Bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Bài 8: Biểu diễn tín hiệu bằng chuỗi Fourier - Trần Quang Việt

Nội dung text: Bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Bài 8: Biểu diễn tín hiệu bằng chuỗi Fourier - Trần Quang Việt

1. 404001 - Tín hi u và h th ng Lecture-8 Bi u di n tín hi u bng chu i Fourier
   Bi u di n tín hi u bng tp tín hi u tr c giao
   Chu i Fourier lưng gi ác
   Chu i Fourier hàm mũ ph c
   ðáp ng ca h th ng LTIC vi tín hi u tu n ho àn Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10 Bi u di n tín hi u bng tp tín hi u tr c giao
   Biu din tín hiu da vào không gian tín hiu trc giao: N ft()≃ cxt11 ()+ cxt 22 () ++ cxtNN () = ∑ cxt nn () N n=1  Sai s: et()= ft () − ∑ cxtn n () n=1  Tìm cn tha ñiu kin năng lưng sai s  min: t t 1 2 1 2 * Thc:cn= ∫ ftxtdt() n () Phc: cn= ∫ ftxtdt() n () t1 t1 En En N 2  Năng lưng ca thành phn sai s min: Ee= E f − ∑ cE nn n=1  Năng lưng ca thành phn sai s  0 nu N  ∞∞∞  tp cơ s  Khi N  ∞∞∞, ta có: lưu ý du “=” ñúng v mt năng lưng ∞ ft( )=∑ cxttn n ( ); 1 ≤ tt ≤ 2 Chui Fourier n=1 Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10 1
2. Chu i Fourier lưng giác
   Kt hp các thành phn sin và cosin ta có dng rút gn: ∞ ftC( )=+0∑ Cn cos( ntω 0 + θ n ); tttT 110 ≤≤+ n=1 C0= a 0   −1 −bn θn = tan   2 2 a Cn= a n + b n n  1 t1+ T 0 a0 = ftdt( ) ∫t T0 1 2 t1+ T 0 b= ft ()sin( ntdtω0 ) n ∫t T0 1 2 t1+ T 0 a= ft()cos( ntdtω0 ) n ∫t T0 1 Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10 Chu i Fourier lưng giác
   Ví d: Tìm chui Fourier ca f(t)=e t/2 trong khong 0≤t≤π ω0=2 π /T 0 = 2 π 1 −t / 2 a0 =∫ edt = 0,504 π 0 C0= a 0 = 0,504 2π  2  −t / 2 cos(2 ) 0,504 an =∫ e nt dt = 2  2  π 0 1+ 16 n  C = 0,504   n 2 2π  8 n  1+ 16 n  b= e−t / 2 sin(2 ntdt ) = 0,504 n ∫0 2  −1 π 1+ 16 n  θn = − tan 4 n ∞ 2  ft()=+ 0.5041∑ 2 () cos2 ntn + 4.sin2nt  ; 0 ≤≤ t π n=1 1+ 16 n  ∞ 2  ft()=+ 0.5041 cos(2 ntnt − tan−1 4); 0 ≤≤ π ∑ 2  n=1 1+ 16 n  Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10 3
3. Chu i Fourier lưng giác
   Ví d 1: Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10 Chu i Fourier lưng giác
   Ví d 2: 0 (n even) Cn =  8A / n2π 2 ( n even) 0 (n even)  θn = − π / 2 (n = 1,5,9,13, )  π / 2 (n =3,7,11, ) Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10 5
4. Chu i Fourier hàm mũ ph c
   Ví d: f( t ) T0=1 →ω 0 = 2 π 10 1 1/2 D= fte( ) − jnω 0 t dt =− e−jnt2π dt + e − jnt 2 π dt n ∫ ∫1/2 ∫ 0 T0 2− 2 1 ⇔=D(2 −− ejnπ e − jn π ) n j4π n +∞ 1/jπ n ( nisodd ) 1 j2π nt ⇒ f( t ) = e ⇔Dn =  ∑ 0 (otherwise ) n = −∞ jπ n n odd Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10 Chu i Fourier hàm mũ ph c
   Mi liên h gia chui Fourier hàm mũ phc & chui Fourier lưng giác: Cn jnt(ωθ0+n ) − jnt ( ωθ 0 + n ) Cncos( nω0 t + θ n ) =e + e 2 ( ) Cjθω  jn t  C − j θω  − jn t =neen 0 +  n ee n  0 2   2  D Dn −n Dng hàm mũ & ∞ lưng giác là tương ñương  thưng ftC( )=0 +∑ Cn cos( ntω 0 + θ n ) n=1 dùng hàm mũ ∞ ∞ jnω0 t− jn ω 0 t jnω0 t ft( ) = D0 +∑() Den + De− n = ∑ Dn e n=1 n=−∞ Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10 7
5. ðáp ng ca h th ng LITC vi tín hi u tu n hoàn
   ðáp ng ca h thng LTIC vi tín hiu tun hoàn : ∞ 2π jnω0 t Hàm truy n làm: ft()=∑ Den ; ω0 = (LTI) n=−∞ T0  Tăng ho c gi m Bð  Thay ñi pha ejtω→ Hje(ω ) jt ω Hàm truy n không to tn s input Output mi!!! ∞ ∞ jnω0 t jn ω 0 t Xem HT LTIC nh ư ∑Den→ ∑ DHjn n (ω0 ) e n=−∞ n =−∞ là b lc (Filter) Tun hoàn Input f(t) Output y(t) cùng chu kỳ vi f(t) Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10 ðáp ng ca h th ng LITC vi tín hi u tu n hoàn
   Ví d : i( t ) vi(t) vti ()= Rit () + vt0 () dv0 ( t ) ⇒ vi () t= RC + v0 () t dv( t ) dt ( ) o dv( t ) 1 1 1 i t= C ⇒ 0 +vt() = vt () ;ω = dt dt RC0 RC i c RC P( s ) ωc ⇒ (D+ωc )() vt0 = ω c vt i () ⇒ H( s ) = = Q( s ) s + ωc +∞ 1 j2π nt ωc vi ( t ) = ∑ e H( j ω ) = n = −∞ jπ n jω+ ω c n odd Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10 9
6. ðáp ng ca h th ng LITC vi tín hi u tu n hoàn ω0 = ω c ω/ ω c ω/ ω c ω0 > ω c ω/ ω c ω/ ω c Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10 11