Bài giảng Lý thuyết trường điện từ - Bài: Các phương trình Poisson & Laplac - Nguyễn Công Phương

Nội dung text: Bài giảng Lý thuyết trường điện từ - Bài: Các phương trình Poisson & Laplac - Nguyễn Công Phương

1. Nggyuyễn Công Phương Lý thuy ếttrt trường điệntn từ Các phương trình Poisson & Laplace
2. Các phương trình Laplace & Poisson • Phương trình Poisson •Phương trình Laplace • Định lý nghi ệm duy nh ất •Giải phương trình Laplace • Giảiphi phương trình Poisson • Nghiệm tích của phương trình Laplace • Phương pháp l ưới Các phương trình Poisson & Laplace 3
3. Phương trình Poisson (2) . V v  222 222 VVV VVV  2V v . V 222 x222yz xyz  Đặt  . 2 (Hệ Descartes) 22 11 VVV   v 22 2 (Hệ trụ)  z  2 11 2 VVV   1  v 22 r sin 222 rr r rsin    r sin    (Hệ cầu) Các phương trình Poisson & Laplace 5
4. Phương trình Laplace 222VVV Phương trình Poisson:  2V v xyz222  v 0 222VVV  2V 0 (Phương trình Laplace, hệ Descartes) xyz222 11 VVV 22  22 20 (Hệ trụ)   z 2 11 2 VVV   1  22 r sin 222 0 rr r rsin    r sin   (Hệ cầu) Các phương trình Poisson & Laplace 7
5. Định lý nghiệm duy nhất (1) 222VVV  2V 0 xyz222 Giả sử phương trình Laplace có 2 nghiệm V1 & V2, : 2  V1 0 2 2 ()0VV12  V2 0 Giả sử phương trình Laplace có điềuuki kiệnnb bờ Vb VVV12bbb   .D()VV ( .DD. ) ( V ) VVV 12 D ()VV12  [(VV12 ) ( VV 12 )] ( VV 12 )[ ( VV 12 )] ()()VV12 .  VV 12 Các phương trình Poisson & Laplace 9
6. Định lý nghiệm duy nhất (3) ()[()]()()0VV  VVdv   VV VVdv VV12 12 12 12 2 . ()()0VV12  VV 12 2 ()()0VV . VVd v ()VV12  dv V 12 12 V 2 ()0VV12  2 ()0VV12 ()0VV12 VVV VV12const  V aaa x x yzyz V1 = V2 Tại biên giới V1 = Vb1, V2 = Vb2 → const = Vb1 – Vb2 = 0 VVV12bbb Các phương trình Poisson & Laplace 11
7. Giải phương trình Laplace (1) Ví dụ 1 Giả sử V = V(x) dV2 222VVV 0 VAxB  2V 0 dx2 xyz222 VV 1 xx 1 VV 2 xx 2 VV12 A xx12 Vx1221()() x Vx x V x x Vx21 Vx 12 12 Vx B V 0 x x V 0 12 x 0 d VV xd 0 Các phương trình Poisson & Laplace 13
8. Giải phương trình Laplace (3) Ví dụ 2 Giả sử V = V(ρ) (hệ trụ) 1  V 11 VVV 22  0 2   V 22 2 0   z 1 ddV ddV dV 0 0 A dd dd d VAln B V 0 l(/ln(/b ) A VV VAaBV ln 0 lnab ln 0 a ln(ba / ) VAbBba ln 0 () Vbln b B 0 lnab ln Các phương trình Poisson & Laplace 15
9. Giải phương trình Laplace (5) z Ví dụ 3 Giả sử V = V(φ)(h) (hệ trụ) Khe h ở 22 2 11 VVV    V 22 2 0   z 1 2V 2V 0 0 VA B α 22  2 B 0 VV VB 0 0 0 V0 VABV A 0 V E V 0 a Các phương trình Poisson & Laplace 17
10. Giải phương trình Laplace (7) Ví dụ 4  Giả sử V = V(θ)(h) (hệ cầu) VA ln tg B 2 α V 0 V = V0  /2 VV (/2) Khe hở  0  V = 0 ltln tg 2 1 V V VV  EaV 0 a 0 r    ln tg r sin ln tg 2 2 V DE 0 SN r sin ln tg 2 Các phương trình Poisson & Laplace 19
11. Các phương trình Laplace & Poisson • Phương trình Poisson •Phương trình Laplace • Định lý nghi ệm duy nh ất •Giải phương trình Laplace • Giảiphi phương trình Poisson • Nghiệm tích của phương trình Laplace • Phương pháp l ưới Các phương trình Poisson & Laplace 21
12. v Giải phương trình Poisson (2) v0 1 Vùng p Vùng n xx 0,5 vv 2sechth0 aa –5 –4 –3 –2 –1 v 2 v 12345 Phương trình Poisson :  V –0,5 x / a  2 a x –1 v0  Ex Ex sech  a –5 –4 –3 –2 –1 2 v0a 2 4 a xa/ E 1 2 3 4 5 VeCv0 arctg x –0,5 x / a  2 2 –1 4 a V Giả sửV 0 0 v0 C 0,5 x 0 2 2  4 2 v0a 0,25 2 –5 –4 –3 –2 –1 4 v0a xa/ V Ve arctg 1 2 3 4 5  4 –0,25 x / a –0,5 Các phương trình Poisson & Laplace 23
13. Các phương trình Laplace & Poisson • Phương trình Poisson •Phương trình Laplace • Định lý nghi ệm duy nh ất •Giải phương trình Laplace • Giảiphi phương trình Poisson • Nghiệm tích của phương trình Laplace • Phương pháp l ưới Các phương trình Poisson & Laplace 25
14. Nghiệm tích của phương trình Laplace (2) dX22 dY 11dX22 dY 11dX22 dY YX 0 0 dx22 dy Xdx22 Ydy Xdx22 Ydy 1 dX2 chỉ phụ thuộc x Xdx2 1 dY2 chỉ phụ thuộc y Ydy2 2 1 dX 2 2 Xdx 2 1 dY 2 2 Ydy Các phương trình Poisson & Laplace 27
15. Nghiệm tích của phương trình Laplace (4) VV (,)   R ()() 2 11 2 VVV   1  22 r sin 222 0 rr r rsin   r sin   22RR211 22 2 0 RR tg 2 RR2 22 nn(1) RR  2 11  2 nn(1)   tg Các phương trình Poisson & Laplace 29
16. Nghiệm tích của phương trình Laplace (6) Ví dụ Khảosáto sát điệnthn thế & điệntrn trường ở lân c ậnmn mộtvt vậthìnhtrt hình trụ tròn dài vô h ạn nằm trong một điện trường đều E0. Điện môi của môi trường & của vật lần lượt là ε1 & ε2. Điện trường vuông góc với trục của vật. 1 d 2 2 () A cos, 1 2 1  d ddR 2 ddR kB2 k k 2 Rd d k k 1 k Rd d Bk §Æt RB() k 1 1 RBB() 11 Các phương trình Poisson & Laplace 31
17. Nghiệm tích của phương trình Laplace (8) Ví dụ Khảosáto sát điệnthn thế & điệntrn trường ở lân c ậnmn mộtvt vậthìnhtrt hình trụ tròn dài vô h ạn nằm trong một điện trường đều E0. Điện môi của môi trường & của vật lần lượt là ε1 & ε2. Điện trường vuông góc với trục của vật. VC cos C 1 cos y Ngoµi: 11 1 E0 1 Trong: VC22 cos C 2 cos ε1 VEx ρ 0 x ε CE10 2 θ VV 11 Cx  , x x C VV 2 gèc täa ®é 2 0 C 0 0 2 Ở gốc tọa độ điện trường vẫn hữu hạn Các phương trình Poisson & Laplace 33
18. Nghiệm tích của phương trình Laplace (10) Ví dụ Khảosáto sát điệnthn thế & điệntrn trường ở lân c ậnmn mộtvt vậthìnhtrt hình trụ tròn dài vô h ạn nằm trong một điện trường đều E0. Điện môi của môi trường & của vật lần lượt là ε1 & ε2. Điện trường vuông góc với trục của vật. VE cos C 1 cos y 10 1 E0 VC22 cos ε1 VV ρ 12 aa ε ()coscosEa C a1 C a 2 θ 01 2 x a VV12 12  aa 2 101()coscosECa  22 Ca Các phương trình Poisson & Laplace 35
19. Nghiệm tích của phương trình Laplace (12) Ví dụ Khảosáto sát điệnthn thế & điệntrn trường ở lân c ậnmn mộtvt vậthìnhtrt hình trụ tròn dài vô h ạn nằm trong một điện trường đều E0. Điện môi của môi trường & của vật lần lượt là ε1 & ε2. Điện trường vuông góc với trục của vật. 2 12  a VE10 1cos, 2 víi a  12 2 VE 1 cos víi a 20 12 22  VV112 aa  1  12 E10 EEE 1cos 22 , 1 0 1sin   12   12 VV2122 2 1 EE20 cos , E 2 E 0 sin  12   12 21 EE22z E 0 12  Các phương trình Poisson & Laplace 37
20. Phương pháp lưới (1) • Dùng để giảiiph phương trình Laplace khi V = V(x, y) • Là phương pháp số, có thể đạt độ chính xác tùy ý Các phương trình Poisson & Laplace 39
21. y Phương pháp lưới (3) x 22VV 0 xy22 V2 2  V VVVV1003 V V 3 0 V1 xh22 h 2V VVVV 2004 22 V yh h 4 22VVVVVV 4 V 1234 0 0 xy22 h 1 VVVVV 04 1234 Các phương trình Poisson & Laplace 41
22. Phương pháp lưới (5) Ví dụ 1 1 Khe hở V = 100 Khe hở VVVVV 04 1234 4352,8 43 1 43,8 53,2 43,8 100 50 0 25 43,8 4 18,6 18,6 18,8 25 18,8 1 V = 0 53,2 100 0 18,8 43 V = 0 4 6,2 9,4 6,2 1 43,8 100 43,8 25 53,2 4 1 43 100 43 25 52,8 V = 0 4 1 1 Bước 2 25 43,8 0 6,2 18,8 25 43 0 6,2 18,6 4 4 Các phương trình Poisson & Laplace 43
23. Phương pháp lưới (7) Ví dụ 1 1 Khe hở V = 100 Khe hở VVVVV0 1234 4 42,9 52,7 42,9 4352,8 43 1 43,8 53,2 43,8 52,8 100 0 18,6 42,9 4 18,7 25,0 18,7 18,624,9 18,6 18,8 25 18,8 1 V = 0 V = 0 42,9 100 42,9 24,9 52,7 7,1 9,8 7,1 4 7,09,8 7,0 6,2 9,4 6,2 1 24,9 42,9 0 7,0 18,7 4 1 18,7 52,7 18,7 9,8 25,0 V = 0 4 1 1 Bước 3 9,8 18,7 0 0 7,1 7,1 25 7,1 0 9,8 4 4 Các phương trình Poisson & Laplace 45
24. Phương pháp lưới (9) 10 V Ví dụ 2 (0) (0) (0) 1 2 3 VV12 V 10 0 0 V 4 5 6 (1)1 (0) (0) VV12 10 0 V 4 2,5000V 20 V 4 7 8 (1)1 (0) (1) (0) 0 V VV 10 VV 3,1250V 9 10 234 15 0 V 1 VVVV(1) (0) (1)0 (0) 0,2344V 0 V 78594 1 VVV(1) 20 (1) (1) 0 6,7358V 104 8 9 Các phương trình Poisson & Laplace 47
25. Phương pháp lưới (11) • Dùng để giảiiph phương trình Laplace khi V = V(x, y) • Là phương pháp số, có thể đạt độ chính xác tùy ý • Lặpchop cho đến khi đạt độ chính xác cho tr ước •Có thể đặt các giá trị đầu của các điện áp của các nút tự do b ằng zero Các phương trình Poisson & Laplace 49