với x()0 . Chẳng hạn y()0 = x(0), y(1) = x(2), y(2) = x(4), và y()−1 = x(− 2), y()− 2 = x ()− 4 ,v.v Nói cách khác, ta bỏ qua các mẫu ứng với số lẻ trong x(n) và giữ lại các mẫu mang số chẵn. Tín hiệu phải tìm được mô tả như sau: y(n) = x( -4 -2 -1 0 1 2 Bài 1.24 Dạng nghiệm riêng là: n ynp ( ) =≥ B20 n 242
11. Đáp án và hướng dẫn giải Bài 2.2 Đáp án: ZT −k − k a) Xz1 ( ) = z [nghĩa là, δ−↔()nk z], k > 0 , RC: cả mặt phẳng z , trừ z = 0 . ZT k k b) Xz2 ( ) = z [nghĩa là, δ+↔()nk z], k > 0, RC: cả mặt phẳng z , trừ z = ∞ . Bài 2.3 Theo định nghĩa ta có: ∞ ∞ n X ()z = ∑α n z −n = ∑()α z −1 n=0 n=0 Nếu α z −1 α , thì chuỗi này hội tụ đến 1/(1−α z −1 ). Như vậy, ta sẽ có cặp biến đổi z . z 1 xn()= α↔=n un () Xz () RC:z >α 1z−α −1 Miền hội tụ RC là miền nằm ngoài đường tròn có bán kính α . Lưu ý rằng, nói chung, α cần không phải là số thực. Bài 2.4 Đáp án 34 Xz()=− RC:z > 3 12z13z−−−−11 Bài 2.5 Ta có: N −1 ⎧N z = 1 −n −1 −()N −1 ⎪ X ()z = ∑1.z = 1+ z + + z = ⎨1− z −N n=0 ⎪ −1 z ≠ 1 ⎩ 1− z vì x()n là hữu hạn, nên RC của nó là cả mặt phẳng z , trừ z = 0 . Bài 2.6 Đáp án: Thực hiện giống ví dụ 2.5 ta có: x(n) = (-1/3)n. u(n) 244
12. Đáp án và hướng dẫn giải m = 0 thì n ⎛⎞⎛⎞11 1n 2 x()nununn=−⎜⎟⎜⎟() +3 () + δ () ⎝⎠⎝⎠22 3 3 Như vậy đã hoàn thành biến đổi Z ngược. Bài 2.10 Đáp án: a) Hệ có 1 điêrm không z01 = -3/2; hai điểm cực là zp1 = -1/3 và zp2 = -1/2 b) Căn cứ vào các điểm cực đều nằm trong vòng tròn đơn vị ta thấy hệ thống ổn định. c/ Tìm h(n) giống bài tập 2.9 Bài 2.11 Đáp án: a) Hệ thống không ổn định b) h(n) = 2.u(n) – 2.(1/2)n .u(n) c) Dựa vào kết quả câu b) và tính chất trễ ta có h(n) = 2.u(n+2006) – 2.(1/2)2006u(n+2006) Bài 2.12 Áp dụng: Trong miền z: song song thì cộng, nối tiếp thì nhân. Phân tích ra H1(z), H2(z), Hz()= H12 () zH. () z Hz11112()=+ H () z H( z) X ()z Hz()= 1 11 X ()z −1 X1 ()zXzzXz=+23 () ( ) −1 Hz11 ()=+23 z X ()z Hz()= 2 12 X ()z −1 X 22()zXzzXz=+ () 4 ( ) 246
13. Đáp án và hướng dẫn giải Bài 2.19 Phương án b) Bài 2.20 Phương án c) ĐÁP ÁN CHƯƠNG III Bài 3.1 Ta phân ra làm 2 trường hợp n 0 ứng với các tín hiệu x1(n) và x2(n) như vậy ta có kết quả: X ()ω = X 1 ()ω + X 2 (ω ) 1 − a 2 = 1 − 2a cos ω + a 2 Bài 3.2 Vì x()n là một khả tổng tuyệt đối nên biến đổi Fourier của nó tồn tại. Hơn nữa, x()n là tín 2 hiệu năng lượng hữu hạn với E x = A L . Biến đổi Fourier của tín hiệu này là L −1 − jLω jjnωω− 1 − e Xe()==∑ Ae A − jω n = 0 1 − e ⎛⎞ω −−jL⎜⎟()1 sin(ω L / 2) Xe()jω = Ae⎝⎠2 sin()ω / 2 Với ω = 0 , biến đổi ta có X ()eALj0 = . Phổ biên độ của x()n có dạng ⎧ A L ω = 0 ⎪ X ()ω = ⎨ sin ()ωL / 2 ⎪ A ≠ ⎩ sin ()ω / 2 Bài 3.3 Sử dụng biến đổi Fourier, ta có jjωω Xe12( ) ==+ X( e) 12cosω Do đó 248
14. Đáp án và hướng dẫn giải Bài 3.6 Đáp án: Phương án d) Bài 3.7 Đáp án: Phương án a) Bài 3.8 Đáp án: Phương án d) Bài 3.9 Đáp án: Phương án c) Bài 3.10 Đáp án: Phương án b) Bài 3.11 Đáp án: Phương án a). Bài 3.12 Đáp án: Phương án c) Bài 3.13 Đáp án: Phương án a) Bài 3.14 Đáp án: Phương án b) Bài 3.15 Đáp án: Phương án d) Bài 3.16 250
15. Đáp án và hướng dẫn giải 1 − e − j 2πkn / N X ()k = k = 0,1, , N − 1 − j 2πk / N 1 − e sin ()πkL / N = e − jπk ()L −1 / N N sin ()πk / N Bài 4.6 Đáp án: Cách làm tương tự ví dụ 4.6 và ta có: 3 xn==−=− xn*(1) xn xmxnm xn 31()4444 ()() 2 ()∑ 12 ( ) 4 ( ) 4 24 m=0 Tức x3(0)4 = 1/4; x3(1)4 = 1; x3(2)4 = 3/4; x3(3)4 = 1/2. Bài 4.7 Đáp án: Phương án b) Bài 4.8 Đáp án: Phương án d) Bài 4.9 Đáp án: Phương án b) Bài 4.10 Đáp án đúng: a) ĐÁP ÁN CHƯƠNG V Bài 5.1 Ta có FIR loại 1 N −1 α = 2 hn()= hN (−− 1 n ) (0 ≤ n ≤ N − 1) Vậy N −16 α ===3 ; 22 h(0) = h(6) =1 ; h(1) = h(5) =2; h(2) = h(4) =3; h(3) = 4. Bài 5.2 Ta có FIR loại 2 252
16. Đáp án và hướng dẫn giải N −−191 θ ()ωωωω=− =− =−4 22 π sinn − 4 ω sinω ()n − 4 1 () hn()=−−δδ ( n44 ) c c =−−() n 4 hp πωn − 44π c () ()n − 4 4 1133311 Hz()=− z−−12 − z − z −− 34 + z − z −− 56 − z − z − 7 d 12 2ππππ444ππ 4 2 4 3 12 2 Hay: 113 yn()=− xn() −12 − xn() − − xn() − 3 12 2ππ4π 4 2 33 1 1 +−−xn()3567 xn() −−−− xn() xn() − 4443πππ 122 Bài 5.6, Bài 5.7, Bài 5.8 Cách làm tương tự ví dụ trên. Bài 5.9 Đáp án: Phương án a) Bài 5.10 Đáp án: Phương án c). Bài 5.11 Đáp án: Phương án d) Bài 5.12 Đáp án: Phương án a) Bài 5.13 Đáp án: Phương án c) Bài 5.14 Đáp án: Phương án b). ĐÁP ÁN CHƯƠNG VI Bài 6.1 1− z−1 Ta có: Ánh xạ chuyển sang miền số theo phương pháp tương đương vi phân là: s = T 1 zT /(1+ T ) Do vậy ta có: H ()z = = [(1− z −1 /T ]+1 z −[1/(1+ T)] 254
17. Đáp án và hướng dẫn giải RL 2 ()1− z−1 RRT++() R R L Hz()= 12s 1 2 ()RRL+ 1− 12 z−1 RRT12s ++() R 1 R 2 L RL2 M =→1;bbb010 = =− RRT12s ++() R 1 R 2 L ()RRL12+ Na=→1 1 =− RRT12s ++() R 1 R 2 L Vậy: yn()=+−+− bxn01 () bxn (11 ) ayn 1( ) Sau đó ta vẽ sơ đồ cấu trúc bộ lọc số. Bài 6.4 Tương tự như các bài trên. Bài 6.5 Các tần số tới hạn chính là tần số -3dB Ωc và tần số băng chắn Ωs . Cụ thể, chúng bằng: Ωc = 1000π Ωs = 2000π Ứng với độ suy giảm 40dB, δ 2 = 0.01. Vì thế, từ (8.2.54) ta có: log (104 −1) N = 10 = 6,64 2log10 2 Để thoả mãn các chỉ tiêu mong muốn, ta chọn N = 7 . Các vị trí cực là: jk[ππ/2++ (2 1) /14] sepk ==1000π k 0, 1, 2, , 6 Bài 6.6 Các điểm cực này đều được phân bố đều trong vòng tròn Butterworth. Khi chuẩn hóa thì các vòng tròn có bán kính là 1, không chuẩn hóa thì bán kính là ωc . 1 Hs= a () 22ππ ⎛⎞⎛⎞jj− ()ssese+−1 ⎜⎟⎜⎟33 − ⎝⎠⎝⎠ 11 Hs== a () 22ππ ⎡⎤⎡⎤⎛⎞− jj 2 ⎛⎞2π ss+++−−112 see33 ()ss+++−112cos s⎜⎟ ()⎢⎥⎢⎥⎜⎟ 3 ⎣⎦⎢⎥⎝⎠⎣ ⎝⎠⎦ 256
18. Đáp án và hướng dẫn giải Bây giờ chúng ta tính lần lượt DFT 3 điểm của các hàng. Việc tính toán này dẫn đến mảng 5×3 sau : F()()0, 0 F 0, 1 F(0, 2) F()1, 0 F ()1, 1 F ()1, 2 F()()()2, 0 F 2, 1 F 2, 2 F()3, 0 F ()()3, 1 F 3, 2 F()()()4, 0 F 4, 1 F 4, 2 lq lq Trong bước tiếp theo cần phải nhân mỗi giá trị F(l, q) với hệ số pha WN = W15 , với 0 ≤ l ≤ 4 và 0 ≤ q ≤ 2 . Việc tính toán này dẫn đến mảng 5×3 : Cét 1 Cét 2 Cét 3 G()()()0, 0 G 0, 1 G 0, 2 G()1, 0 G ()1, 1 G ()1, 2 G()()()2, 0 G 2, 1 G 2, 2 G()3, 0 G ()()3, 1 G 3, 2 G()()()4, 0 G 4, 1 G 4, 2 Bước cuối cùng là tính toán DFT 5 điểm lần lượt cho 3 hàng. Việc tính toán lần cuối này ta nhận được các giá trị mong muốn của DFT ở dạng : X (0, 0)()= x 0 X (0, 1) = x(5) X (0, 2) = x(10) X ()1, 0 = x ()()()()1 X 1, 1 = x 6 X 1, 2 = x ()11 X (2, 0 )= x ()2 X (2, 1 )= x ()7 X (2, 2 )= x (12 ) X ()()()()()()3, 0 = x 3 X 3, 1 = x 8 X 3, 2 = x 13 X ()()()()()()4, 0 = x 4 X 4, 1 = x 9 X 4, 2 = x 14 Minh hoạ trong hình 9.9 thể hiện các bước tính toán này. Ta cần quan tâm đến việc dãy dữ liệu được phân chia và kết quả DFT X ()k được lưu trong các mảng một chiều. Khi dãy đầu vào x(n) và dãy đầu ra của DFT X ()k trong các mảng hai chiều được đọc chéo từ hàng 1 sang hàng 5 thì các dãy chúng ta nhận được là : DÃY ĐẦU VÀO x()0 x ()5 x (10 )x ()1 x ()6 x (11 )x(2) x(7) x(12) x(3) x(8) x(13) x(14)()(x 9 x 14 ) DÃY ĐẦU RA X ()0 X ()1 X ()2 X ()3 X ()4 X (5) X (6) X (7) X (8) X (9) X (10) X (11)()()X 12 X 13 X (14) Chúng ta thấy rằng dãy đầu vào bị xáo trộn từ các trật tự bình thường trong tính toán DFT. Mặt khác, dãy đầu ra lại tuân đúng với trật tự. Trong trường hợp này việc sắp xếp lại mảng đầu vào phụ thuộc vào việc phân đoạn của mảng một chiều thành mảng hai chiều và trật tự mà theo đó các tính toán DFT được tính. Việc xáo trộn của dãy dữ liệu đầu vào hoặc dãy dữ liệu đầu ra này là một đặc tính chung của hầu hết các thuật toán tính toán FFT. 258
19. Đáp án và hướng dẫn giải Bài 8.5 Cách làm tương tự bài 8.1, 8.2 Bài 8.6 Cách làm tương tự bài 8.1, 8.2 Bài 8.7 Ta giải bài toán theo phương pháp đệ quy với m = 1. Như vậy, ta có: −1 A1 ()z = A0 ()z + k1 z B0 (z) 1 = 1+ k z −1 =1+ z −1 1 4 1 Từ đó các hệ số của bộ lọc FIR tương ứng với dàn 1 tầng là α (0) =1, α ()1 = k = . Vì 1 1 1 4 Bm ()z là đa thức nghịch đảo của Am (z), nên ta có: 1 B ()z = + z −1 1 4 Kế tiếp ta cộng thêm tầng thứ hai vào dàn. Đối với m = 2 , cho: −1 A2 ()z = A1 ()z + k2 z B1(z) 3 1 = 1+ z −1 + z −2 8 2 Do đó các tham số bộ lọc FIR tương ứng với dàn hai tầng là α2 (0) =1, 3 1 α ()1 = , α ()2 = . Và ta cũng có: 2 8 2 2 1 3 B ()z = + z −1 + z −2 2 2 8 Cuối cùng, việc bổ xung thêm tầng thứ 3 vào dàn sẽ dẫn đến đa thức: −1 A3 ()z = A2 ()z + k3 z B2 (z) 13 5 1 =1+ z −1 + z −2 + z −3 24 8 3 Vì vậy, bộ lọc FIR dạng trực tiếp cần tìm được đặc trưng bởi các hệ số: 13 5 1 α3()0 =1, α ()1 = , α ()2 = và α3()3 = 3 24 3 8 3 Bài 8.8 Cách làm tương tự bài 8.7 260
20. Đáp án và hướng dẫn giải ⎧ ⎛⎞n ⎪xnLL⎜⎟ =±0, 1 , ± 2 , yn↑2 ()= ⎨ ⎝⎠L ⎪ ⎩ 0 n ≠ 22 Ta có: yyy()01= () 2==() 3 ↑↑↑22233 Bài 9.5 X ()zz=+−−−−123433 z + z + z −−−−2468 Yz↑2 ()=+ z33 z + z + z Bài 9.6 jjω 2ω Ye↑2 ()= Xe ( ) Ta vẽ ra thấy phổ bị nén lại một nửa giống ví dụ 9.6 Bài 9.7 Sơ đồ 1: ↑L Hz( ) X ()zYzYz⎯⎯→↑↑LLH () ⎯⎯⎯→ ( ) L Yz↑L ()= Xz() L YzYzHzXzHz↑↑LH( )()== L ( ) ( ) ( ) Sơ đồ 2: Hz( ) ↑L X ()zYzYz⎯⎯⎯→⎯⎯H () → HL↑ ( ) YzH ()= XzHz () () LLL YzYzXzHzHL↑ ( ) ==H () ( ). ( ) Kết luận: 2 sơ đồ tương đương ↑ L H()zL ↑ L Bài 9.8 Cho tín hiệu: X ()zzzzzzz=+1234567−−12 + + −− 34 + + − 5 + − 6 2 2 Tín hiệu này đi qua bộ lấy mẫu ↓↑ và ↑↓ . Tìm Yz2 ( ) = ? và Yz2 ()= ? ↓↑ ↑↓ 3 3 3 3 Bài 9. 9 262
21. Các từ viết tắt CÁC TỪ VIẾT TẮT Tiếng Anh. A/D: Analog to Digital - tương tự/số D/A: Digital to Analog - số/tương tự BIBO: Bounded Input Bounded Output - chặn trên chặn dưới FIR: Finite Impulse Response - đáp ứng xung hữu hạn IIR: Infinite Impulse Response - đáp ứng xung vô hạn SNR: Signal to Noise Ratio - tỉ số tín hiệu/nhiễu RC: Region of Convergence - miền hội tụ DFT: Discrete Fourier Transform - biến đổi Fourier rời rạc IDFT: Inverse Discrete Fourier Transform - biến đổi Fourier rời rạc ngược FFT: Fast Fourier Transform - biến đổi Fourier nhanh Tiếng Việt. HTTT: Hệ thống tuyến tính TTBB: Tuyến tính bất biến PTSP: Phương trình sai phân HTTTBB: Hệ thống tuyến tính bất biến 264
22. Mục lục MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU 1 CHƯƠNG I: BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRONG MIỀN THỜI GIAN RỜI RẠC n 3 GIỚI THIỆU 3 NỘI DUNG 5 1.1. BIỂU DIỄN TÍN HIỆU RỜI RẠC 5 1.2. CÁC HỆ THỐNG TUYẾN TÍNH BẤT BIẾN 15 1.3. PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH HỆ SỐ HẰNG 21 1.4. CÁC HỆ THỐNG KHÔNG ĐỆ QUY VÀ ĐỆ QUY 26 1.5. THỰC HIỆN HỆ THỐNG 28 1.6. TƯƠNG QUAN TÍN HIỆU 30 TÓM TẮT VÀ HƯỚNG DẪN HỌC TẬP CHƯƠNG 1 32 CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP CHƯƠNG 1 35 CHƯƠNG II: BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRONG MIỀN Z 40 GIỚI THIỆU 40 NỘI DUNG 41 2.1. BIẾN ĐỔI Z (ZT: Z TRANSFORM) 41 2.2. CỰC VÀ KHÔNG (POLE AND ZERO) 44 2.3. BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC (IZT: INVERSE Z TRANSFORM) 46 2.4. CÁC TÍNH CHẤT CỦA BIẾN ĐỔI Z 51 2.5. BIỂU DIỄN HỆ THỐNG RỜI RẠC TRONG MIỀN Z 51 TÓM TẮT VÀ HƯỚNG DẪN HỌC TẬP CHƯƠNG II. 58 CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP CHƯƠNG 2 62 CHƯƠNG III: BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRONG MIỀN TẦN SỐ LIÊN TỤC 67 GIỚI THIỆU 67 NỘI DUNG 69 3.1. BIẾN ĐỔI FOURIER 69 3.2. CÁC TÍNH CHẤT CỦA BIẾN ĐÔI FOURIER 76 3.3. QUAN HỆ GIỮA BIẾN ĐỔI FOURIER VÀ BIẾN ĐỔI Z 77 3.4. BIỂU DIỄN HỆ THỐNG RỜI RẠC TRONG MIỀN TẦN SỐ LIÊN TỤC 78 TÓM TẮT VÀ HƯỚNG DẪN HỌC TẬP CHƯƠNG 3 86 CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP CHƯƠNG 3 90 CHƯƠNG IV: BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRONG MIỀN TẦN SỐ RỜI RẠC k ω (HOẶC k ) 95 GIỚI THIỆU 95 NỘI DUNG 95 4.1. BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC DFT ĐỐI VỚI DÃY TUẦN HOÀN CÓ CHU KỲ N 95 4.2. CÁC TÍNH CHẤT CỦA DFT ĐỐI VỚI DÃY TUẦN HOÀN CHU KỲ N 96 266
23. Mục lục 9.2. BỘ LỌC BIẾN ĐỔI NHỊP LẤY MẪU 217 9.3. MÃ HOÁ BĂNG CON (Subband coding) 229 TÓM TẮT VÀ HƯỚNG DẪN HỌC TẬP CHƯƠNG 9. 230 CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP CHƯƠNG 9 234 ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI 237 ĐÁP ÁN CHƯƠNG I 237 ĐÁP ÁN CHƯƠNG II 243 ĐÁP ÁN CHƯƠNG III 248 ĐÁP ÁN CHƯƠNG IV 251 ĐÁP ÁN CHƯƠNG V 252 ĐÁP ÁN CHƯƠNG VI 254 ĐÁP ÁN CHƯƠNG VII 257 ĐÁP ÁN CHƯƠNG VIII 259 ĐÁP ÁN CHƯƠNG IX 261 CÁC TỪ VIẾT TẮT 264 TÀI LIỆU THAM KHẢO 265 MỤC LỤC 266 268